2022年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答明快简捷构造方程的妙用.doc

第四讲 明快简捷—构造方程妙用
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富知识与措施辅助解题，构造一元二次方程常用措施是：
1．运用根定义构造
当已知等式具有相似构造，就可把某两个变元当作是有关某个字母一元二次方程两根．
2．运用韦达定理逆定理构造
若问题中有形如，关系式时，则、可看作方程两实根．
3．拟定主元构造
对于具有多种变元等式，可以将等式整顿为有关某个字母一元二次方程．
成功构造是建立在敏锐观测、恰当变形、广泛联想基本之上；成功构造能收到明快简捷、出奇制胜效果．
注： 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们发明性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新形式下获得简解，这就是解题中“构造”方略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造措施．
【例题求解】
【例1】 已知、是正整数，并且，，则 ．

思路点拨 ，变形题设条件，可视、为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．

【例2】 若，且有及，则值是( )
A． B． C． D．

思路点拨 第二个方程可变形为，这样两个方程具有相似构造，从运用定义构造方程入手．

【例3】 已知实数、满足，且，求取值范畴．

思路点拨 由两个等式可求出、体现式，这样既可以从配措施入手，又能从构造方程角度去摸索，有较大思维空间．

【例4】 已知实数、、满足，．
(1)求、、中最大者最小值；
(2)求最小值．

思路点拨 不妨设a≥b，a≥c，由条件得，．构造以b、c为实根一元二次方程，通过△≥0探求取值范畴，并以此为基本去解(2)．

注： 构造一元二次方程，在问题有解前提下，运用鉴别式△≥0，建立含参数不等式，
缩小范畴逼近求解，在求字母取值范畴，求最值等方面有广泛应用．
【例5】 试求出这样四位数，它前两位数字与后两位数字分别构成二位数之和平方，正好等于这个四位数． (初中数学联赛试题)
思路点拨 设先后两个二位数分别为，，则有，将此方程整顿成有关(或)一元二次方程，在方程有解前提下，运用鉴别式拟定 (或)取值范畴．

学历训练
1．若方程两个实数根倒数和是，则取值范畴是 ．
2．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程两个根，则m值是 ．
3．已知、满足，，则= ．
4．已知，，，则值为( )
A．2 B．-2 C．-1 D． 0
5．已知梯形ABCD对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形ABCD面积S最小值为( )
A．21 B． 25 C．26 D． 36
6．如图，菱形A6CD边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO长分别是有关方程根，则m值为( )
A．一3 B．5 C．5或一3 n一5或3

7．已知，，其中、为实数，求值．

8．已知和是正整数，并且满足条件，，求值．

9．已知，，其中m、n为实数，则＝ ．

10．如果、、为互不相等实数，且满足关系式与，那么取值范畴是 ．
11．已知，则= ，= ．；
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若D、E分别是AB和AB延长线上两点，BD=BC，CE⊥CD，则以AD和AE长为根一元二次方程是 ．

13．已知、、均为实数，且，，求最小值．
14．设实数、、满足，求取值范畴．
15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，，梯形高AE=，且．
(1)求∠B度数；
(2)设点M为梯形对角线AC上一点，DM延长线与BC相交于点F，当，求作以CF、DF长为根一元二次方程．

16．如图，已知△ABC和平行于BC直线DE，且△BDE面积等于定值，那么当与△BDE之间满足什么关系时，存在直线DE，有几条?

参照答案