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多元函数微积分复习题
一、单项选择题

1．函数在点处连续是函数在该点可微分的 ( B )
(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;
(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

2．设函数在点处连续是函数在该点可偏导的 （ D )
(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;
(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

3．函数在点处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).
(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;
(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.
4．对于二元函数, 下列结论正确的是 ( ). C
A. 若, 则必有且有;
B. 若在处和都存在, 则在点处可微;
C. 若在处和存在且连续, 则在点处可微;
D. 若和都存在, 则. .

5．二元函数在点处满足关系( ). C
A. 可微(指全微分存在)可导(指偏导数存在)连续;
B. 可微可导连续;
C. 可微可导, 或可微连续, 但可导不一定连续;
D. 可导连续, 但可导不一定可微.

6.向量，则 （ A ）
(A) 3 (B)
(C) (D) 2

5．已知三点M（1，2，1），A（2，1，1），B（2，1，2） ，则 = （ C ）
(A) -1； (B) 1；
(C) 0 ； (D) 2；

6．已知三点M（0，1，1），A（2，2，1），B（2，1，3） ，则=（ B ）
(A) (B) ;
(C); (D)-2;

7．设为园域 , 化积分为二次积分的正确方法
是_________. D
A. B.
C.
D.

8．设, 改变积分次序, 则 B
A. B.
C. D.
9． 二次积分 可以写成___________. D
A. B.
C. D.

10． 设是由曲面及所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分
表示为三次积分， C
A．
B.
C．
D．

11．设为面内直线段，其方程为，
则 （ C ）
（A） （B）
（C） 0 （D）

12．设为面内直线段，其方程为，则 （ C ）
（A） （B）
（C） 0 （D）

13．设有级数,则是级数收敛的 （ D ）
(A) 充分条件； (B) 充分必要条件；
(C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;

14．幂级数的收径半径R = （ D ）
(A) 3 (B) 0
(C) 2 (D) 1

15．幂级数的收敛半径 （ A ）
(A) 1 (B) 0
(C) 2 (D) 3

16．若幂级数的收敛半径为，则的收敛半径为 （ A ）
(A) (B)
(C) (D) 无法求得

17. 若, 则级数( ) D
A. 收敛且和为
B. 收敛但和不一定为

C. 发散 D. 可能收敛也可能发散
18. 若为正项级数, 则( )
A. 若, 则收敛 B. 若收敛, 则收敛 B
C. 若, 则也收敛 D. 若发散, 则
19. 设幂级数在点处收敛, 则该级数在点处( ) A
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不定
20. 级数, 则该级数( ) B
A. 是发散级数 B. 是绝对收敛级数
C. 是条件收敛级数 D. 可能收敛也可能发散

二、填空题
1．设，则 ___1___.

2．设，则 =____0______.

3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是

4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是

5．柱面坐标下的体积元素

6．设积分区域, 且, 则 3 。
7． 设由曲线所围成, 则
8． 设积分区域为,
9．设在[0， 1]上连续，如果，
则=_____9________.

10．设为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则

.

11．设为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，
则 0

12．等比级数当 时，等比级数收敛.

13．当____时，级数是收敛的.

14．当_________时,级数是绝对收敛的.
15．若, 则 ,
16．若, 则
17．设, 则
18．设, 则
19. 积分的值等于 ,

20. 设为园域, 若, 则 2
21.设, 其中, 则

三、计算题
1. 求过点 且与平面平行的平面方程.
解: 已知平面的法向量n=（2，-5，4），
所求平面的方程为
2（x +2）-5（y -0）+4（z -1）=0
即 2 x -75y +4z = 0

2．求经过两点M1（，，2）和 M2（3，0，1）的直线方程。
. 解: = (4, 2 , )
所求直线方程为
3．求过点 ( 0, -3, 2) 且以n =( 3, -2, 1 )为法线向量的平面方程.
解: 所求的平面方程为

即

4．设，其中具有二阶连续偏导数，求
解:

5．设, 求
解: 方程两边对求导得

由此得

6．设，其中具有二阶连续偏阶导数，求。
解: ,

7．设, 求
解: 方程两边同时对求导得
,

8．设，其中具有连续的二阶偏导数，求
解:

9．设
解: 方程两边对同时求导得

由此得

10．计算二重积分, 其中是由直线
所围成的闭区域。

解:
=

11．改变二次积分的积分次序。
解: 积分区域为
也可表示为

12．计算二重积分, 其中是由直线
所围成的闭区域。
解:
=
13．改变二次积分的积分次序。
解: 积分区域为
也可表示为
有
14．计算二重积分其中D:
解:
=

15．改变二次积分的积分次序。
解: 积分区域为
也可表示为

16．利用格林公式计算曲线积分 I =
其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界.

解: 由格林公式
I =
= =
= 12

17．利用格林公式计算曲线积分 ,
其中L为正向的圆周 .
解：由格林公式
I =
=
=
18．利用格林公式计算曲线积分 I =
其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(0,3)的三角形正向边界.

解: 由格林公式
I =
=
=
= 18.
19． 判别级数的收敛性。
解:
由比值判别法知级数收敛

20．求幂级数的收敛区间。
解:
，
收敛区间为

21．求幂级数的收敛区间。
解: ,

收敛区间为(-3, 3)

四、解下列各题题
1． 利用柱面坐标计算三重积分 ，其中是由曲面
与平面所围成的闭区域。
解:

=
=

2． 利用柱面坐标计算三重积分 ，
其中闭区域为半球体.
解: 在平面内的投影区域为，
用柱面坐标可表示为

3．． 利用柱面坐标计算三重积分 ，其中是由曲面
与平面所围成的闭区域。
解:

=

4． 计算曲线积分，其中是在圆周上由
点O（0，0）到点A（1，1）的一段弧。
解:
曲线积分与路径无关，

= ( y=x , )
= = - 1

5．计算曲线积分，其中是在圆周上由
点O（0，0）到点A（2，0）的一段弧。
解：
曲线积分与路径无关，

= ( y=0, )

6． 计算曲线积分，其中是在圆周上由
点A（2，0）到点0（0，0）的一段弧。
解:
曲线积分与路径无关，

= ( y=0 , x由2到0)
= .

7． 判别级数 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？
解: 记 , 则

且
由莱布尼兹定理, 级数收敛
又,而级数发散,由比较判别法可知
级数发散,从而级数为条件收敛

8．判别级数 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？
解： 记，
而发散，所以发散
又
且 ，
由莱布尼兹定理知
收敛且为条件收敛.
9． 判别级数 是否收敛？如果收敛，是绝对收还是条件收敛？
解:

级数收收敛，
从而级数为绝对收敛.

10 计算, 其中.
11. 计算, 其中
12. 求由锥面与圆柱面所围成的立体的体积.

五．应用题
1．将周长为的矩形绕它的一边旋转得一圆柱体，问矩形的
边长各为多少时，所得圆柱体的体积为最大？
解. 目标函数：，附加条件：

解方程组：
得唯一可能极值点：
故当矩形的边长分别为和时，绕短边旋转所得到园柱
体的体积最大，且其体积为

2．从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的
直角三角形.
解： 设直角三角形的两直角边分别为和，问题化为求
在条件下的最大值问题。
设 …………………...2分
解方程组
得 ……………………………….5分
故可知当两直角边都等于时直角三角形的周长最大。 …………………………………..7分

3.. 求原点到曲面上点的最短距离.
4. 证明: 曲面上任一点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积

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