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《复变函数》考试试题（一）
一、 判断题（20分）：
1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )
2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )
3.若收敛，则及都收敛. ( )
4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）. ( )
5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )
6.若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点. ( )
7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )
8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则. ( )
9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.
10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ）
二.填空题（20分）
1、 __________.（为自然数）
2. _________.
3.函数的周期为___________.
4.设，则的孤立奇点有__________.
5.幂级数的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若，则______________.
8.________，其中n为自然数.
9. 的孤立奇点为________ .
10.若是的极点，则.
三.计算题（40分）：
1. 设，求在内的罗朗展式.
2.
3. 设，其中，试求
4. 求复数的实部及虚部.
四. 证明题.(20分)
1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.
2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.
《复变函数》考试试题（一）参考答案
一． 判断题
1．×2．√　３．√　４．√　５．√ 　6．√　７．×８．×９．×10．×
二．填空题
1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 1
6. 整函数； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .
三．计算题.
1. 解 因为 所以
2. 解 因为
所以.
3. 解 令, 则它在平面解析, 由柯西公式有在内,
所以.
4. 解 令, 则
故 , .
四. 证明题.
1. 证明 设在内.
令.
两边分别对求偏导数, 得
因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为
. 消去得, .
1) 若, 则 为常数.
2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .
所以. (为常数).
所以为常数.
2. 证明的支点为. 于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.
由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以
的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故.
《复变函数》考试试题（二）
一. 判断题.（20分）
1. 若函数在D内连续，则u(x,y)及v(x,y)都在D内连续.
2. cos z及sin z在复平面内有界. ( )
3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )
4. 有界整函数必为常数. ( )
5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在. ( )
6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )
7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.
8. 若数列收敛，则及都收敛. ( )
9. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( )
10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使且. ( )
二. 填空题. (20分)
1. 设，则
2.设，则________.
3. _________.（为自然数）
4. 幂级数的收敛半径为__________ .
5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是的_____零点.
6. 函数ez的周期为__________.
7. 方程在单位圆内的零点个数为________.
8. 设，则的孤立奇点有_________.
9. 函数的不解析点之集为________.
10. .
三. 计算题. (40分)
1. 求函数的幂级数展开式.
2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.
3. 计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.
4. 求 .
四. 证明题. (20分)
1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（二）参考答案
一. 判断题.
1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×.
二. 填空题
1.1，， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .
6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.
三. 计算题
1. 解 .
2. 解 令.
则.
又因为在正实轴去正实值，所以.
所以.
3. 单位圆的右半圆周为, .
所以.
4. 解
=0.
四. 证明题.
1. 证明 (必要性) 令,则. (为实常数).
令. 则.
即满足, 且连续, 故在内解析.
(充分性) 令, 则 ,
因为及在内解析, 所以
, 且.
比较等式两边得 . 从而在内均为常数,故在内为常数.
2. 即要证“任一 次方程 有且只有 个根”.
证明 令, 取, 当在上时, 有 .
由儒歇定理知在圆 内, 方程 及 有相
同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此次方程在 内有 个根.
《复变函数》考试试题（三）
一. 判断题. (20分).
1. cos z及sin z的周期均为. ( )
2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( )
3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( )
4. 若数列收敛，则及都收敛. ( )
5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数. ( )
6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( )
7. 如果函数f(z)在上解析,且,则
8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )
9. 若z0是的m阶零点, 则z0是1/的m阶极点. ( )
10. 若是的可去奇点，则. ( )
二. 填空题. (20分)
1. 设，则f(z)的定义域为___________.
2. 函数ez的周期为_________.
3. 若，则__________.
4. ___________.
5. _________.（为自然数）
6. 幂级数的收敛半径为__________.
7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________.
8. 设，则.
9. 若是的极点，则.
10. .
三. 计算题. (40分)
1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数.
2. 试求幂级数的收敛半径.
3. 算下列积分：，其中是.
4. 求在|z|<1内根的个数.
四. 证明题. (20分)
1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.
2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时
证明是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（三）参考答案
一. 判断题
1．× ２．×３．√ ４．√ ５．√6．√７． √ ８．√ ９．√ 10．√.
二.填空题.
1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;
6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .
三. 计算题.
1. 解 .
2. 解 .
所以收敛半径为.
3. 解 令 , 则 .
故原式.
4. 解 令 , .
则在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有
. 即在 内, 方程只有一个根.
四. 证明题.
1. 证明 证明 设在内.
令.
两边分别对求偏导数, 得
因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为
. 消去得, .
1) , 则 为常数.
2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .
所以. (为常数).
所以为常数.
2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, .
于是由的任意性知对一切均有.
故, 即是一个至多次多项式或常数.
《复变函数》考试试题（四）
一、 判断题（24分）
1. 若函数在解析，则在的某个领域内可导.（ ）
2. 若函数在处解析，则在满足Cauchy-Riemann条件.（ ）
3. 如果是的可去奇点，则一定存在且等于零.（ ）
4. 若函数是区域内的单叶函数，则.（ ）
5. 若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（ ）
6. 若函数在区域内的解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常数.（ ）
7. 若是的阶零点，则是的阶极点.（ ）
二、 填空题（20分）
1. 若，则___________.
2. 设，则的定义域为____________________________.
3. 函数的周期为______________.
4. _______________.
5. 幂级数的收敛半径为________________.
6. 若是的阶零点且，则是的____________零点.
7. 若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________.
8. 函数的不解析点之集为__________.
9. 方程在单位圆内的零点个数为___________.
10. _________________.
三、 计算题（30分）
1、 求.
2、 设，其中，试求.
3、设，求.
4、求函数在内的罗朗展式.
5、求复数的实部及虚部.
6、利用留数定理计算积分：，.
四、 证明题（20分）
1、方程在单位圆内的根的个数为7.
2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.
3、 若是的阶零点，则是的阶极点.
五、 计算题（10分）
求一个单叶函数，去将平面上的上半单位圆盘保形映射为平面的单位圆盘
《复变函数》考试试题（四）参考答案
一、判断题：1.√ 2. √ 3. × 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. ×
二、填空题：1. 2. 3. 4. 1 5. 1
6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 10.
三、计算题：
1. 解：
2. 解：
因此
故
3. 解：
因此
4. 解：
由于，从而.
因此在内
有
5．解：设, 则.
6.解：设，则，
，故奇点为
四、证明题：
1. 证明：设
则在上， 即有.
根据儒歇定理知在内及在单位圆内有相同个数的零点，而在内的零点个数为7，故在单位圆内的根的个数为7.
2.证明：设，则
已知在区域内解析，从而有
将此代入上上述两式得
因此有 于是有.
即有
故在区域恒为常数.
3.证明：由于是的阶零点，从而可设
其中在的某邻域内解析且，
于是
由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.
五、计算题
解：根据线性变换的保对称点性知关于实轴的对称点应该变到关于圆周的对称点，故可设
《复变函数》考试试题（五）
一、判断题（20分）
1、若函数在解析，则在连续.（ ）
2、若函数在满足Cauchy-Riemann条件，则在处解析.（ ）
3、如果是的本性奇点，则一定不存在.（ ）
4、若函数是区域内解析，并且，则是区域的单叶函数.（ ）
5、若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（ ）
6、若函数是单连通区域内的每一点均可导，则它在内有任意阶导数.（ ）
7、若函数在区域内解析且，则在内恒为常数.（ ）
1. 存在一个在零点解析的函数使且.（ ）
2. 如果函数在上解析，且，则.（ ）
3. 是一个有界函数.（ ）
二、填空题（20分）
1、若，则___________.
2、设，则的定义域为____________________________.
3、函数的周期为______________.
4、若，则_______________.
5、幂级数的收敛半径为________________.
6、函数的幂级数展开式为______________________________.
7、若是单位圆周，是自然数，则______________.
8、函数的不解析点之集为__________.
9、方程在单位圆内的零点个数为___________.
10、若，则的孤立奇点有_________________.
三、计算题（30分）
1、求
2、设，其中，试求.
3、设，求.
4、求函数在内的罗朗展式.
5、求复数的实部及虚部.
四、证明题（20分）
1、方程在单位圆内的根的个数为7.
2、若函数在区域内连续，则二元函数及都在内连续.
1、 若是的阶零点，则是的阶极点.
一、 计算题（10分）
求一个单叶函数，去将平面上的区域保形映射为平面的单位圆盘.
《复变函数》考试试题（五）参考答案
一、判断题：1.√ 2. × 3. √ 4. × 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 9. √ 10.×
二、填空题：1. 2. 3. 4. 5. 1
6. 7. 8. 9. 5 10.
三、计算题：
1. 解：由于在解析，
所以
而
因此.
2. 解：
因此
故
3. 解：
因此
4.解：
由于，从而
因此在内有
5．解：设, 则.
6．解：设, 则
在内只有一个一级极点
因此 .
四、证明：
1. 证明：设
则在上， 即有.
根据儒歇定理知在内及在单位圆内有相同个数的零点，而在内的零点个数为7，故在单位圆内的根的个数为7
2. 证明：因为，在内连续, 所以,
当时有
从而有
即及在连续，由的任意性知及都在内连续
3.证明：由于是的阶零点，从而可设
其中在的某邻域内解析且，
于是
由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.
五、解：1.设，则将区域保形映射为区域
2.设, 则将上半平面保形变换为单位圆.
因此所求的单叶函数为
《复变函数》考试试题（六）
一、判断题（40分）：
1、若函数在解析，则在的某个邻域内可导.（ ）
2、如果是的本性奇点，则一定不存在.（ ）
3、若函数在内连续，则及都在内连续.（ ）
4、及在复平面内有界.（ ）
5、若是的阶零点，则是的阶极点.（ ）
6、若在处满足柯西-黎曼条件，则在解析.（ ）
7、若存在且有限，则是函数的可去奇点.（ ）
8、若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有.（ ）
9、若函数是单连通区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（ ）
10、若函数在区域内解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常数.（ ）
二、填空题（20分）：
1、函数的周期为_________________.
2、幂级数的与函数为_________________.
3、设，则的定义域为_________________.
4、的收敛半径为_________________.
5、=_________________.
三、计算题（40分）：
1、
2、求
3、
4、设 求，使得为解析函数，且满足。其中（为复平面内的区域）.
5、求，在内根的个数
《复变函数》考试试题（六）参考答案
一、判断题（40分）：
1.√ 2. √ 3.√ 4. × 5. √ 6. × 7. √ 8. √ 9. √ 10. √
二、填空题（20分）：
1. 2. 3. 4. 5.
三、计算题（40分）
1. 解：在上解析，由积分公式，有
2. 解：设，有
3. 解：
4. 解：，
故，
5. 解：令， 则，在内均解析，且当时
由定理知根的个数及根的个数相同.
故在内仅有一个根.
《复变函数》考试试题（七）
一、 判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）
1．设复数及，若或，则称及是相等的复数。（ ）
2．函数在复平面上处处可微。 （ ）
3．且。 （ ）
4．设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，则存在，使得对任意的，有。 （ ）
5．若函数是非常的整函数，则必是有界函数。（ ）
二、填空题。（每题2分）
1． _____________________。
2．设，且，当时，________________。
3．若已知，则其关于变量的表达式为__________。
4．以________________为支点。
5．若，则_______________。
6．________________。
7．级数的收敛半径为________________。
8．在（为正整数）内零点的个数为_______________。
9．若为函数的一个本质奇点，且在点的充分小的邻域内不为零，则是的________________奇点。
10．设为函数的阶极点，则_____________________。
三、计算题（50分）
1．设区域是沿正实轴割开的平面，求函数在内满足条件的单值连续解析分支在处之值。 （10分）
2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分）
（1）的各解析分支在各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数 （10分） （2）求。 （5分）
3．计算下列积分。（15分）
（1） （8分），
（2） （7分）。
4．叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数。（10分）
四、证明题（20分）
1．讨论函数在复平面上的解析性。 （10分）
2．证明：
此处是围绕原点的一条简单曲线。（10分）
《复变函数》考试试题（七）参考答案
一、判断题.
1. × 2. × 3. × 4. √ 5. ×
二、填空题.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9.本性 10.
三、计算题.
1.解：
由 得 从而有
2.解：（1）的各解析分支为，.
为的可去奇点，为的一阶极点。
（2）
3.计算下列积分
解：（1）
（2）设
令，
则
4.儒歇定理：设是一条围线，及满足条件：
（1）它们在的内部均解析，且连续到；
（2）在上，
则及在的内部有同样多零点，
即 有
由儒歇定理知在没有根。
四、证明题
1证明：.设 有
易知，在任意点都不满足条件，故在复平面上处处不解析。
2.证明：于高阶导数公式得
即
故 从而
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