清华大学微积分高等数学第讲常微分方程二省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,作业,P236 习题8.2,9.11.13.25.26.28.,35.39.41.47.,1/31,4/10/2025,1,第二十二讲 常微分方程,（二）,一、一阶线性方程,三、可利用微分形式求解方程,二、伯努利(Bernoulli)方程,四、积分因子,2/31,4/10/2025,2,一、一阶线性微分方程,3/31,4/10/2025,3,性质1：,性质2：,性质3：,4/31,4/10/2025,4,性质4：,性质5：,5/31,4/10/2025,5,(1)怎样解齐次方程？,非齐次,齐次,可分离型！,标准形式：,什麽类型？,一阶线性微分方程,6/31,4/10/2025,6,分离变量,是p(x)一个原函数不是不定积分！,齐次通解,解得,注意：,齐次通解结构：,7/31,4/10/2025,7,(2)用常数变异法解非齐次方程,假定(1)解含有形式,将这个解代入(1),经计算得到,8/31,4/10/2025,8,化简得到,即,9/31,4/10/2025,9,积分,从而得到非齐次方程(1)通解,非齐次通解,或,10/31,4/10/2025,10,非齐次通解结构：,特解,非齐次特解,11/31,4/10/2025,11,12/31,4/10/2025,12,这是线性方程吗？,是关于函数,x=x(y),一阶线性方程！,解,变形为：,第一步:先求解齐次方程,齐次方程通解是,13/31,4/10/2025,13,第二步:用常数变异法解非齐次方程,假设非齐次方程解为,代入方程并计算化简,积分得,通解,14/31,4/10/2025,14,证,15/31,4/10/2025,15,16/31,4/10/2025,16,Bernoulli 方 程,二、伯努利(Bernoulli)方程,17/31,4/10/2025,17,Bernoulli,方 程,线性,方程,18/31,4/10/2025,18,解,19/31,4/10/2025,19,解线性方程,对应齐次方程,(2)通解,设(1)解为,代入(1),计算化简得到,20/31,4/10/2025,20,21/31,4/10/2025,21,三、可利用微分形式求解方程,利用熟悉微分公式，经过凑微分方法将微分方程变为一些函数微分形式.,比如,22/31,4/10/2025,22,23/31,4/10/2025,23,解,通解,凑微分,24/31,4/10/2025,24,通解为,解,改写为,25/31,4/10/2025,25,通解为,解,26/31,4/10/2025,26,问:能否直接经过凑微分求解？,不能,问:能否变为可经过凑微分求解方程？,试试看,27/31,4/10/2025,27,(六)积分因子,28/31,4/10/2025,28,通解,积分因子,可能会丢解！,解,29/31,4/10/2025,29,解,通解,30/31,4/10/2025,30,小结,1.解、通解、特解、定解问题,2.一阶微分方程可积类型,可分离型、,一阶线性、,利用微分形式、,思想：方程变形变量代换,可化为可分离、,伯努利方程、,积分因子,31/31,4/10/2025,31,