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第二十六讲 开放性问题评说
一种数学问题构成具有四个要素：题目条件、解题根据、解题措施、题目结论，如果题目所含四个要素是解题者已经懂得，或者结论虽未指明，但它是完全拟定，这样问题就是封闭性数学问题．
开放性问题是相对于封闭性问题而言，从所呈现问题方式看，有下列几种基本形式：
1．条件开放题
称条件不充足或没有拟定已知条件开放性问题为条件开放题，解题时需执果寻因，根据结论和已有已知条件，寻找使得结论成立其她条件．
2．结论开放题
称结论不拟定或没有拟定结论开放性问题为结论开放题，解题时需由因导果，由已知条件导出相应结论．
3．判断性开放题
称鉴定几何图形形状大小、图形位置关系、方程(组)解状况或鉴定具有某种性质数学对象与否存在开放题问题称为判断性开放题，解题基本思路是：由已知条件及知识作出判断，然后加以证明．
【例题求解】
【例1】 如图，⊙O与⊙O1外切于点T，PT为其内公切线，AB为其外公切线，且A、B为切点，AB与PT相交于点P，根据图中所给出已知条件及线段，请写出一种对旳结论，并加以证明．
思路点拨 为了能写出更多对旳结论，我们可以从如下几分角度作摸索，线段关系，角关系、三角形关系及由此推出相应结论．
注：明确规定将数学开放性题作为中考试题，还是近一二年事情．开放性问题没有明确目旳和解题方向，留有极大摸索空间．
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解开放性问题，不具有定向解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是分析，要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理互相结合起来，把一般能力和数学能力 同步发挥出来．杭州市对本例评分原则是以对旳结论难易限度为原则灵活打分，分值直接反映考生能力及创新性．
【例2】 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，A是BD中点，过A点切线与CB延长线交于点E．
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(1)求证：AB·DA=CO·BE；
(2)若点E在CB延长线上运动，点A在BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其她条件不变，问具有什么条件使原结论成立?(规定画出示意图，注明条件，不规定证明)
思路点拨 对于(2)，能画出图形尽量画出图形，要使结论AB·DA=CD·BE成立，即要证△ABE∽△CDA，已有条件∠ABE=∠CDA，还需增长等角条件，这可由多种途径得到．
注：许多开放性问题解题思路也是开放(多角度、多维度思考)，摸索条件或结论并不惟一．故解开放性问题，应尽量进一步探究，发散思维，提高思维品质，切忌入宝山而空返．
【例3】(1)如图1，若⊙O1与⊙O2外切于A，BC是⊙O1与⊙O2外公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC．
(2)如图2，若⊙O1与⊙O2外离，BC是⊙O1与⊙O2外公切线，B、C为切点，连心线O1 O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，BM、CN延长线交于P，则BP与CP与否垂直?证明你结论．
(3)如图3，若⊙O1与⊙O2相交，BC是⊙O1与⊙O2公切线，B、C为切点，连心线O1 O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，Q是线段MN上一点，连结BQ、CQ，则BQ与CQ与否垂直?证明你结论．
思路点拨 本例是在基本条件不变状况下，通过运动变化两圆位置而设计，在运动变化中，结论也许变化或不变，核心是把(1)证法类比运用到(2)、(3)问题中．
注：开放性问题尚有如下呈现方式：
(1)先提出特殊状况进行研究，再规定归纳猜想和拟定一般结论；
(2)先对某一给定条件和结论问题进行研究，再探讨变化条件时其结论应发生变化，或变化结论时其条件相应发生变化．
【例4】 已知直线 (>0)与轴、轴分别交于A、C两点，开口向上抛物线过A、C两点，且与轴交于另一点B．
(1)如果A、B两点到原点O距离AO、BO满足AO＝3BO，点B到直线AC距离等于，求这条直线和抛物线解析式；
(2)与否存在这样抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC外接圆截得轴所得弦长等于5？若存在，求出这样抛物线解析式；若不存在，请阐明理由．
思路点拨 (1)通过“点B到直线AC距离等于”，运用等积变换求出A、B两点距离；(2)先假设存在这样抛物线，再由条件推理计算求得，最后加以验证即可．
注：解存在性开放问题基本措施是假设求解法，即假设存在→演绎推理→得出结论(合理或矛盾)．
【例5】 如图，这些等腰三角形与正三角形形状有差别，我们把它与正三角形接近限度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形“正度”相等．
设等腰三角形底和腰分别为、，底角和顶角分别为、．规定“正度”值是非负数．
同窗甲觉得：可用式子来体现“正度”，值越小，体现等腰三角形越接近正三角形；
同窗乙觉得：可用式子来体现“正度”，值越小，体现等腰三角形越接近正三角形．
探究：（1）她们方案哪个较为合理，为什么?
(2)对你觉得不够合理方案，请加以改善(给出式子即可)；
（3）请再给出一种衡量“正度”体现式．
思路点拨 通过阅读，对旳理解“正度”这个新概念，同步也要抓住“在研究‘正度’时，应保证相似三角形‘正度’相等”这句话实质，可先采用举实例加深对“正度”理解，再判断方案合理性并改善措施．
注：（1）解结论开放题往往要充足运用条件进行大胆而合理猜想，通过观测、比较、联想、猜想、推理和截判断等摸索活动，发现规律，得出结论．
（2） 阅读是学习重要途径，在这种阅读型研究性问题中，涌现了许多简介新知识和新研究措施问题，能极大地开阔我们视野．
（3）研究性学习是课程改革一种亮点，研究性学习是美国芝加哥大学专家施瓦布在《作为探究科学教学》演讲时提出．她主张引导学生直接用科学研究方式进行教学，即设定情境、提出问题、分析问题、设计实验、验证假设、分析成果、得出结论．研究性问题是近年中考中浮现一种新题型，它规定我们适应新状况，通过实践，增强探究和创新意识，学习科学研究措施．
学力训练
1．如图，是四边形ABCD对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：
①AB∥CD，②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．
其中对旳是 ．
(把你觉得对旳结论序号都填上)
2．如图，是一种边长为小正方形与两个长、宽分别为、小矩形ABCD，则整个图形可体现出某些有关多项式分解因式等式，请你写出其中任意三个等式：① ；② ；③ ．
3．有一种二次函数图象，三位学生分别说出了它某些特点：
甲：对称轴是直线；
乙：与轴两个交点横坐标都是整数；
丙：与轴交点纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点三角形面积为3．
请你写出满足上述所有特点一种二次函数解析式： ．
4．如图，已知AB为⊙O直径，直线与⊙O相切于点D，AC⊥于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．
(1)图中哪条线段与BF相等?试证明你结论；
(2)若AE=3，CD=2，求⊙O直径．
5．在一种服装厂里有大量形状为等腰直角三角形边角布料(如图)．现找出其中一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状玩具，使扇形边沿半径正好都在△ABC边上，且扇形弧与△ABC其她边相切，请设计出所有也许符合题意方案示意图，并求出扇形半径(只规定画出图形，并直接写出扇形半径)．
6．如图，抛物线与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)( x1<0<x2)，与y轴交于点C(0，-2)，若OB=4OA，且以AB为直径圆过C点．
(1)求此抛物线解析式；
(2)若点D在此抛物线上，且AD∥CB．
①求D点坐标；
②在x轴下方抛物线上，与否存在点P使得△APD面积与四边形ACBD面积相等?若存在，求出点P坐标；若不存在，请阐明理由．
7．给定四个命题：①sinl5°与sin75°平方和为1；②函数最小值为-10；③；④，则x=10”，其中错误命题个数是 ．
8．①在实数范畴内，一元二次方程根为；②在△ABC中，若AC2+BC2>AB2，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和△AB1C1中，、、分别为△ABC三边，、、分别为△AB1C1三边，若>，>，>，则△ABC面积大S于△AB1C1面积S1．以上三个命题中，真命题个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知：AB是⊙O直径，AP、AQ是⊙O两条弦，如图1，通过B做⊙O切线，分别交直线AP、AQ于点M、N．可以得出结论AP·AM＝AQ·AN成立．
(1)若将直线向上平行移动，使直线与⊙O相交，如图2所示，其她条件不变，上述结论与否成立?若成立，写出证明，若不成立，阐明理由；
(2)若将直线继续向上平行移动，使直线与⊙O相离，其她条件不变，请在图3上画出符合条件图形，上述结论成立吗?若成立，写出证明；若不成立，阐明理由．
10．如图，已知圆心A(0，3)， A与轴相切，⊙B圆心在轴正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆公切线MP交轴于点M，交轴于点N．
（1）若sin∠OAB=，求直线MP解析式及通过M、N、B三点抛物线解析式；
(2)若A位置大小不变，⊙B圆心在轴正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B切线MC，切点为C在此变化过程中探究：
①四边形OMCB是什么四边形，对你结论加以证明；
②通过M、N、B点抛物线内与否存在以BN为腰等腰三角形?若存在，体现出来；若不存在，阐明理由． (山西省中考题)
11．有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上点(但不与顶点重叠)，若EF将矩形ABCD提成面积相等两某些，设AB=，AD=，BE=．
(1)求证：AF=EC；
(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF下方，使一底边重叠，一腰落在DC延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．
①当为什么值时，直线E'E通过原矩形一种顶点?
②在直线E'E通过原矩形一种顶点情形下，连结BE'，直线BE'与EF与否平行?你若觉得平行，请予以证明；你若觉得不平行，试探究当与有何种数量关系时，它们就垂直?
12．(1)证明：若取任意整数时，二次函数总取整数值，那么，、、都是整数．
(2)写出上述命题逆命题，且证明你结论．
13．已知四边形ABCD面积为32，AB、CD、AC长都是整数，且它们和为16．
(1)这样四边形有几种?
(2)求这样四边形边长平方和最小值．
参照答案
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