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轨迹方程求法及经典例题汇总
一、 轨迹为圆的例题：
1、 必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在轴和轴上移动，求线段的中点M的轨迹方程：

必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课本P144B组2：已知点M(,)与两个定点的距离之比为一个常数；讨论点M(,)的轨迹方程（分=1，与1进行讨论）

2、 必修2课本P122例5：线段的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆上运动，求的中点M的轨迹。

（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。 （1）求圆心的的轨迹方程；
（2）若点到直线的距离为，求圆的方程。

如图所示，已知P(4，0)是圆x22=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠90°，求矩形的顶点Q的轨迹方程.
解：设的中点为R，坐标为()，则在△中，.又因为R是弦的中点，依垂径定理：在△中，22－2=36－(x22)又所以有(x－4)22=36－(x22),即x22－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q()，R(x11)，因为R是的中点，所以x1=,代入方程x22－4x－10=0,得－10=0整理得：x22=56,这就是所求的轨迹方程.

在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．

（2013陕西卷理20）已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为8.
（1） 求动圆圆心的轨迹的方程；
（2） 已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点。

二、 椭圆类型：
3、 定义法：（选修2-1P50第3题）点M(,)与定点F(2，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)
讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）

4、 圆锥曲线第一定义：（选修2-1P50第2题）一个动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆的圆心轨迹方程。

5、 圆锥曲线第一定义：点M()圆上的一个动点,点（1,0）为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点（1,0）在圆内)

6、 其他形式：（选修2-1P50例3）设点的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线相交于点M，且他们的斜率的乘积为，求点M的轨迹方程:（是一个椭圆）
（讨论当他们的斜率的乘积为时可以得到双曲线）

（2013新课标1卷20）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。 （1）求的方程； （2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求

（2013陕西卷文20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。
（1）求动点的轨迹的方程
（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率。

三、 双曲线类型：
8、圆锥曲线第一定义：点M()圆上的一个动点,点（1,0）为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点（1,0）在圆外)

定义法：（选修2-1P59例5）点M(,)与定点F(5，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)

四、 抛物线类型：10、定义法：（选修2-1）点M(,)与定点F(2，0)的距离和它到定直线的距离相等，求点M的轨迹方程。（或：点M(,)与定点F(2，0)的距离比它到定直线的距离小1，求点M的轨迹方程。）
（2013陕西卷文20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。 （1）求动点的轨迹的方程
（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率
已知三点，，，曲线上任意一点满足
。
（1）求曲线的方程；

）在直角坐标系中，曲线C1的点均在C2：（5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（湖北）设A是单位圆x22=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨丨丨丨（m>0,且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；

（辽宁）如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。
(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;

（四川）如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线与轴交于点，
与轨迹相交于点，且，
求的取值范围。

1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得2|，那么动点Q的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
2.(★★★★)设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( ) A. B. C. D.
二、填空题
3.(★★★★)△中，A为动点，B、C为定点，B(－,0)(,0)，且满足条件－,则动点A的轨迹方程为.
4.(★★★★)高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是.
三、解答题
5.(★★★★)已知A、B、C是直线l上的三点，且6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

6.(★★★★)双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.
8.(★★★★★)已知椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F12的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
(2)设点R形成的曲线为C，直线l：()与曲线C相交于A、B两点，当△的面积取得最大值时，求k的值.

一、1.解析：∵1222|,∴1212a,即12a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.
2.解析：设交点P(）1(－3,0)2(3,0)1(x00)2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴∵A2、P2、P共线，∴解得x0=
二、3.解析：由－,得c－,∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.
答案：
4.解析：设P(），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85100=0.
答案：4x2+4y2－85100=0
三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：，，，故
6+12=18＞6，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)
6.解：设P(x00）(x≠±a)().
∵A1(－a,0)2(a,0).
由条件
而点P(x00)在双曲线上，∴b2x02－a2y022b2.
即b2(－x2)－a2()22b2
化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y24(x≠±a).
8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接，
∴∠F2∠，2，2|
又因为l为∠F12外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x00）(x11)1(－c,0)2(c,0).
12122a,则(x1)212=(2a)2.
又
得x1=2x0－1=2y0.
∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02022.
故R的轨迹方程为：x222(y≠0)
(2)如右图，∵S△··
当∠90°时，S△最大值为a2.
此时弦心距.
在△中，∠45°，

专题一：求曲线的轨迹方程
课前自主练习：
1．如图1，中，已知，，点在轴上方运动，且，则顶点
的轨迹方程是．

图1 图2 图3 图4

2．如图2，若圆：上的动点与点连线的垂直平分线交于点，
则的轨迹方程是．

3．如图3，已知点，点在圆上运动，的平分线交于，则的轨迹方
程是．
4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为．
5．如图4，垂直于轴的直线与轴及抛物线分别交于点、，点在轴上，且点
满足，则线段的中点的轨迹方程是．
几种常见求轨迹方程的方法：
1．直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用
坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．直接法求轨迹方程的一般步骤：
建系——设点——列式——代换——化简——检验；
【例1】（1）求和定圆的圆周的距离等于的动点的轨迹方程；
（2）过点作圆：的割线，求割线被圆截得弦的中点的轨迹．
解：（1）设动点，则有或．即或．
故所求动点的轨迹方程为或．
（2）设弦的中点为，连结，则．∵，
∴，化简得：．
其轨迹是以为直径的圆在圆内的一段弧（不含端点）．

【例2】已知直角坐标平面上一点和圆：，动点到圆的切线长等于圆的半
径与的和．求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
解：如图，设切圆于，又圆的半径，
∴，
∴，由已知．
设，则，
∴，即．可化为．
故所求的轨迹是以点为中心，实轴在轴上的双曲线的右支，顶点为，如图．
【例4】已知定圆的半径为，定点与圆的圆心的距离为．又一动圆过定点，
且与定圆相切．求动圆圆心的轨迹方程．
解：以所在的直线为轴，以的中点为原点建立坐标系，如图．
当动圆与定圆外切时，；当动圆与定圆外切时，．

由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹应是以、为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左
支）．显然，，又，
故．
所以所求的点轨迹方程是：．
3．动点转移法：若动点随已知曲线上的点的变动而变动，且、可用、表示，
则将点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点的轨迹方程．这种方法称为动点转
移法（或代换法或相关点法）．
【例5】已知定点、为抛物线，上任意一点，点在线段的中点，当点在抛物
线上变动时，求点的轨迹方程．
解：设点，且设点，则有．∵点是线段的中点．由中点坐标公式得：
，∴．将此式代入中，并整理得：，
即为所求轨迹方程．它是一条抛物线．
4．待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的
参数，进而求出方程．如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
【例7】若抛物线和以坐标轴为对称轴、实轴在轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线
被双曲线截得的线段长等于，求此双曲线方程．
解：设所求双曲线方程为，将代入整理得：．
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，
因此方程应有等根．∴，即．
由和得：．
由弦长公式得：．
即．由得：，．∴双曲线的方程是．
5．参数法：当动点的坐标、之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示
动点的坐标、，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的
的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的范围确定出、的范围．

【例8】抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于不同两点、，以、为邻
边作平行四边形，求顶点的轨迹方程．

解：设，：，中点为，，，与联立得：
．，，．
，．
，∵，为中点，
∴，．消得：．
巩固练习：
1．平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（　　）
（A）椭圆的一部分　　　（B）椭圆　　　（C）双曲线的一部分　　　（D）双曲线
2．已知动点与定点的距离比动点到轴的距离大，则动点的轨迹（　　）
（A）抛物线　　　（B）抛物线的一部分　　　（C）抛物线和一射线　　　（D）抛物线和一直线
3．已知定直线和外一点，过与相切的圆的圆心轨迹是（　　）
（A）抛物线（B）双曲线　　　　（C）椭圆（D）直线
4．一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（　　）
（A）圆　　　　（B）椭圆　　　　（C）双曲线的一支　　　　（D）抛物线
5．已知椭圆的焦点是、、是椭圆上的一个动点．如果延长到，使得，那么
动点的轨迹是（　　）
（A）圆　　　　（B）椭圆　　　　（C）双曲线的一支　　　　（D）抛物线
6．已知点、，动点满足，则点的轨迹是（　　）
（A）圆　　　　（B）椭圆　　　　（C）双曲线　　　　（D）抛物线
7．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（　　）
（A）（B）和
（C）（D）和
8．过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于两点、，则线段中点的轨迹方程为（　　）
（A）（B）（C）　（D）
9．过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于A、B两点，点与点关于轴对称，
为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（　　）
（A）　　　　　（B）
（C）　　　　　（D）
10．已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足，则动
点的轨迹方程为（　　）
（A）　　（B）　　（C）　（D）
11．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是（　　）
（A）（B）（C）（D）
12．设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是
．
13．已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交
于，则动点的轨迹方程为．
14．倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则线段中点的轨迹方程是．
15．求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过和两点的椭圆方程．
16．已知双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的方程是
．

17．已知是椭圆上的任意一点，从右焦点作的外角平分线的垂线，
垂足为，求点的轨迹方程．
18．如图，直线：与直线：之间的阴影区域
（不含边界）记为，其左半部分记为，右半部分记为．
（1）分别用不等式组表示和；
（2）若区域中的动点到，的距离之积等于，
求点的轨迹的方程；

19．设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足
，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
20．过双曲线：的左焦点作直线与双曲线交于、两点，
以线段、为邻边作平行四边形，求顶点的轨迹方程．
21．设点和为抛物线上原点以外的两个动点，
已知，，求点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
（一）求轨迹方程的一般方法：
1. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），
y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程
例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足
求点C的轨迹。

【变式】：已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

二：用直译法求轨迹方程
此类问题重在寻找数量关系。
例2：一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，且，，求中点M的轨迹方程？

【变式】: 动点P（）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？

三：用参数法求轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。
例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段的中点M的轨迹方程。

四：用代入法求轨迹方程
例4.
轨迹方程。

【变式】如图所示，已知P(4，0)是圆x22=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠90°，求矩形的顶点Q的轨迹方程

五、用交轨法求轨迹方程
例5.已知椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2，求A1P1与A2P2交点M的轨迹方程.

六、用点差法求轨迹方程
例6.已知椭圆，
（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

练习
1.在中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方
程是.
2.两条直线与的交点的轨迹方程是.
3.已知圆的方程为(1)22=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是
4.当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为。
5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为。
6:求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为
7.抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△重心P的轨迹方程。

8.已知动点P到定点F（1，0）和直线3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。

9.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段的中点M的轨迹方程。

高二（上）求轨迹方程的常用方法 答案
例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。
【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为
（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
（1） 圆：到定点的距离等于定长
（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）
（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）
（4） 到定点与定直线距离相等。
【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。
。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，4，2，b2=12。
故所求轨迹方程为
2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：
A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支
【解答】令动圆半径为R，则有，则2，满足双曲线定义。故选D。
二：用直译法求曲线轨迹方程
此类问题重在寻找数量关系。
例2： 一条线段的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求中点P的轨迹方程？
解 设M点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角形中，

M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.
【点评】此题中找到了这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：
1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。
3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.
【变式2】: 动点P（）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？
【解答】∵
代入得
化简得（x－5）22=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.
三：用参数法求曲线轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。
例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段的中点M的轨迹方程。
【解析】
分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。
解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）

∵M为的中点，

消去k，得x＋2y－5＝0。
另外，当k＝0时，中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；
当k不存在时，中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。
综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△为直角三角形的几何特性：

解法2：设M（x，y），连结，则A（2x，0），B（0，2y），
∵l1⊥l2，∴△为直角三角形

化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。
分析3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为的中点，易找出它们的坐标之间的联系。
解法3：设M（x，y），∵M为中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。
又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2
∴⊥，从而·＝－1，

注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）
中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0
综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
【点评】
1） 解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了·＝－1，这些等量关系。。
用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响
【变式3】过圆O：x22= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点M的轨迹。

解法一：“几何法”
设点M的坐标为（）,因为点M 是弦的中点，所以⊥,
所以 | ２＋|ＭＡ|２　＝|ＯＡ| ２　， 即(x2 2)+(x －４)2 2 =16
化简得：（x－2）2+ y2 =4................................①
由方程 ① 与方程x22= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为
（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，
2为半径的圆在圆O内的部分。
解法二：“参数法”
设点M的坐标为（），B（x11）（x22）直线的方程为(x－4),
由直线与圆的方程得（12）x2－8k2x +16k2－4=0...........(*),
由点M为的中点，所以...............(1) , 又⊥，所以.................(2)由方程（1）（2）
消去k得（x－2）2+ y2 =4,又由方程（*）的△≥0得k2 ≤,所以x＜1.
所以点M的轨迹方程为（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，
2为半径的圆在圆O内的部分。
四：用代入法等其它方法求轨迹方程
例4.
轨迹方程。
分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。
【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）
则由M为线段中点，可得

即点B坐标可表为（2x－2a，2y）

【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系
【变式4】如图所示，已知P(4，0)是圆x22=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠90°，求矩形的顶点Q的轨迹方程

【解析】： 设的中点为R，坐标为()，则在△中， 又因为R是弦的中点，依垂径定理 在△中，22－2=36－(x22)
又
所以有(x－4)22=36－(x22),即x22－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动
设Q()，R(x11)，因为R是的中点，所以x1=,
代入方程x22－4x－10=0,得
－10=0
整理得x22=56,这就是所求的轨迹方程
五、用交轨法求轨迹方程

六、用点差法求轨迹方程

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则

①－②得．
由题意知，则上式两端同除以，有，
将③④代入得．⑤

（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为： ． ⑥
将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．
（2）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）
（3）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）
练习1【正确解答】为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点，即轨迹方程为
2.两条直线与的交点的轨迹方程是.
【解答】:直接消去参数即得(交轨法):
3:已知圆的方程为(1)22=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是.
【解答】:令M点的坐标为(,则A的坐标为(2,代入圆的方程里面得:
4:当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为
【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为
它的顶点坐标为
消去参数m得：
故所求动点的轨迹方程为。
5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为
【分析】：点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。
【解答】：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。
6:求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为
【分析】:设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。
【解答】：设是所求轨迹上一点，依题意得
由两点间距离公式得：
化简得：
7抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△重心P的轨迹方程。
【分析】：抛物线的焦点为。设△重心P的坐标为，点C的坐标为。其中
【解答】：因点是重心，则由分点坐标公式得：
即
由点在抛物线上，得：
将代入并化简，得：（
9.已知动点P到定点F（1，0）和直线3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。
【解答】：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。
（1）当x≤3时，方程变为，化简得。
（2）当x>3时，方程变为，化简得。
故所求的点P的轨迹方程是或
10.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段的中点M的轨迹方程。
【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得。
设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。

由消去k得。
又，所以。
∴点M的轨迹方程为。

【基础练习】
1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )
A． B． C． D．
2．已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．以上都不对
3．设定点、，动点满足条件，则点P的轨迹( )
A．椭圆 B．线段 C. 不存在 D．椭圆或线段
4．动点P与定点、的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程为.
【例题精选】
一、 直接法求曲线方程
根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程了。
例1．已知中，，试求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

练习：已知两点M（-1，0）、N（1，0），且点P使，，成公差小于零的等差数列。点P的轨迹是什么曲线？

二定义法
若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
例1．⊙C：内部一点与圆周上动点Q连线的中垂线交于P，求点P的轨迹方程.

例2．设动点到定点的距离比它到y轴的距离大。记点P的轨迹为曲线C求点P的轨迹方程；

练习．若动圆与圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心轨迹方程是 .
三代入法
有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。
例1、已知定点A ( 3, 0 )，P是圆x 2 + y2 = 1上的动点，∠的平分线交于M，
求M点的轨迹。

例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x22=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠90°，求矩形的顶点Q的轨迹方程.

针对练习
一、客观题
1．平面内到点、距离之和为的点的轨迹为( )
A．椭圆 B．一条射线 C．两条射线 D．一条线段
2．平面上动点到定点的距离比到轴的距离大，则动点的轨迹方程为( )
A． B． C．或 D．或
3．已知抛物线的方程为，且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2, 若点M在此抛物线上运动, 点N与点M关于点A(1, 1)对称, 则点N的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．动点P在抛物线上移动，则点P与点连线中点M轨迹方程是.
5．一动点P到点F(2，0)的距离比它到y轴的距离大2，则点P的轨迹方程是.
二、解答题
6．动圆M过定点P（－4，0），且与圆C：x2+y2－8x=0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。

、、、

7．已知抛物线=1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段上，且有
∶=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．

8.已知数列{}的前n项和为，点在直线上，数列{}满足，b3=11，且{}的前9项和为153.
(1)求数列{}和{}的通项公式；
(2)设，记数列{}的前n项和为，求使不等式对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．

19.（本题满分14分）
已知点C(1，0)，点A、B是⊙O: x22=9上任意两个不同的点，
且满足，设P为弦的中点。
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

20、(本题满分14分)
过点作直线交圆M：于点B、C，在上取一点P，使P点满足：,
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求面积的最大值。

一、知识概要：
1. 定义法:
若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
2. 直接法:
根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程了。
二、基本训练：
1、已知的一边的长为6，周长为16，则顶点A的轨迹是什么？
答:.
2、若, 则点M的轨迹方程是.
(注意区别轨迹与轨迹方程两概念)
三、例题：
例1、两根杆分别绕着定点A和B ( = 2a) 在平面内转动,并且转动时两杆保持相互垂直,
求两杆交点的轨迹方程.

例3、过点，作直线l交双曲线于A、B不同两点，已知。
（1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（2）、是否存在这样的直线，使若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。
解：（1）、设直线l的方程为，
代入得，
当时，设，，则，

设，由，则

，解之得
再将代入得……………………（1）
当时，满足（1）式；
当斜率不存在是，易知满足（1）式，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线；
当时，l与双曲线只有一个交点，不满足题意。