概率论与数理统计东华大学出版 答案第六章.doc

第六章 数理统计基本概念与抽样分布
第一节 数理统计基本概念习题
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1、 设总体分布为下述情形（1）；（2）服从参数为的指数分布；（3），为取自总体的样本，分别写出它们的样本空间和样本的联合分布律（或联合密度）。
解答：（1）因，所以，故样本空间为
， ，；
（2）因，所以，故样本空间
， ；
（3）因，所以，故样本空间，
。
2、 设样本观察值中有些值是相同的，把它们按小到大排列，分别取值为，取得频数分别为，，显然有样本均值，样本方差。
（1） 求证：；
（2） 有一组的样本观察值，其数据如下，试求、。

0
1
3
4
6

8
5
7
3
2
解答：（1）=

。
（2），
，

3、 设为取自正态总体的一个样本，其中未知但已知。问下述样本函数中哪些是统计量？哪些不是统计量？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）。
解答：因统计量是样本的连续函数且不包含任何未知参数。由题意，未知但已知，因此可知除（2）不是统计量外，其余5个都是统计量。
4、 在计算样本均值与样本方差时，常常对数据作线形变换，使成为较简单的整数以简化运算，求证：。其中：，。
解答：因为所以， ；
。
5、 设某工厂生产轴承，从某天的产品中随机抽取10根，测量直径如下（单位：）：14.6、14.7、15.2、14.9、14.8、15.0、15.1、15.2、14.8、 14.7。试用原始数据和作变换后的数据分别求和，并比较哪种方法计算方便。
解答：，
，
。
通过变换，我们可得：6、7、12、9、8、10、11、12、8、7，得，，由上题的公式可知
6、 设总体分布为下述情形（1）；（2）；（3），为取自总体的样本，与分别为样本均值与样本方差，试分别求。
解答：有定理6.1及其推论、定理6.2可知：。（1）因，则，；
（2）因，则；
（3）因，则。

第二节 抽样分布与分位数
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1、 在正态总体中随机抽取一个容量为36的样本，求样本平均值落在50.8和53.8之间的概率？
解答：因从正态总体中抽取容量为36的样本，由6.2节的推论可知，其样本均值=，因此，由此 =
2、 设总体，今从中抽取容量分别为10和15的两个独立样本，试问这两个样本的平均值之差的绝对值大于0.3的概率有多大？
解答：由题意，令表示样本容量为10的样本均值、表示样本容量为15的样本均值，且与相互独立。由6.2节的推论可知，、，因此由例3.16可知：，所以= =0.8065。
3、 设总体，问样本容量取多大时，才能以0.95的概率保证样本平均值与总体期望之差的绝对值不超过0.3？
解答：因样本均值，即，即得：，因此，因为整数可得：。
4、 已知是的一个样本，令，问取什么值时，服从分布？并给出自由度。
解答：因是的一个样本，所以与相互独立，且由例3.16可知它们分别服从、，要使服从分布，只要使与均服从标准正态分布，即令即可，此时，可知。
5、 设总体，从中抽取容量为10的样本，求满足的最大的。
解答：因总体，所以，即从中抽取的容量为10的样本，去我们有，所以查表可知，即。
6、 设为取自总体的样本，求样本均值的期望与方差。
解答：由定理6.1及其推论知：，因为取自总体的样本，因此，即。
7、 设为取自总体的样本，令（1）；（2）；（3）；（4）。求常数，使服从分布。
解答：为取自总体的样本，所以互相独立，且，，即。因此：
（1），则；
（2），则；
（3），则；
（4），则。
8、 设是取自的容量为的样本，令（1），（2），问分别服从什么分布。
解答：因是取自的容量为的样本，因此：
，，且与相互独立，由此可得
；又因，且 与相互独立，因此。
9、 设为的一个样本，问样本方差大于0.144的概率？
解答：因为的一个样本，而由定理6.4知：。
所以，。
10、 设为来自总体的一个样本，令，求。
解答：由定理6.4可知：，而，，因此，，。
11、 设为来自总体的一个样本，与是它的样本均值与样本方差；又设与相互独立。且服从，试证：
。
解答：因为总体的样本，所以，，又因与相互独立，所以与、相互独立，因此我们有，即。
12、 设，求的和0.10的上侧分位数。
解答：由上侧分位数的定义，即要求的。今，显然由和0.10可知>0，，即：，因此，。
13、 查表求下列分布的上侧分位数：
（1），；
（2），，；
（3），，，；
（4），。
解答：因表中不一定恰好有我们所需要的数值，因此可通过线形内插法求出它的近似解。即：若有、，假定，现要求的函数值，则：，或利用该式计算对应的。即可得：
（1），
。
（2） ，因表中没有自由度为70的值，因此利用：当充分大时，，即，因此：今，可得，即。
（3），，因表中没有自由度为60的值，因此可利用：当充分大时，分布的渐进分布为标准正态分布，可得：。
（4），因表中没有的值，利用，可得：。

复习题
1、 总体抽取的样本，它的频数分布为

1
3
6
26

8
40
10
2
求样本均值，样本方差和标准差。
解答：，
，。
2、 设总体，为其样本，与是它的样本均值和样本方差，求和。
解答：由定理6.1及其推论、定理6.2可知：。
3、 下面是100个学生的身高（单位：厘米）
身高
154~158
158~162
162~166
166~170
170~174
174~178
178~182
学生数
10
14
26
28
12
8
2
同组内学生以组中值表示其身高，试求与。
解答：因同组内学生以组中值表示其身高，因此可得个各身高的频数为：
身高
156
160
164
168
172
176
180
学生数
10
14
26
28
12
8
2
令：，则可得：

-12
-8
-4
0
4
8
12

10
14
26
28
12
8
2

-120
-112
-104
0
48
64
24

1440
896
416
0
192
512
288
得：，

4、 设为的一个样本，是样本均值，试问样本容量取多大才能使下式成立：
（1）；
（2）。
解答：因为的一个样本，因此，即，得

，因此。
，即，
也即：，由此。因为正整数，所以。
5、 设为的样本，令，求参数，使满足分布，并给出自由度。
解答：因为的样本，因此与相互独立，且均服从，也就是说：，。要使服从分布，由的定义可知：，且此时，。
6、 设为的样本，利用（6.11）给出（1）；（2）
的密度函数。
解答：因为的样本，所以，且相互独立，因此，即得密度函数为：。因，所以。
7、 设，求证。
解答：因，所以可看成有两个相互独立的随机变量通过构造而来，而，因此。
8、 设为的样本，为的一个样本，且两样本独立，与分布为样本均值，分别为样本方差，，为常数：
（1） 求证：；
（2） 求证：。
解答：由题意可知，、，且这两个随机变量相互独立。因此，由例3.16可知。，因此。由定理6.4可知：、，且这两个随机变量相互独立，由的性质3可知：，即，因此：。