函数中的任意和存在性问题.doc

函数中的任意和存在性问题二 解答题
教学目标： 结合具体函数，讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法
过程与方法 通过研究具体函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系
授课过程：引入：已知函数，，
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若函数在上无零点，求的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的，在上总存在两个不同的（），使得成立，求取值范围。
问题：
已知函数，函数，
当时，对任意，是否存在， 成立.若呢？
变式1：对任意，存在， 成立，求的取值范围.
的值域是的值域的子集即可.〔的值域是的值域的子集即可.〕
变式2：存在 ，使得成立，求的取值范围.
〔的值域与的值域的交集非空.〕
变式3：对任意，存在，使得成立，求的取值范围.
〔〕
走进高考 （09浙江理）
已知函数,,其中.
设函数 是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一
的非零实数（）,使得成立？若存在,求的值;若不存在,请说明理由．
小结： 1.对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.
2.解题中要注意数学思想方法的应用:如转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等.
作业：已知函数，函数
自主探究其他任意和存在性问题，并总结一般性结论。
例1：（1）已知求实数的取值范围。
（2）已知，对任意，的值域是，求实数的取值范围。
分析：本题第（1）问是一个恒成立问题，由于，恒成立，则此问题等价于恒成立，又等价于时的最小值恒成立.
由于在 时为增函数，所以，于是，.
第（2）问是一个恰成立问题，即当时，的值域恰为,与（1）不同的是，（1）是时，恒成立，因此允许在时，的取值为，，------等等.
而的值域为，则当时，只能取，而不能是其他.
，当时，由于，与其值域为矛盾，所以有.
注意到当时，函数都是上的增函数，因而也是上的增函数.于是在时的最小值为，令，即，得.
小结：1、解恒成立题的基本思路是：若在D上恒成立，等价于在D上的最小值成立，若在D上恒成立，则等价于在D上的最大值成立.
2、解决恰成立问题的的基本思路是：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.
例3：函数
（1）定义域为区间，求实数的取值范围.
（2）在区间上有意义，求实数的取值范围；
分析：（1）由题意知不等式的解集为[-1,2]，
即的解集为[-1,2]，则的两根为-1，2则或
（2）由题意知，不等式在[-1,2]上恒成立
即: 恒成立
或时， 或
 2) 能成立问题
 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.
如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围______（答：）
3)恰成立问题
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.
3. 已知两函数，k为实数。
（Ⅰ）对任意的，有成立，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）对任意的，，有成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）对任意的，总存在，有成立，求实数k的取值范围。
4. 设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x0，都有f (x)ax成立，求实数a的取值范围．
（盐城市2009/2010学年度高三年级第一次调研考试）20．已知函数.
（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；
（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值；
（Ⅲ）若存在，使得，试求的取值范围.
20. 解：（Ⅰ）…………………………………3分
由于，故当时，，所以，
故函数在上单调递增 ……………………………………………………………5分
（Ⅱ）当时，因为，且在R上单调递增，
故有唯一解……………………………………………………………………7分
所以的变化情况如下表所示：
x

0

－
0
＋

递减
极小值
递增
又函数有三个零点，所以方程有三个根，
而，所以，解得 ……………………………11分
（Ⅲ）因为存在，使得，
所以当时，…………12分
由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，
所以当时，，
而，
记，因为（当时取等号），
所以在上单调递增，而，
所以当时，；当时，，
也就是当时，；当时，………………………14分
①当时，由，
②当时，由，
综上知，所求的取值范围为…………………………………………16分
（南京市2010届高三第二次模拟考试数学试题）19.已知函数
（1） 当a=1时，求函数f(x)的单调增区间
（2） 求函数f(x)区间【1，e】上的最小值；
（3） 设，若存在，使得成立，求实数a的取值范围。

（常州市2009～2010学年度第一学期期末联考）20. 设为实数，函数，的图象在点处的切线的斜率为1.
⑴求实数的值；
⑵若对于任意，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；
⑶设方程的两个实数根为，若对于任意，总存在，使得恒成立，记，当时，求实数的值.

所以实数数的取值范围是 9分

（南京市2010届高三第三次模拟考试）20.已知函数
（1）求证：函数必有零点
（2）设函数
①若在上是减函数，求实数的取值范围；
②是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

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