1、单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,作业,P236 习题8.2,9.11.13.25.26.28.,35.39.41.47.,1/31,4/10/2025,1,第二十二讲 常微分方程,（二）,一、一阶线性方程,三、可利用微分形式求解方程,二、伯努利(Bernoulli)方程,四、积分因子,2/31,4/10/2025,2,一、一阶线性微分方程,3/31,4/10/2025,3,性质1：,性质2：,性质3：,4/31,4/10/2025,4,性质4：,性质5：,
2、5/31,4/10/2025,5,(1)怎样解齐次方程？,非齐次,齐次,可分离型！,标准形式：,什麽类型？,一阶线性微分方程,6/31,4/10/2025,6,分离变量,是p(x)一个原函数不是不定积分！,齐次通解,解得,注意：,齐次通解结构：,7/31,4/10/2025,7,(2)用常数变异法解非齐次方程,假定(1)解含有形式,将这个解代入(1),经计算得到,8/31,4/10/2025,8,化简得到,即,9/31,4/10/2025,9,积分,从而得到非齐次方程(1)通解,非齐次通解,或,10/31,4/10/2025,10,非齐次通解结构：,特解,非齐次特解,11/31,4/10/20
3、25,11,12/31,4/10/2025,12,这是线性方程吗？,是关于函数,x=x(y),一阶线性方程！,解,变形为：,第一步:先求解齐次方程,齐次方程通解是,13/31,4/10/2025,13,第二步:用常数变异法解非齐次方程,假设非齐次方程解为,代入方程并计算化简,积分得,通解,14/31,4/10/2025,14,证,15/31,4/10/2025,15,16/31,4/10/2025,16,Bernoulli 方 程,二、伯努利(Bernoulli)方程,17/31,4/10/2025,17,Bernoulli,方 程,线性,方程,18/31,4/10/2025,18,解,19/
4、31,4/10/2025,19,解线性方程,对应齐次方程,(2)通解,设(1)解为,代入(1),计算化简得到,20/31,4/10/2025,20,21/31,4/10/2025,21,三、可利用微分形式求解方程,利用熟悉微分公式，经过凑微分方法将微分方程变为一些函数微分形式.,比如,22/31,4/10/2025,22,23/31,4/10/2025,23,解,通解,凑微分,24/31,4/10/2025,24,通解为,解,改写为,25/31,4/10/2025,25,通解为,解,26/31,4/10/2025,26,问:能否直接经过凑微分求解？,不能,问:能否变为可经过凑微分求解方程？,试试看,27/31,4/10/2025,27,(六)积分因子,28/31,4/10/2025,28,通解,积分因子,可能会丢解！,解,29/31,4/10/2025,29,解,通解,30/31,4/10/2025,30,小结,1.解、通解、特解、定解问题,2.一阶微分方程可积类型,可分离型、,一阶线性、,利用微分形式、,思想：方程变形变量代换,可化为可分离、,伯努利方程、,积分因子,31/31,4/10/2025,31,
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