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常微分方程的思想方法以及在中学数学中的应用
蚌埠学院09级应数2班
摘要：在教学研究中，常常要研究函数，高等数学中所研究的函数是反映客观现实和运动中的量与量之间的关系。但在大量实际问题中往往会遇到许多复杂的运动过程，此时表达过程规律的函数关系往往不能直接得到。也就是说量与量之间的关系（即函数）不能直接写出来，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的关系式，这就是通常所说的微分方程。因此，微分方程也是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型。在常微分方程课程教学研究中,讨论了常微分方程的思想方法及在中学数学中的应用,对系统地建立常微分方程高观点下的中学数学,提供典型素材。
关键词：常微分方程;思想方法;中学数学;应用
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
　 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。
　　物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
　　解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
　　在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做常微分方程。
　　微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
　　常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。常微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
1 微分方程建模与数学模型方法
方程作为解决实际问题的重要思想方法,历来受到人们的重视,历史上,就有笛卡尔(Descartas)曾经设想过所谓的“万能方法”:把任何问题转化为数学问题把任何数学问题转化代数问题把任何代数问题归结为解方程。尽管笛卡尔的设想最后并未成功,它仍然不失为一个伟大的思想。而今,随常微分方程建模技术的形成,使方程思想发挥更大作用。
例1： 有一水池,若单独进水24小时可以灌满,若单独放水48小时可以排完1现同时
进水和放水,多少小时可灌满水池?
若设水池容积为V,水池灌满时刻为T,建立中学代数方程:

即T=48(小时)
但实际中,进水可为衡量,而排水却是随水池水位下降流量不断减少。于是,对于深度为H的水池,单独进满水和排完水时间分别为和,建立微分方程:

即
此时,当=48,=24,则根本无法灌满水。
当然,人们也可以从现实世界中的问题出发,直接通过实验或观察,从而获得现实世界的解。但是这样做往往是行不通的,或者由于花费昂贵,只好作罢。所以制胜的办法是通过数学模型,走一条迂回的道路。

建立和处理数学模型的过程,就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。因此,它是
当今“大众数学”观下的“问题解决”的重要工具。
例2： 一条公路通过一个工厂地区,七个工厂 (i=1,2,,7)分布在公路两侧,并与公路相连,现要在公路上建一个长途汽车站P,使车站到各工厂的距离总和最小.(a)这个车站设在什么地方最好?(b)如果又建一个工厂A8且与公路相连,那么这时车站设在什么地方最好?
这为1978年北京市竞赛题。由于 (i=1,2,,,8)到公路的距离和是定值,因此只须车站P到点 (j=1,2,,,5)的距离加权和最小。现将公路拉成直线,并使点 (j=1,2,,,5)位置和其间距离保持不变。这样,本问题的数学模型是:一直线上排列的几个点(可重复)与该直线上一动点的距离和的最小值问题.
2 Picard逼近法与数学构造
微分方程解的存在唯一性定理,是微分方程最基本的理论,一般都是采用皮卡（Picard）的逼近法。其核心是对积分方程：
（2.1）
取函数代入（2.1）,若其成立，则得到其解；否则，有新积分方程：
（2.2）
再取函数代入（2.2），若其成立，则得到其解；否则，取新函数，继续作下去，得到一列函数：
（2.3）
满足积分方程：
（2.4）
如果这列函数一致收敛于一个函数，则就是（2.1）的解。
这种通过巧妙构造函数序列（2.3），采用逐步逼近解决问题的方法，不仅新颖有趣，而且有着广泛的实用价值。从古代的“割圆木”求圆周率，P,到近代分析中的“e”值求法，都是它典型应用。
例3： 柯西（Cauchy）问题：求函数方程在R内的单调函数解。
利用数学归纳法，先对自然数n给出结果：

然后给出有理数关系（）：

再对单调函数，给出实数解：

这种沿整数有理数实数的逼近思想方法，从而获得函数解。
另外，构造法更是活跃在数学领域内。像分析中的一系列微分中值定理，都是通过构造函数而获证。
例4: 柯西不等式：

当且仅当为一常数时，等号成立。
不等式的结构，与一元二次方程的判别式有关。因此，可构造二次函数：

. （为一常数等号成立）
必然
即有柯西不等式。
3 Euler待定指数函数法与化归思想
对于常系数线性微分方程：
（3.1）
都是采用欧拉（Euler）的待定指数函数法，将方程（3.1）的求解，化归为求代数方程：
（3.2）
从而求得其特解 。其中为方程（3.2）的k重根。
像这样，将微分方程化归为代数方程，不必经过积分运算而间接获得解的方法，都是化
归思想作用的结果。而这种思想在常微分方程中，比比皆是。如前面的此卡逼近法，就是将微分方程的解化归积分方程的解化归一致收敛函数序列。
再如对Riccati方程：，其可积条件是：，
（为常数、D为函数）。
现设非R氏方程特解（），通过变换
（），
得方程：

的可知条件
,.
因此，化归思想是数学家区别于一般科学家的分水岭，是发现问题、分析问题、解决问题，形成数学构思的方法论依据。

例5： 对素数，解整数方程组：
，
方程的结构，可构造一元二次方程：，求得其解。但讨论其解的整数情况，却是麻烦之事。
现将问题化归为素数问题，由知x、y中一数为1，另一数为q，于是由知p=3、q=2，从而方程组解或。
因此,加强常微分方程思想方法教学研究,是师范院校/高初结合的需要,它不仅对于丰富微分方程教学内容,还对构建微分方程高观点下的中学教学,都有着重要的意义。

参考文献:
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