2022年数学归纳法与数列的极限答案.doc

第十二讲：数学归纳法与数列极限
知识小结：

4.数列极限：一般地，在无限增大变化过程中，如果无穷数列中项无限趋近于一种常数A，那么A叫做数列极限，或叫做数列收敛于A，记作。
注意点：1）只有无穷数列，当趋近于无穷大时，无限趋近于某一常数；
2）对于数列，当无穷增大时，无限趋近于某一定值时，是通过无限趋近于零来描述。这里无限趋近于零，是指无论取一种值多么小正数（可以任意给定），总可以通过取充足大后来，使充足接近于零，如果这个任意小正数用来体现，那么当充足大时，总有。
3）极限值只有一种值，如趋近于两个值一定没有极限。
5.极限运算性质性质：

2）几种重要极限：

6.无穷等比数列各项和和概念：我们把无穷等比数列前项和，当无穷增大时极限叫做无穷等比数列各项和，并用符号体现，即
注意点：1）只有当且时，才干代入上述公式；
2）事实上可推出：；
3）化循环小数为分数可分解成一种等比数列各项和形式，或者可直接化为分数：如；；

例2、求极限：

例4、定义：将一种数列中某些项按本来先后顺序排列所成一种新数列称为原数列一种子数列.
已知无穷等比数列首项、公比均为.
（1）试求无穷等比子数列（）各项和；
（2）与否存在数列一种无穷等比子数列，使得它各项和为？若存在，求出所有满足条件子数列通项公式；若不存在，请阐明理由；
解：（1）依条件得： 则无穷等比数列各项和为： ；
（2）解法一：设此子数列首项为，公比为，由条件得：，
则，即
而 则 .
因此，满足条件无穷等比子数列存在且唯一，它首项、公比均为，其通项公式为，.
解法二：由条件，可设此子数列首项为，公比为.
由………… ①
又若，则对每一均有………… ②
从①、②得；
则；
因而满足条件无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为无穷等比子数列，通项公式为，.
例5：（1）（上海数学高考）已知其中为正整数，设体现外接圆面积，则 。
解：此题一般地考虑措施是先求出外接圆方程，然后得出圆面积，最后求得成果，但整个过程计算比较啰嗦，很容易导致计算出错。
但如果从极限思想出发，一方面考虑是当时这三个点变化位置，趋于原点，点趋于然后看得圆半径为2，从而所求圆面积为。

（2）（上海数学高考卷（文）第12题）如图，是直线上两点，且．两个半径相等动圆分别与相切于点，是这两个圆公共点，则圆弧，与
线段围成图形面积取值范畴是 ．
解：当两圆半径时，点C趋向直线AB。
当两圆相外切时， ，
例6、（09上海高考题）已知是公差为d等差数列，是公比为q等比数列。
找出所有数列和，使对一切，并阐明理由；
[解法一]若,即 （*）
（i）若，则
当为非零常数列，为恒等于1常数列，满足规定
（ii）若，（*）式等号左边取极限和，
（*）式等号右边极限只有当时，才也许等于1,此时等号左边是常数，
矛盾。
综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1常数列，满足规定
[解法二]设若，对都成立，且为等比数列，
则，对都成立，即
都成立，
（i）若，则，
（ii）若，则（常数）
即，则，矛盾。
综上所述，有,使对一切

例7、在数列中,若是正整数,且则称为“绝对差数列”
(1) 举出一种前五项不为零“绝对差数列”.(只规定写出前十项);
解:(答案不唯一)

(2) 若“绝对差数列”中,数列满足分别判断当时,与极限与否存在,如果存在,求出其极限值;

解:由于在绝对差数列中,因此自20项开始,该数列是即自第20项开始,每三个相邻项周期地取值3,0,3因此当时,极限不存在.
当时,因此

例9、如图，在边长为等边三角形ABC中，圆O1为内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切，··· ，圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限下去，记圆On面积为.
（1） 证明是等比数列；
证明：记为圆On半径，，

例10.设数列｛an｝前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）｛an｝通项公式．
解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝．
(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．
由①可得S3＝．由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．　　　　　　

下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，
故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．　
于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又n＝1时，a1＝＝，因此
｛an｝通项公式an＝，n＝1，2，3，…．

例11、设曲线上点在x轴上射影为，过做斜率为直线交x轴于，过作x轴垂线交曲线于点，再过做斜率为直线交x轴于，过作x轴垂线交曲线于点一般地，过做斜率为直线交x轴于，过作x轴垂线交曲线于点，这样无限作下去得到点和，已知。
（1） 求；
解：已知，因此得，过做斜率为
直线是，得，过做斜率为
直线是，得

（2） 证明数列为等比数列，并求这个数列通项公式。
解：过做斜率为直线是，得故数列为等比数列，这个数列通项公式为。