数学问题解决--讲义.pdf

第一部分数学问题解决的涵义第一节数学问题解决与课堂教学一、数学问题的涵义1.把问题看成一个系统如果对某人来说,一个系统的全部元素，元素的性质和元素间的关 系，都是他所知道的，那么这个系统对于他就是稳定系统。如果一个系 统的全部元素，元素的性质和元素间的关系对于这个人是未知的，这个 系统对于这个人就是问题系统。于是,对这个人来说，这个问题系统就 是一个问题。如果这个问题系统的元素、元素的性质和元素间关系都 是与数学有关的,那么这就是一个数学问题。因此，一个系统能否成为 一个问题，与接触的人有关。一个系统对甲可能是一个问题，对乙可能 就不是一个问题。例如:“哥德巴赫猜想”对试图解决它的所有人都是 一个问题用圆规和直尺是否能三等分任意一个角”、“五次方程的求 根公式”对于某些人它们是问题，而对另一些人它们则不是问题。2.数学问题的特征是形式化当实际问题变成数学问题后，就抽去了对象的物质性，变成了抽象 的形式，即纯粹形式化的问题。例如:在测量某物理量的过程中，因仪 器和观察的误差,使得九次测量分别为卬，田，%共个数 据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值是这样一个量，与其他近 似值比较，。与各数据差的平方和最小，依此规定，从，生，册 推出的a=。该问题翻译成数学语言即为:“当。取何值时，函 数/(a)=(a ai)2+(a a2)2 H 卜(aa)2 取最小值。”于是问 题转换为求二次函数的最值问题。数学问题的形式化特征，使得问题 对象的物质性被抽去，只保留了数学所关心的本质属性，这样有利于数 学概念、命题的形成，为研究数学和学习数学提供了便利，更加有利于 学生认识和理解数学知识。由于了解形式化问题的获得过程,也十分 重要，因此，学生在解决数学问题时，在解一些带有物质背景的实际问 题时，学习为实际问题建立模型,这对于培养学生的创造性能力会起到 很好的作用。第一部分数学问题解决的涵义 1二、数学问题解决数学领域中的问题解决，与其他科学领域利用数学去解决问题不 同。数学领域中的问题解决,不但关心问题的结果，而且更关心求得结 果的过程,即问题解决的整个思考过程。所以，我们认为,“数学问题解 决”指的是按照一定的思维对策，经过一个思维过程，一步一步地靠近 目标，最终达到目标。在问题解决的过程中，既运用抽象、归纳、类比、演绎等逻辑思维形式，又运用直觉，灵感（顿悟）等非逻辑思维形式来探 索问题的解决办法。这里,我们首先要看到非逻辑思维对逻辑思维的 依赖性。灵感的产生固然是爆发式的，但爆发的基础却是长期有目的 的思考。其次是逻辑方法的具体运用，也往往借助于直觉。非逻辑思 维发散、自由、联想的方面广，有充分的灵活性,富有创造力,能直接接 触到问题的目标。但是，它毕竟是一种猜测，没有充分的理由作为依 据，结论不一定正确。可是，没有这种猜测问题就没有起点。有了这个 起点，然后才能利用逻辑推理猜测的依据,验证这种猜测成立，或者将 其否定。在问题解决的探索过程中，最终出现试误和顿悟两种结果。所谓 试误是指对头脑中出现的解决问题的途径进行尝试，纠正尝试中的错 误,直至发现问题解决的途径。中学生在解决问题的探索过程中，常用 试误。所谓顿悟是指经过长时间的激烈思考，由于受到某种情况的启 发而突然发现了解题途径或解答方式。顿悟解决问题，其问题的初始 状态同学习者本人已有的经验认知结构有着非人为的、实质性的联系。这种联系建立得越牢固，顿悟就越易发生,这正是直觉思维能力在问题 解决过程中的体现。三、数学问题解决的方法寻求解决,是一个思维策略问题，其内容是寻找对策，其特点是突 出“要拼思考:这种思维策略主要是指促进探索，促进发现的方法。这种思维策略本身不一定解决问题，但它可以促进探索,促进发现解题 途径，可以提供达到目标的最初几步，尽管有时是微小的几步,而且暂 时还没有达到目标，但它却可以指出达到目标的正确方向。在寻求解决问题方法时，要注意对问题进行变更，主要有如下一些 变更的方法：1.变更问题的条件和结论；2.使问题特殊化；2 数学问题解决3.使问题一般化；4.找出适当的辅助问题；5.分开条件的各部分，重新组合。在探索解题方法过程中，有时要不断地变更问题，在使用变更问题 的具体方法时，有时要把几种方法综合运用。例 1是否存在常数叫仇c使等式13+23 H-p1=(助2+加+Q2,对一切自然数都成立？分析 这是一个数列求和问题，初看上去，无从下手,不知是否存在%6,C对一切都成立，但如果能变更问题为，求r+23+r 1-12/=十(九+d则可比较两边系数，找出用6,c的值。还可变更问题 为:取n=1,2,3得到三个方程，求出a,c,再证对一切GN都成立。例2已知点I为AABC的内心，内切圆半径为厂，试求IA+IB+IC的最小值。分析 本题的AABC图形并不确定，但相应的内心I的位置与三 顶点关系却是确定的。这里先证明一般性的命题。设P为ABC内部一点,P到三边距离分别为PE、PD、PF,则 PA+P3+PC22(PD+PE+PF)。再回到本题，设内切圆半径为厂,根据前面证得的定理，有IA+13+IC2(/D+IE+/F)=2(r+r4-r)=6r,当ABC为正三角形时，M+7B+ZC有最小值，(/A+IB+/C)*=6ro四、问题解决案例分析理科班学生是一个特殊的群体一智优学生组成的集合。全国理第一部分数学问题解决的涵义 3科班学生更是其中的佼佼者。他们掌握知识的能力比较强，对数学有 一种钻研的精神,很乐意去解决与数学有关的问题。下面是课堂教学 中所出现的几个典型问题：问题一同寝室的四位同学各写了一张贺年卡，把它们集中放在 一起,每位同学从中拿一张贺年卡，要求自己不拿自己写的卡，问一共 有多少种拿法。问题分析 这是一个有关排列组合的概念性问题，可以帮助学生 利用排列组合基本知识解决实际问题。方法一不妨设四位同学分别为 甲，乙，丙，丁四人写了四张贺年卡，若甲f，乙有3种选择，当甲，乙两人都确定时丙丁只有一种,因此共 有 C；C；=9（种）。方法二也可以用重复排列知识：P：C：P；+C；HC；P；+1=9（种）。学生大部分都会从具体的排列开始，这样能清楚准确地解决问题,也是提出此问题的出发点。第二种方法的出现说明学生对问题的思考 有了很大的提高，他虽然没有严格地证明，有同学说用数学归纳法证 明，有同学说理解起来很方便，但还是有同学感到此方法对一般情况是 否正确需要验证。因此，要抓住时机，提出推广问题:如果是五位同学，写五张贺年 卡,结果如何呢？学生的解决过程如下：方法一先确定A：五位同学：A,B,C D,E五张贺卡：，Af，3-，2种；3-，3种；共计11种,6f，3种；Bf，3种；所以共有C；XII=44（种）.这种方法虽然显得有点原始，但却准确，让学生心中感到踏实、可信。方法二 理一（3*：+：；归一（：；耳+（：*；-1=44（种）。4 数学问题解决当问题被推广到6人，7人，学生不得不去选择公式理-卑；+C：P+(一 1尸,但许多同学对此表示不满意，他们开始 寻找第一种解法的规律性。设个人情况下的拿法有种，可知心=1,a3=2,a=9,a5=44,个人：A,A2,A3,，An张贺卡：，n当时,A2有两种选择：A2可拿，此时有即2种情况；A?可不拿时,相当于一1 个人：A2 A3,，Ann1张贺卡：，有呢-1种方法，所以 6=(一 l)(a i+a-2)o发现有这样一个好的递推公式，无论对学生还是教师来说都是一个 了不起的胜利。这个递推公式比第二种方法好得多，它不仅可以运算,而且能方便证明。后来在此基础上，有同学对此方法又有了新的改进：an=(n l)(a 1+-2)，=an nan-x=(n 所以 an nai=(-l)2，所以 an=nai+(1)-2。(n 4)这一改进比Q”=(九一l)(a i+a i)又有新的进步。特别是在利用计 算机运算时能节约大量时间。五、问题解决的几点认识对于学生来说,数学学习不仅意味着掌握数学知识,形成数学技 能，而且还会发现与创建“新知识”(再创造)，即能够进行事实上的创造 性数学活动。中学生的创造性活动虽然同科学家的创造性活动有很大 的不同，但两者有深刻的一致性。中学生在学习数学的活动中不断发 现对他们自己来说是新鲜的、开创性的东西，这就是一种创造。正如教 育家刘佛年指出:“只要有点新意思、新思想、新观念、新设计、新意图、新做法、新方法，就称得上创造。我们要把创造的范围看得广一点，不 要把它看得太神秘，非要有新的科学理论不可，才叫创造，那就高不可 攀了。”学生的创造性往往是在解决数学问题的过程中逐渐培养起来 的。学生学习解决数学问题的过程，实际上也就是学习创造性数学活第一部分数学问题解决的涵义 5动经验的过程。1.数学问题解决的活动应由学生主动独立地进行,教师的指导应 体现在为学生创设情境、启迪思维、引导方向上。引导学生自己去做,就必然会出现学生经常不用教师讲的或课 本上现成的方法去解答问题的现象。解对了，当然好,这说明学生对 基本原理真的懂了。解错了，好不好？或者，虽然对了,但方法太繁，好不好？我们认为也好，这说明学生不满足依葫芦画瓢，也说明学生 有创新精神，有胆量。解错了，或者方法太繁，这正需要教师的热情 指导。我们说要让学生独立进行解题活动，并不是取消教师对学生解题 活动的必要指导。恰恰相反，学生的解题活动必须置于教师的合理控 制之下。这种合理性主要表现在使学生按照有利于他们发挥主动精 神，有利于他们发现解题方法的“程序”进行解题活动。2.创造性的培养与训练，要体现在问题具体解决的过程中。学生每解决一个问题，都要付出一定的脑力劳动，也得到一次思维 的训练。在解题教学中，教师要善于利用问题解决的具体过程,培养与 训练学生的创造性能力。3.在问题解决的学习中，要尽量通过问题的选择、提供和安排来 激发学生的求知欲，唤起他们的好胜心与创造力。“善问是数学教师的基本功，也是所有数学教育家十分重视研究的 问题。一个恰当而富有吸引力的问题往往能拨动全班学生思维之弦,奏出一曲耐人寻味，甚至波澜起伏的大合唱J（1）问题要选择在学生能力的“最近发展区”内。这就是说，教师 要能细致地钻研教学内容,研究学生的思维发展阶段和知识经验能力 水平等因素，所提问题能符合高难度与量力性原则的一致性，既不能用 降低难度来满足量力性，也不能不顾量力性一味追求高难度。（2）问题的提法要有教学艺术性。这就是说，问题的提法不同，会 有不同的效果,要设法使得提法新颖，让学生坐不住，欲解决而后快。（3）问题的安排也要有教学艺术性。这就是说，安排问题既要符 合需要，掌握时机与分寸,又要考虑学生的特点，注意他们的“品味”与 喜好。题目的安排要由浅入深，由易到难。数学问题解决在课堂教学中要鼓励学生多提问题，爱因斯坦认为，提出一个问题比解决一个问题更重要。我们不应满足于给学生提问题 让学生解答，而应给学生多提问题，提好问题。6 数学问题解决第二节 数学家与数学问题解决一、希尔伯特与数学问题解决希尔伯特(Hilbert.Da vid,18621943)德国数学家，生于东普鲁 士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。在中学时代，希尔伯特 就是一名勤奋好学的学生，对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣，善 于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。1880年，他不顾父亲 让他学法律的意愿，进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学 位,后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授，1893年被任命 为正教授。1895年，转入格廷根大学任教授，此后一直在格廷根生活 和工作，于1930年退休，在此期间，他成为柏林科学院的通讯院士，并 曾获得施泰纳奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学 院的米塔格-莱福勒奖，1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特 是一位正直的科学家，第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行 欺骗宣传而发表的告文明世界书上签字。战争期间,他敢于公开发 表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后，他抵制并上书反对 纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日 益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的格廷根学派衰落 了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。希尔伯特是对20世纪数学有深刻影响的数学 一；家之一。他领导了著名的格廷根学派，使格廷根大 小 学成为当时世界数学研究的重要中心，并培养了一 俵；，批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希 尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期，每 个时期他都集中精力研究一类问题。按时间顺序，他的主要研究内容有:不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方 程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变 分法、华林问题、特征值问题、希尔伯特空间等。在这些领域中，他都做 出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为，科学在每个时代都有它 自己的问题,而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺 乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”在1900年巴黎国际数学家代表 大会上，希尔伯特发表了题为数学问题的著名讲演。他根据过去特 第一部分数学问题解决的涵义 7别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了 23个最重要的数学 问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克 的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推 动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学 工作者是一种巨大的鼓舞。他说在我们中间，常常听到这样的呼声:这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为 在数学中没有不可知三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡荣誉市民 称号的讲演中，针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣 称:“我们必须知道,我们必将知道J希尔伯特的几何基础（1899）是 公理化思想的代表作，书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一 组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系 及研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年，又着手研究数学基础问 题，经过多年酝酿，于二十年代初，提出了如何论证数论、集合论或数学 分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号 语言系统,并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质，从而创立了元数学和证明 论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对 的证明，以便克服悖论所引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及 数学推理方法可靠性的怀疑。然而，1930年，年青的奥地利数理逻辑 学家哥德尔（K Go d el,19061978）获得了否定的结果，证明了希尔 伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说,希尔伯特有关数学基 础的方案“仍不失其重要性，并继续引起人们的高度兴趣”。希尔伯特 的著作有希尔伯特全集（三卷，其中包括他的著名的数论报告八 几何基础、线性积分方程一般理论基础等，与他人合著的有数学 物理方法、理论逻辑基础、直观几何学、数学基础。二、希尔伯特问题研究进展问题推动发展 的领域解决情况1.连续统假设公理化 集合论1963年,Pa ul J.Co hen美国在下述意义下 证明了第一问题是不可解的，即:连续统假 设的真伪不可能在Zermelo-Fra en kel公理 系统内判明。8 数学问题解决续表问题推动发展 的领域解决情况2.算术公理的相 容性数学基础Hilbert证明算术公理相容性的设想后来 发展为系统“Hilbert计划”，但1931年 Go d el的“不完备定理”提出用“元数学”证明 算术公理相容性之不可能。数学相容性问 题至今尚未解决。3.两等高等底的四 面体体积之相等几何基础这问题很快(1900年)即由Hilberl的学生 M Dehn给出肯定解答。4.直线作为两点间 最短距离问题几何基础Hilbert之后，许多数学家致力于构造和探 讨各种特殊的度量几何，在研究第四问题上 取得很大进展，但问题并未完全解决。5.不要定义群的函 数的可微性假设 的李群概念拓扑群论这个问题于 1952 年由 Glen so n、Mo n tgo mery Zippin等人美国最后解决,答案是肯定的。6.物理公式的数学 处理数学物理在量子力学、热力学等学科,公理化方法已 获很大成功但一般地说公理化的物理意 味着什么,仍是需要探讨的问题。至于概率 论的公理化，已由A H.Ko n Mo ro po B前苏 联.1933等人建立。7.某些数的无理性 与超越性超越数论1934年，A.O.reM浜oHq 前苏联和 Schn eid er德国各自独立解决了这问题的 后半部分，即对于任意代数数Q/0,1和任 意代数无理数证明了/的超越性，1966年这一结果又被A Ba ker等人大大推 广和发展。三、罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程1893年,在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像。这位 数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫期基(H.N.J lo q a he BC3KNN,17921856)O非欧几何是人类认识史上 一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的 巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产 生了深远的影响。可是,这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出 后相当长的一段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞美，反而遭到 种种歪曲、非难和攻击，使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的 公认。第一部分 数学问题解决的涵义 9（-）失败的启迪罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败 走上他的发现之路的。欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难 题之一。它是由古希腊学者最先提出来的。公元前3世纪，希腊亚历 山大里亚学派的创始者欧几里得（Euclid,约公元前330前275）集前 人几何研究之大成,编写了数学发展史上具有极其深远影响的数学巨 著几何原本.这部著作的重要意义在于，它是用公理法建立科学理 论体系的最早典范。在这部著作中，欧几里得为推演出几何学的所有 命题，一开头就给出了五个公理（适用于所有科学）和五个公设（只应用 于几何学），作为逻辑推演的前提。几何原本的注释者和评述者们对 五个公理和前四个公设都是很满意,唯独对第五个公设（即平行公理）提出了质疑。第五公设是论及平行线的，它说的是:如果一直线和两直线相交,所构成的两个同侧内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们 一定在那两内角的一侧相交。数学家们并不怀疑这个命题的真实性,而是认为它无论在语句还是在内容上都不大像是个公设，而倒像个可 证的定理，只是由于欧几里得没能找到它的证明,才不得不把它放在公 设之列。为给出第五公设的证明,完成欧几里得没能完成的工作，自公房前 3世纪起到19世纪初，数学家们投入了大量的精力，他们几乎尝试了 各种可能的方法，但都遭到了失败。罗巴切夫斯基是从1815年着手研 究平行线理论的。开始，他也是循着前人的思路,试图给出第五公设的 证明。在保存下来的他的学生听课笔记中，就记有他在1816-1817学 年度几何教学中给出的几个证明。可是,很快他便意识到自己的证明 是错误的。前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的 相反提法:可能根本就不存在第五公设的证明。于是,他便调转思路,着手寻求第五公设不可证的解答，这是一个全新的，也是与传统思路完 全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正是沿着这个途径,在试证第五公 设不可证的过程上发现一个新的几何世界的。那么,罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢？又是怎样 从中发现新几何世界的呢？原来他创造性地运用了处理复杂数学问题 常用的一种逻辑方法反证法。这种反证法的基本思想是,为证“第五公设不可证”,首先对第五公 设加以否定，然后用这个否定命题和其他公理公设组成新的公理系统,10 数学问题解决并由此展开逻辑推演。假设第五公设是可证的,即第五公设可由其他 公理公设推演出来，那么，在新公理系统的推演过程中一定能出现逻辑 矛盾,至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾;反之,如果推 演不出矛盾，就反驳了“第五公设可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公设不可证工依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题普列菲 尔公理“过平面上直线外一点,只能引一条直线与已知直线不相交”作 以否定,得到否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已 知直线不相交”，并用这个否定命题和其他公理公设组成新的公理系统 展开逻辑推演。在推演过程中，他得到一连串古怪的命题，但是，经过 仔细审查，却没有发现它们之间含有任何逻辑矛盾。于是，罗巴切夫斯 基大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成 一种新的几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳,也就是 对第五公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现实世界的 原型和类比物，罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”。(二)在冷漠中宣告新几何诞生1826年2月23日，罗巴切夫斯基在喀山大学物理数学系学术会 议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文几何学原理及平行线定 理严格证明的摘要。这篇首创性论文的问世,标志着非欧几何的诞 生。然而，这一重大成果刚一公诸于世,就遭到正统数学家的冷漠和 反对。参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中有著名 的数学家、天文学家西蒙诺夫(A.M.Chmohob),有后来成为科学院院 士的古普费尔(A.R.Kyi-icpep)以及后来在数学界颇有声望的博拉斯 曼(H.Bp-a mma h)o在这些人的心目中，罗巴切夫斯基是一位很 有才华的青年数学家，可是，出乎他们的意料，这位年轻的教授在简短 的开场白之后，接着说的全是一些令人莫名其妙的话，诸如三角形的内 角和小于两直角之和，而且随着边长增大而无限变小,直至趋于零;锐 角一边的垂线可以和另一边不相交,等等。这些命题不仅离奇古怪,与 欧几里得几何相冲突，而且还与人们的日常经验相背离o然而,报告者 却认真地、充满信心地指出，它们属于一种逻辑严谨的新几何，和欧几 里得几何有着同等的存在权利。这些古怪的语言，竟然出自一个头脑 清楚、治学严谨的数学教授之口，不能不使与会者们感到意外。他们先 第一部分数学问题解决的涵义 11是表现出一种疑惑和惊呆，不多一会儿，便流露出各种否定的表情。宣讲论文后,罗巴切夫斯基诚恳地请与会者讨论，提出修改意见。可是，谁也不肯作任何公开评论,会场上一片冷漠。一个具有独创性的 重大发现作出了，那些最先聆听到发现者本人讲述发现内容的同行专 家，却因思想上的守旧，不仅没能理解这一发现的重要意义，反而采取 了冷淡和轻慢的态度，这实在是一件令人遗憾的事情。会后,系学术委员会委托西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼组成三人 鉴定小组，对罗巴切夫斯基的论文作出书面鉴定。他们的态度无疑是 否定的，但又迟迟不肯写出书面意见，以致最后连文稿也给弄丢了。（三）权威的讥讽与匿名者的攻击罗巴切夫斯基的首创性论文没能引起学术界的注意和重视，论文 本身也似石沉大海,不知被遗弃何处。但他并没有因此灰心丧气，而是 顽强地继续独自探索新几何的奥秘。1829年,他又撰写出一篇题为 几何学原理的论文。这篇论文重现了第一篇论文的基本思想，并且 有所补充和发展。此时，罗巴切夫斯基已被推选为喀山大学校长，可能 出于对校长的“尊敬”，喀山大学通报全文发表了这篇论文。1832年，根据罗巴切夫斯基的请求，喀山大学学术委员会把这篇 论文呈送彼得堡科学院审评。科学院委托著名数学家奥斯特罗格拉茨OcTpo rpa ACKKii,1801-1862）|Wo 奥斯特罗格拉茨 基是新推选的院士,曾在数学物理、数学分析、力学和天体力学等方面 有过卓越的成就，在当时学术界有很高的声望。可惜的是，就是这样一 位杰出的数学家，也没能理解罗巴切夫斯基的新几何思想，甚至比喀山 大学的教授们更加保守。如果说喀山大学的教授们对罗巴切夫斯基本 人还是很“宽容”的话，那么，奥斯特罗格拉茨基则使用极其挖苦的语 言,对罗巴切夫斯基作了公开的指责和攻击。同年11月7日，他在给 科学院的鉴定书中一开头就以嘲弄的口吻写道:“看来，作者旨在写出 一部使人不能理解的著作。他达到自己的目的。”接着，对罗巴切夫斯 基的新几何思想进行了歪曲和贬低。最后粗暴地断言:“由此我得出结 论,罗马切夫斯基校长的这部著作谬误连篇，因而不值得科学院的 注意J这篇论文不仅引起了学术界权威的恼怒，而且还激起了社会上反 动势力的敌对叫嚣。名叫布拉切克（CA.Eypa vek）和捷列内（C.14.3eAeHbi访）的两个人,以匿名C C在杂志祖国之子上撰文，公开对罗 巴切夫斯基进行人身攻击。匿名者在题为评罗巴切夫斯基的著作12 数学问题解决几何学原理一文中，开始就不怀好意地写道:“甚至难以理解，罗巴 切夫斯基先生是如何用数学中最简明的几何学，建立起晦涩的、不可思 议和神秘莫测的学说的。”文中嘲弄道:“为什么不能把黑的想象成白 的，把圆的想象成方的，把三角形内角和想象成小于两直角，把同一个 定积分值想象成既等于，又等于8?非常、非常可能，尽管理智是不 能理解这些的。”在文章的结尾处，作者更加放肆地讥讽道:“为什么不 写成,例如对几何学的讽刺，几何学漫画等什么的，来代替标题几何学 原理?”针对这篇污辱性的匿名文章，罗巴切夫斯基撰写了一篇反驳文章。但祖国之子却以维护杂志声誉为由，将罗巴切夫斯基的文章扣压下 来，一直不予发表。对此，罗巴切夫斯基极为气愤。祖国之子刊登攻击科学家的匿名文章并非偶然,而是有一定的 政治背景的。原来这家杂志的把持者布尔加林(.B.Byjira pHH)和格 列奇(M.W.Fps)同沙皇秘密政治组织“第三厅”有着联系，他们靠“第三厅”的资助维持杂志，并且充当帮凶,专门监视和打击先进的思想 家和具有革命倾向的科学家。明显表现有无神论和唯物主义倾向的喀 山大学校长罗巴切夫斯基，自然要被他们列为危险对象加以监视。借 歪曲、诋毁科学新成果,来压制、打击具有进步思想的科学家,是一切反 动势力的惯用伎俩。(四)在孤境中奋斗终生罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域，但他的创造性工作在生 前始终没能得到学术界的重视和承认。就在他去世的前两年，俄国著 名数学家布尼雅可夫斯基(B.凡Byhn ko bckHM,18041889)还在其 所著的平行线一书中对罗巴切夫斯基发难，他试图通过论述非欧几 何与经验认识的不一致性,来否定非欧几何的真实性。英国著名数学 家莫尔甘(Mo rga n,1806-1871)对非欧几何的抗拒心里表现得就更 加明显了，他甚至在没有亲自研读非欧几何著作的情况下就武断地说:“我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种 几何。”莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度。在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫斯基始终没能遇 到他的公开支持者，就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯(Ga uss,1777-1855)也不肯公开支持他的工作。高斯是当时数学界 首屈一指的学术巨匠，负有“欧洲数学之王”的盛名，早在1792年，也就 第一部分数学问题解决的涵义 13是罗巴切夫斯基诞生的那一年，他就已经产生了非欧几何思想萌芽,到 了 1817年已达成熟程度。他把这种新几何最初称之为“反欧几何”，后 称“星空几何”，最后称“非欧几何:但是,由于高斯害怕新几何会激起 学术界的不满和社会的反对，会由此影响他的尊严和荣誉，生前一直没 敢把自己的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果写在日记 和与朋友的往来书信中o当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著 作平行线理论的几何研究（1840年）后，内心是矛盾的，他一方面私 下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一”,并下决心学习俄语，以便直接阅读罗巴切夫斯基的全部非欧几何著作;另一方面，却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关告白,也从不 以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研究工作加以公开评论。他积 极推选罗巴切夫斯基为哥廷根皇家科学院通讯院士，可是，在评选会上 和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中，他对罗巴切夫斯基在数 学上的最卓越贡献创立非欧几何却避而不谈。高斯凭借在数学界的声望和影响，完全有可能减少罗巴切夫斯基 的压力，促进学术界对非欧几何的公认。然而，在顽固的保守势力面前 他丧失了斗争的勇气。高斯的沉默和软弱表现,不仅严重限制了他在 非欧几何研究上所能达到的高度,而且客观上助长了保守势力对罗巴 切夫斯基的攻击。晚年的罗巴切夫斯基心情更加沉重，他不仅在学术上受到压制，而 且在工作上还受到限制。按照当时俄国大学委员会的条例，教授任职 的最高斯限是30年,依照这个条例，1846年罗巴切夫斯基向人民教育 部提出呈文，请求免去他在数学教研室的工作，并推荐让位给他的学生 A波波夫。人民教育部早就对不顺从他们意志办事的罗巴切夫 斯基抱有成见，但又找不到合适的机会免去他在喀山大学的校长职务。罗巴切夫斯基辞去教授职务的申请正好被他们用以作为借口，不仅免 去了他主持教研室的工作，而且还违背他本人的意愿，免去了他在喀山 大学的所有职务。被迫离开终生热爱的大学工作，使罗巴切夫斯基在 精神上遭到严重打击。他对人民教育部的这项无理决定，表示了极大 的愤慨。家庭的不幸格外增加了他的苦恼。他最喜欢的、很有才华的大儿 子因患肺结核医治无效死去，这使他十分伤感。他的身体也变得越来 越多病，眼睛逐渐失明，最后终于什么也看不见了。1856年2月12 日，伟大的学者罗巴切夫斯基在苦闷和抑郁中走完了他生命的最后一 14 数学问题解决段路程。喀山大学师生为他举行了隆重的追悼会。在追悼会上，他的 许多同事和学生高度赞扬他在建设喀山大学、提高民族教育水平和培 养数学人材等方面的卓越功绩，可是谁也不提他的非欧几何研究工作,因为此时，人们还普遍认为非欧几何纯属“无稽之谈”。罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年，他从来 没有动摇过对新几何远大前途的坚定信念。为了扩大非欧几何的影 响,争取早日取得学术界的承认,除了用俄文外,他还用法文、德文翻译 了自己的著作，同时还精心设计了检验大尺度空间几何特性的天文观 测方案。不仅如此，他还发展了非欧几何的解析和微分部分，使之成为 1个完整的、有系统的理论体系。在身患重病，卧床不起的困境下，他 也没停止对非欧几何的研究。他的最后一部巨著论几何学，就是在 他双目失明、临去世的前一年,口授他的学生完成的。历史是最公允的，因为它终将会对各种思想、观点和见解作出正确 的评价。1868年，意大利数学家贝特拉米(Beltra mi,18351899)发 表了一篇著名论文非欧几何解释的尝试，证明非欧几何可以在欧几 里得空间的曲面(例如拟球曲面)上实现。这就是说，非欧几何命题可 以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾，非 欧几何也就自然没有矛盾。人们既然承认欧几里得几何是没有矛盾 的,所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时,长期无人问津 的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基 的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则 被人们赞誉为“几何学中的哥白尼二在科学探索的征途上，一个人经得住一时的挫折和打击并不难，难 的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗。罗巴切夫斯基就是在逆境中奋 斗终生的勇士。同样，一名科学工作者，特别是声望较高的学术专家,正确识别出那些已经成熟的或具有明显现实意义的科学成果并不难,难的是及时识别出那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的科学成 果。我们每一位科学工作者，既应当做一名勇于在逆境中顽强奋斗的 科学探索者，又应当成为一个科学领域中新生事物的坚定支持者。第一部分数学问题解决的涵义 15第二部分数学问题解决的案例分析第一节双瓶输液中的数理问题医学上常用吊瓶式的输液器给病人输液，而且往往是双瓶串起来 进行，在输液的过程中,涉及到许多数学和物理的知识。问题如果我们将A瓶内装入普通盐水,3 瓶内装入药液，在两瓶如图连接情况下输液，那 么，药液先从B瓶下面连接的软管中注入A瓶 中，经混合后，液体再从A瓶中下面的针管中流 出,结果是8瓶内液体先流完。试问：当3瓶内 液体流完时，从A瓶下面流出的液体浓度为 多少？B-解析 为了使问题简化，我们假设A瓶内的液体是没有溶质的液 体,3瓶内的液体全部是溶质，浓度的定义为:。=溶质体积/溶液体积,那么，当3瓶内溶质流完时，从输液针头流出的液体的浓度是多少。考虑A瓶内的液体是分次流出的。因此,我们只要计算出这 次中流出溶质总量X,就可以得出当B瓶内溶质刚流完时,A瓶内溶 液的浓度，下面我们计算流出溶质的总量（体积）。方法1 假设A瓶内液体分2次流出，第1次流出（瓶），此时溶质还没有流出，B瓶内的溶质马上给予补充3（瓶），并设这些溶质很快被均匀 分布到A瓶液体内，这一假设随着次数增多仍将成立。因此,A瓶 内液体的浓度变为十，第2次A瓶内溶液再流出方（瓶），其中流出的 溶质为做=（1）X（）,接下来3瓶再予以补充*（瓶），这样，流出 的溶质总量为生假设A瓶内液体分3次流出，第1次流出J（瓶）后，这时还没有16 数学问题解决溶质流出。B瓶内溶质马上给予补充彳（瓶）,此时溶液的浓度为母，第2次A瓶内溶液再流出瓶），这部分溶液的溶质为!义士，接着，B o O o瓶再予以补充瓶）,A瓶内的溶液的浓度为14+第3次A瓶内再流出!（瓶），流出部分溶液的溶质为g X f|+次（实际上只有2次）共流出的溶质为a3=j-X 尹1+佶-卜切卜整理可得外=系一京。假设A瓶内液体分4次流出，第2次流出的溶质为;X 2,第3次 流出的溶质为十义十十佶一/义十），第4次流出的溶质为宗义+R+佶_/*）_计+_1X）,流出的 总量为=亲-*+同理可得。5=1?_!?+一/，_ 15 20,15 6.1曲=目一率+不不+不。从上面这个数列可以看出，直接要得出“的一般式似乎很难，我 们不妨作一个数学变换，每一项都加一个数同时减一个数，如M，加上（1I），。4加上（1 一I），,而数列的和是不变的，这样，任一项两 边都成对称,它成杨辉三角的形式，新的数列如下面所示：生=1-f+F=(1-7)，_ 1 4,6 4.1=1一彳+不一不+不=T)，第二部分数学问题解决的案例分析 17它的通项是an=(l-)很显然,液体从B流向A几乎是连续 的,这样，我们的次数必须是无穷多，即趋向于无穷大，对七=(1 取极限 J ima”=lim(l=0.368O Tl/n*o o Tl/e这样，我们就可得出，当B瓶液体刚流完时，从A瓶内流出的溶质 总量为0.368瓶，从而可以得出此时A瓶下面针管流出液体的浓度为(1-0.368)X 100%=63.2%。方法2先把每瓶液体分成等份，第1次A瓶内流出1等份，然后B瓶 流入A瓶1等份，此时A瓶内液体的浓度为二，记作处=工,第2次A 瓶内再流出1等份I瓶流入1等份，此时A瓶内的溶质为(九-1)X 1+1，浓度为1 X(n-1)+1-a2=-1-=-，n n n同理可得 4=3二DXJ+Ln n(a”l)=Tx(T，n n/a”=1+(a i-D X(；1)-=i+(7-i)x(i-ir同前面讨论，对&取极限，即可得上面的结论。这样，如果第一瓶液体流出的时间是了,因为液体流出是匀速的,我们同时假设浓度的变化也是均匀增加的，那么，浓度变化的递增函数 关系为：夕=号/X100%a(T),当，T时，浓度保持63.2%为 不变，直至第二瓶流完。第二节 Ferma t Stein er 问题问题 已知A、B、C三地，AB=5千米,BC=6千米,G4=7千 18 数学问题解决米。现要找一地H，使AH+BH+CH为最短，并求出AH+bH+CH 的最小值。解 这是一个著名的几何Ferma t Stein er问题。以AABC每边长向外作正三角形，并作这些正三角形的外接圆，三圆相交于H点,则H点即为所