2022年必修4平面向量数量积考点归纳.doc

“平面向量”误区警示
“平面向量”概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水．现将与平面向量基本概念有关误区整顿如下．
⑴向量就是有向线段
解析：向量常用一条有向线段来体现，有向线段长度体现向量大小，箭头所指方向体现向量方向．
有向线段是向量一种体现措施，不能说向量就是有向线段．
⑵若向量与相等，则有向线段AB与CD重叠
解析：长度相等且方向相似向量叫做相等向量．因而，若＝，则有向线段AB与CD长度相等且方向
相似，但它们可以不重叠．
⑶若向量∥，则线段AB∥CD
解析：方向相似或相反非零向量叫做平行向量．故由与平行，只能得到线段AB与CD方向相似或相反，
它们也许平行也也许共线．
⑷若向量与共线，则线段AB与CD共线
解析：平行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向相似或相反非零向量．
故由与共线，只能得到线段AB与CD方向相似或相反，它们也许平行也也许共线．
⑸若∥，∥，则∥
解析：由于零向量与任历来量平行，故当＝时，向量、不一定平行．
当且仅当、、都为非零向量时，才有∥．
⑹若||＝||，则＝或＝－
解析：由||＝||，只能拟定向量与长度相等，不能拟定其方向有何关系．
当与不共线时，＝或＝－都不能成立．
⑺单位向量都相等
解析：长度等于一种长度单位向量叫做单位向量，由于单位向量方向不一定相似，故单位向量也不一定相等．
⑻若||＝0，则＝0
解析：向量和实数是两个截然不同概念，向量构成集合与实数集合交集是空集．
故若||＝0，则＝，不可以说＝0．
平面向量数量积四大考点解析
考点一. 考察概念型问题
例1.已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题个数( )
⑴；⑵反向
⑶； ⑷=
A.1 B.2 C.3 D.4

评注：两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，
因而当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量夹角为0或π，则两向量共线.
考点二、考察求模问题
例2.已知向量，若不超过5，则k取值范畴是__________。

评注：本题是已知模逆向题，运用定义即可求参数取值范畴。
例3.（1）已知均为单位向量，它们夹角为60°,那么＝（ ）
A. B. C. D. 4
（2）已知向量，向量，则最大值是___________。

评注：模问题采用平措施能使过程简化。
考点三、考察求角问题
例4.已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与夹角.

练习一：数量积（内积）意义及运算
1．已知向量，为单位向量，当它们之间夹角为时，在方向上投影与在方向上投影分别为（ ）
Ａ．　　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．
图1
Ａ
Ｂ
Ｃ
练习目：区别在方向上投影与在方向上投影，达到对旳理解投影概念．
2．在边长为2等边中，值是（　　）．
　 Ａ．２　　Ｂ．－２　　Ｃ．　４　　Ｄ．－４
练习目：结合图形１，根据投影意义，理解几何意义．
3．已知夹角为，.
(1) 求值； (2) 当m为什么值时，垂直？

练习目：结合此前所学向量垂直等价关系，类比数量积运算与实数多项式运算关系，达到巩固数量积运算目．
　　练习二：数量积坐标运算、模及夹角
4．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向单位向量．在直角三角形中，
若，则也许值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

练习目：结合向量垂直等价关系，练习数量积坐标运算，体会分类讨论数学思想措施．
5.　已知向量，，
求（1）；（2）与夹角

练习目：巩固平面向量模以及夹角公式，类比向量运算与实数多项式运算关系．
6．设向量满足，夹角为，若向量与向量夹角为钝角，
求实数取值范畴。

练习目：综合运用向量数量积、夹角公式以及向量共线条件解题，在解题时要特别注意特殊状况，
才干不漏掉地对旳解题．
　　　练习三．平面向量综合应用
7．（1）已知中，，Ｂ是中最大角，若，则形状为__________.

练习目：体会应用平面向量夹角公式判断三角形形状．
平面向量巩固检测
1 已知，，其中
(1)求证： 与互相垂直；
(2)若与长度相等，求值(为非零常数)

2．已知、是两个不共线向量，且=（cos，sin），=（cos，sin）
（Ⅰ）求证：+与－垂直；
（Ⅱ）若∈（），=，且|+| = ，求sin.

3．设
(1)计算

4． 已知向量＝(cosx，sinx)，＝(cos，－sin)，其中x∈[0，]
(1)求·及|＋|；(2)若f(x)＝·－2λ|＋|最小值为－，求λ值

平面向量数量积四大考点解析
考点一. 考察概念型问题
例1.已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题个数( )
⑴；⑵反向
⑶； ⑷=
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：需对以上四个命题逐个判断，根据有两条，一仍是向量数量积定义；二是向量加法与减法平行四边形法则.
解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ
∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1
∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.
(2)若,反向，则、夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题(2)是真命题.
(3)当⊥时，将向量，起点拟定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边四边形为矩形，因此有⊥，因而命题(3)是真命题.
(4)当｜｜＝｜｜但与夹角和与夹角不等时，就有｜·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故(4)是假命题.
综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选用(C).
评注：两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因而当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量夹角为0或π，则两向量共线.
考点二、考察求模问题
例2.已知向量，若不超过5，则k取值范畴是__________。
分析：若则，或，对于求模有时还运用平措施。
解：由，又，由模定义，得：解得： ，故填。
评注：本题是已知模逆向题，运用定义即可求参数取值范畴。
例3.（1）已知均为单位向量，它们夹角为60°,那么＝（ ）
A. B. C. D. 4
（2）已知向量，向量，则最大值是___________。
解：（1）
因此，故选C。

（2）由题意，知,
又
则最大值为4。
评注：模问题采用平措施能使过程简化。
考点三、考察求角问题
例4.已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与夹角.
分析：规定与夹角，一方面规定出与夹角余弦值，即规定出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中两个用另一种体现出来，即可求出余弦值，从而可求得与夹角θ.
解：设与夹角为θ. ∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，
即
解之得 2=2· 2=2· ∴2=2 ∴｜｜＝｜｜
∴cosθ=== ∴θ= 因而a与b夹角为.
练习一：数量积（内积）意义及运算
1．已知向量，为单位向量，当它们之间夹角为时，在方向上投影与在方向上投影分别为（ ）Ａ．　　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．
　1．答案B
　　 解答： 在方向上投影
在方向上投影
练习目：区别在方向上投影与在方向上投影，达到对旳理解投影概念．
图1
Ａ
Ｂ
Ｃ
2．在边长为2等边中，值是（　　）．
　　　　　Ａ．２　　Ｂ．－２　　Ｃ．　４　　Ｄ．－４
　　2．答案Ｂ
　　　解答：由平面向量数量积公式得：
　　　＝＝
　　　因而值为－２．
　练习目：结合图形１，根据投影意义，理解几何意义．
　　　3．已知夹角为，.
(1) 求值
(2) 当m为什么值时，垂直？
3．解答

因此
(2) 由垂直，得，即

①
又由于夹角为
因此
代入①得
因而当时，垂直.
练习目：结合此前所学向量垂直等价关系，类比数量积运算与实数多项式运算关系，达到巩固数量积运算目．
　　练习二：数量积坐标运算、模及夹角
4．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向单位向量．在直角三角形中，若，则也许值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
　 4．答案B　
　 提示：由题设 ，
转化为坐标体现：，
是直角三角形可以分为三种状况：
　 （1）得
　（2）得
（3）
即，无解
故 也许有两个值－1，－6，
练习目：结合向量垂直等价关系，练习数量积坐标运算，体会分类讨论数学思想措施．
5.　已知向量，，
求（1）；（2）与夹角
　　　５．解答：由题设
（1）由得
即
解得：
因此

因而=4
（2）设夹角为，又
因此
练习目：巩固平面向量模以及夹角公式，类比向量运算与实数多项式运算关系．
6．设向量满足，夹角为，若向量与向量夹角为钝角，求实数取值范畴。
6．解答：由题设
由于向量与向量夹角为钝角，
因此
由
解得
另一方面，当夹角为时，也有，因此由向量与向量同方向得：
　　　　　　　　　　＝（）　（）
　　　　　　　　　　因而
　　　　　　　　解得：，＝
　　　　　　　　由于，因此，得
　　　　　　　因而，当时，两向量夹角为０不合题意．
　　　　因此，若向量与向量夹角为锐角，实数取值范畴是：

　　　练习目：综合运用向量数量积、夹角公式以及向量共线条件解题，在解题时要特别注意特殊状况，才干不漏掉地对旳解题．
　　　练习三．平面向量综合应用
　7．（1）已知中，，Ｂ是中最大角，若，则
形状为__________.
　7．答案：锐角三角形
提示：由
可得 ，即夹角为钝角，因此，为锐角，
因而为锐角三角形．
　练习目：体会应用平面向量夹角公式判断三角形形状．
平面向量巩固检测
1 已知，，其中
(1)求证： 与互相垂直；
证明：
与互相垂直
(2)若与长度相等，求值(为非零常数)
解析：；

而
，
2．已知、是两个不共线向量，且=（cos，sin），=（cos，sin）
（Ⅰ）求证：+与－垂直；
（Ⅱ）若∈（），=，且|+| = ，求sin.
解：（1）∵=（4cos，3sin）， =（3cos，4sin）
∴|| = || =1
又∵（+）·（－）=2－2=||2－||2 = 0
∴（+）⊥（－）
（2）|+|2 =（+）2 = ||2 +||2 +2·= 2 + 2··=
又·=（cos）=
∴ ∵ ∴＜＜0
∴sin（）= ∴sin
= sin（）·cos
=
3．设
（1）计算

解：

4． 已知向量＝(cosx，sinx)，＝(cos，－sin)，其中x∈[0，]
(1)求·及|＋|；(2)若f(x)＝·－2λ|＋|最小值为－，求λ值
解：(1)·＝cosxcos－sinxsin＝cos2x，|＋|＝＝2cosx
(2)f(x)＝·－2λ|＋|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－1－4λcosx＝2(cosx－λ)2－2λ2－1
注意到x∈[0，]，故cosx∈[0，1]，若λ＜0，当cosx＝0时f(x)取最小值－1。不合条件，舍去. 若0≤λ≤1，当cosx＝λ时，f(x)取最小值－2λ2－1，令－2λ2－1＝－且0≤λ≤1，解得λ＝， 若λ＞1，当cosx＝1时，f(x)取最小值1－4λ， 令1－4λ＝－且λ＞1，无解综上：λ＝为所求.