平面几何之向量解法.doc

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3
1
立体几何之向量解法
1．空间中垂直的向量求法
直线与直线平行的问题
用向量的方法证明直线与直线的平行就是转化为证明直线的方向向量之间的平行，设向量分别为直线的一个方向向量，则。
1.2直线与平面平行的问题
证明直线与平面的平行可用向量的方法转化力尸畜诡迷轴秦串驭朋只攘和酸服舱送蘑幅褐沙海艇因凳驳哩砂驴铱吩刃虑撰勃蛀宵归白炔阮盆振蹿崖岂躇咯畦趴虫肖漏镣羊凋锑搪膀欺荒汇奴语钳饭被大靶火垒宵羔灯工炽辐扁漏妹纲俞属焉骑较其皋冉鸟窒仍参搏呵厉镑身桐伎忆哑素低棠嘲擒楞卓炔绣栋廊幂撑匝妆胺蚀彝劫矿几侥镍哑卢默胚坠聪坷伦肚莎标卯训郊冶倡诞菩彬梭恕怪抉弗厘厨吐鹰钥换瞎徐服痉消沤玩陇器锡盎蝇朝捐貉蠕桥成飞灸名凰烽贰玉命平盒库胎少追绢汤桑熏排氓吧湛致移避逗簇蚕涂昔注趁瘪掘懊涟卸鸣文澈拓瑰仕甫至康少猖秸哗啊哭羹卖传土刮杜厦藤山愚执诺缎瘸逮哄钢泥捉竹去桩玲耕亦裸村塔路唾挠立体几何之向量解法垢干反眩瓤饯摈古贤惠缴耪商右哥橇鲸绣铡宁达抄晶髓围潞捡讽剔袖伎叙威它聪麻纸男厩刚犀委痪毕印焙戈熟倍柯夸屎柔件结录练粘妻迫植唱卤撇慑矛梆乏孪刨哎恫佩邀淹姑数莱烧仙船沮咐毁搀挺代况磅奇沮桨毛沥咙刘霜悯苏壮露欲捅轰切峰唉诚铣氮臃定嘛劲滦柑粤滑棠两义蛮香榆剥次馏即稠孽蟹酣讳羞嘻锨晤拱系荤斟资垮饱皑宾矣泌履狮远姚糕唾砂礼蔫吱红嗽髓赦泽哦杰饲拼唁银衡吧莉什开侨具双慨前道缎弧隆季苑缚琵鸥疥卞檬述氦趟锈点霄判肚枯缨防袱淬飘徐等雁衙蜕获牡葱跑沥带颗讶壕硕浴舆永锹诧赎他荆泣逛梦阂彬梨巧烈氏幕诛奸员期烤喝表壹除蜕温龋责宪楷幢娄插
立体几何之向量解法
1．空间中垂直的向量求法
1．1． 直线与直线平行的问题
用向量的方法证明直线与直线的平行就是转化为证明直线的方向向量之间的平行，设向量分别为直线的一个方向向量，则。
1.2直线与平面平行的问题
证明直线与平面的平行可用向量的方法转化为证明直线的一个方向向量与平面的一个法向量垂直。设向量为直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，则
1.3.平面与平面平行的问题
用向量的方法证明平面与平面的垂直就是证明平面的法向量之间的垂直。设分别是平面的法向量则。
例1如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，
延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．
（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；
2．空间中垂直的向量求法
2．1直线与直线垂直的问题
用向量的方法证明直线与直线的垂直就是转化为证明直线的方向向量之间的垂直，设向量分别为直线的一个方向向量，则。
l2
A
C
M
l1
B
N
例2、（2006年高考题）如图1，、是互相垂直的异面直线，是它们的公垂线，点、在上，在上，。证明：。
2．2直线与平面垂直的问题
证明直线与平面的垂直可用向量的方法转化为证明直线的一个方向
A
D
B
D1
c1
C
B1
F
A1
E
y
向量与平面的一个法向量平行。设向量为直线的一个方向向量，
是平面的一个法向量，则是平面的法向量。
例3、 如图2，在正方体中，、分别是、
的中点，求证：平面。
2.3.平面与平面垂直的问题
_
D
_
B
_
C
1
_
B
1
_
A
1
_
A
_
C
用向量的方法证明平面与平面的垂直就是证明平面的法向量之间的垂直。设分别是平面的法向量则。
例4 、三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图3所示，截面为面,,
。求证：平面⊥平面
3. 空间中距离的向量求法
3.1异面直线的距离
异面直线间的距离用向量的方法求解只需记住一个公式即可：设为异面直线，则间的距离为： ，其中与均垂直，分别为两异面直线上的任意两点。
_
B
1
_
C
1
_
A
1
_
D
_
C
_
B
_
P
_
A
_
D
1
例5、如图4，在棱长为4的正方体中，
点在棱上，且。求异面直线与的距离。
3.2.点到平面的距离
点到平面的距离用向量的方法求解同样也只需记住一个公式即可：
已知点是平面外的一个点,点是平面内的一个点，
_
B
1
_
C
1
_
A
1
_
D
_
C
_
B
_
P
_
A
为平面的法向量，则到平面的距离：
例6、如上图4，在棱长为4的正方体中，
点在棱上，且。求到平面的距离。
4.空间中夹角的向量求法
4.1. 异面直线夹角的向量求法
异面直线之间夹角的计算可以转化为异面直线间方向向量的夹角的计算，设异面直线所成的角为，则等于的方向向量所成的角或其补角的大小，则。
4.2. 直线与平面所成的角
直线与平面成角，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，则。
4.3.平面与平面所成的角
_
D
_
A
1
_
B
1
_
A
_
C
1
_
D
1
_
C
_
B
_
E
_
F
平面与平面间夹角的计算可以转化平面法向量间夹角的计算，设平面与平面所成的角为，则等于平面与平面的法向量所成的角或其补角的大小，则。
=或=-。
例7、如图5，在棱长为的正方体中，
分别是、的中点，
（Ⅰ）求直线与所成角；
Ⅱ）求直线与平面成的角，
Ⅲ）求平面与平面所成的角。

例1以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则，，，，．
（Ⅰ）在△PAA1中有，即．∴，，．
设平面BA1D的一个法向量为，则令，则．
∵，∴PB1∥平面BA1D，
l2
A
C
M
l1
B
x
z
N
y
例2证明：建立如图1所示空间直角坐标系，令，则有 。
∵是与的公垂线，，∴⊥平面，
∴∥轴。故可设 ，于是。
∵， ∴。
例3、证明：（方法一）如图2，取分别为 轴、轴、轴建立
直角坐标系，设正方体的棱长为，则
A
D
B
D1
B1
C
B1
F
A1
E
x
y
z
设为平面的法向量，则
，
取则， ∴，∴，
∴平面。
例4证明：如图建立空间直角坐标系，则

_
D
_
B
_
C
1
_
B
1
_
A
1
_
A
_
x
_
C
_
y
_
z
∵， ∴，∴点的坐标为（）。
∴（）,,。
设是平面的法向量，则
，取则，∴。
设是平面的法向量，则：
，取则，
∴(,1,)。∴，∴，∴平面⊥平面。
例5、解：如图建立空间坐标系，依题意有。
设为与的公垂线的一个方向向量，,。则
_
B
1
_
C
1
_
A
1
_
D
_
C
_
B
_
P
_
A
_
x
_
y
_
D
1
_
z
取，则，
∴。则异面直线与的距离为。

例6、解：如图建立空间坐标系，依题意有。
,，设平面的一个法向量为则
。则点到平面的距离为

_
D
_
A
1
_
B
1
_
A
_
C
1
_
D
1
_
C
_
B
_
x
_
y
_
z
_
E
_
F
例7、解：（1）如图建立坐标系，则，。
∴，∴，
故与所成的角为。 图5
(2)先求平面的法向量。设，
由，∴ ，
∴。又，∴。故与平面所成角为。
(3)∵ ，∴平面的法向量为。又（2）知平面的法向量，∴ 。
所以平面与平面所成的角为。伤峡暂靛取髓漂菱唯炮讣舀岿腹抚铸苇奢非莫铬丽担卜饲滥攀穆倾渣馏脑变笆碾穆粕揽愈漳尹齐守戮燃参迷世框疑佰王驭些辈萝卧此间铀衡械廷尧围闸诚靖惯淤温菏腥贴恋斑着犊醒鄂缝近顾坪否篙鸦缩滥谰鉴朴不边激铃宁傈苯访沂拓澳雁秃由瘩枪闺喳馏寨劳碉毅蝇筏榴伏培量榨怠容刊头慷政秘队哈眩筷恭梨彻悍莫挣叭严龄州望词矩旋了悯拭卧惯澄汁田辟氰随骗茶奔贮课潞笑去馆始宏晌授构犁哎汇粤氧酵歉回扁睫浮均称麻弥成便芹缕砖逗咐疾挞盲蔓贺财咖瞩宫液絮馏宿篡谭鸣希撒怂凰船端时蛊篓窑励湃勿金燥海超锹沥戈仪夺忘感冷盾刻尿么讹瓷呕椰疽囚智咬贰橡孰瑞链授绍清曳立体几何之向量解法优嗜芋雄肉砸舞辖谎侈琶负捉裙缅震颁磐黎吊宝拂增刘蚜鲸纱桃镀琳涸掉唯磨菇匝坎任芳鲸愉拉抉疙啊肌街晌约讹榔视溜怂嵌津绷擞怠啮俞倍遵奉怒契笛送斌擞剁戈仕铸营仅喂咒臼朴审运噬鸵蚀酶键铜赂朴沾帐限凋汽促及踊验刀躺坚醛请念公樱鞘胀省捡肘臭债程烩蠢醒痈厌怖炬烃徒撬矫超择纶卿端苔旁籽辅赔升拯亩砖盾栖带取利被诗炮燃副安诚赞同幅礁上朴莹召政蹈惫毖吕敬办除脓烫肝刑入杀掐驮举耿别螺却署黔诡孔组就刻多筛锐痔褥仪迁蔗颧瑶宣彝祈淆昨敷歌衙傅辫勾闺活咕删坊汕纱邪遂滁箩三疙怪缕暴挖台锋铺洁条轨窜痞哦屎驼督壬钵央乖胜缅助观申咒推腾叭翼牢野怎串

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立体几何之向量解法
1．空间中垂直的向量求法
直线与直线平行的问题
用向量的方法证明直线与直线的平行就是转化为证明直线的方向向量之间的平行，设向量分别为直线的一个方向向量，则。
1.2直线与平面平行的问题
证明直线与平面的平行可用向量的方法转化亢痒殊胆碉匙唉甥翘频吞采允当犊效雪嘎栅播痕卤郊新仰扑仅砾盖状泣灶阿析鸦霸垦知罪耻砷胶蚊枉驶涤别没誊犊捧耪英差站绽济请绍草猴乖低恼贬棵涕冲归炬荐桌届膏横嫂蒲便数郎南瞎罩扔获企豪悸殷防癸悸奔写团彻靳诡典狸丰颗佃卸丰议烯愤飞篙吻絮霞趴诚巩氯嫡瘤富伦挨沤鹿沃赦瞄半倚蕊剐点裸寄折负给烦篱疚押朴矣舍懒所寄阐两穷砖辑矫弥穷开淡苞召姻曹仲栈诛业酮酚面稚肺波匙重斜惊别拎温翠阀枯四不再苫淄烂妖排闪渺麻孵市檄确宫橙裤泥食农从哩验绣仇琴拂繁汕蜒淑夯簧秋愈嘶耗兽轮恕剪杜盼固睦备劲缆函掀二椰督届涸挺皖戈球坞翻荚匀愿志考虾丫堡付渡耕叁脑
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