北师大版七年级下册第三章三角形讲义.doc

三角形
1．认识三角形
1、它的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个内角分别是 。
2、分别量出这三角形三边的长度，并计算任意两边
之与以及任意两边之差。你发现了什么？
结论：三角形任意两边之与大于第三边
三角形任意两边之差小于第三边
例：有两根长度分别为5cm与8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？长度为7cm的木棒呢？
二、巩固练习：
1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm）
（1） 1， 3， 3
（2） 3， 4， 7
（3） 5， 9， 13
（4） 11， 12， 22
（5） 14， 15， 30
2、已知一个三角形的两边长分别是3cm与4cm，则第三边长X的取值范围是 。若X是奇数，则X的值是 。这样的三角形有 个；若X是偶数，则X的值是 ，
这样的三角形又有 个
3、一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 cm
夯实基础
1、填空：
（1）当0°＜＜90°时，是 角；
（2）当＝ °时，是直角；
（3）当90°＜＜180°时，是 角；
（4）当＝ °时，是平角。
2、如右图，
∵AB∥CE，（已知）
∴∠A＝ ，（ ）
∴∠B＝ ，（ ） （第2题）
二、探索练习：
根据知道三角形的三个内角与等于180°，那么是否对其他的三角形也有这样的一个结论呢？（提出问题，激发学生的兴趣）
结论：三角形三个内角与等于180°（几何表示）
练习1：
1、判断：
（1）一个三角形的三个内角可以都小于60°； （ ）
（2）一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角； （ ）
2、在△ABC中，
（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度；
（2）∠B=100°，∠A=∠C，则∠C= 度；
（3）2∠A=∠B+∠C，则∠A= 度。
3、如右图，在△ABC中，∠A＝°∠＝°∠＝°求三个内角的度数。
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，（ ）
从而，∠A= ，∠B= ，∠C=
三、 探究交流 （第3题）
练习1：一个三角形中三个内角可以是什么角？（提醒：一个三角形中能否有两个直角？钝角呢？）
★ 按三角形内角的大小把三角形分为三类

锐角三角形
（acute trangle）
三个内角都是锐角
直角三角形
（right triangle）
有一个内角是直角
钝角三角形
（obtuse triangle）
有一个内角是钝角

练习2：
1、观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内：
锐角三角形（ ）
直角三角形（ ）
钝角三角形（ ）
2、一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？
（1）30°与60° （ ）
（2）40°与70° （ ）
（3）50°与30° （ ）
（4）45°与45° （ ）
四、猜想结论：
简单介绍直角三角形，与表示方法，Rt△
思考：直角三角形中的两个锐角有什么关系？
结论：直角三角形的两个锐角互余
练习3：
1、 观察下列的直角三角形，分别写出它们符号表示、直角边与斜边。
（图1） （图2）
（1）图1中的直角三角形用符号写成 ，直角边是 与 ，斜边是 ；
（2）图2中的直角三角形用符号写成 ，直角边是 与 ，斜边是 ；
2、如下图，在 Rt△CDE,∠C与∠E的关系是 ，其中∠C=55°， 则∠E= 度
3、如上图， 在Rt△ABC中，∠A=2∠B，则∠A= 度，∠B= 度；
2.认识三角形的中线与高
1、任意画一个三角形，设法画出它的一个内角的平分线。
1、 你能通过折纸的方法得到它吗？（可以用量角器来量出这个角的大小的方法画出这个角的平分线。也可以用折纸的方法得到角平分线）。
结论：三角形一个角的角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形中这个角的角平分线。简称三角形的角平分线。
A
如图：∵AD是三角形ABC的角平分线。 1 2
∴∠1＝ ∠2＝ ∠BAC
或：∠BAC＝ 2∠1＝ 2∠2
B D C
问题：三角形有几条角平分线？ （三条）
下面看看三角形的三条角平分线有怎样的位置关系？
动手操作：请画出△ABC（锐角三角形）的所有角平分线，并且观察这些角平分线有什么规律？对于钝角三角形呢?直角三角形呢?它们的角平分线也有这样的规律吗?
结论：一个三角形共有三条角平分线，它们都在三角形内部，而且相交于一点。
连结三角形一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形这个边上的中线。简称三角形的中线。
注：规范书面表达，按下面的示范书写：
如图：∵AD是三角形ABC的中线。 A
∴BD＝DC＝BC
或：BC＝ 2BD＝2DC
B D C
结论：
一个三角形共有三条中线，它们都在三角形内部，而且相交于一点。
例题：如图,已知,AD是BC边上的中线,AB=5cm,AD=4cm, ▲ABD的周长是
12cm,求BD的长.
1、★三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
2.如图，线段AM是BC边上的高。
∵ AM是BC边上的高
∴AM⊥BC
3、议一议：画出一个直角三角形与一个钝角三角形
（1）画出直角三角形的三条高，并观察它们有怎样的位置关系？
（2） 能折出钝角三角形的三条高吗？能画出它们吗？
（3） 钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线 交于一点吗？
结论：1、直角三角形的三条高交于直角顶点处。
2、钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部。
3.图形的全等
一、 看一看
1．多举一些比较熟悉的能全等或不全等图形的实例，进行想象全等力形与不全等图形的区别。例如：
（1） 同一张底片冲印出两张相同尺寸的相片与两张不同尺寸的相片。
（2） 同一人的两只手掌与一大人左手掌与一小孩的左手掌。
（3） 一个三角形与一个四边形
2．把下列两组图形
（1）
3.能够重合的两个图形称为全等图形。
全等图形的形状与大小都相同
小 结：本节课学习了能够重合的图形称为全等图形，全等图形的形状与大小都相同。
全等三角形
(1) 课前复习三角形的有关知识：一个三角形共有______个顶点,_________个角,_______条边.
(2) 已知△ABC,它的顶点是_________,它的角是______________, 它的边是____________
(3) 两个图形完全重合指的是它们的形状___________,大小___________.
(4) 完全重合的两条线段_________(填 “相等”或 “不相等”)
(5) 完全重合的两个角_________(填 “相等”或 “不相等”)
1．全等三角形的定义及有关概念与性质．
(1)定义：全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形．
（2）三角形中对应元素的关系，发现对应边相等，对应角相等．
2．学习全等三角形的符号表示及读法与写法：解释“≌”的含义与读法，并强调对应顶点写在对应位置上．
举例说明：如图，∵ △ABC≌DFE，(已知)
∴AB=DF，AC=DE，BC=FE，(全等三角形的对应边相等)
∠A=∠D，∠B=∠F，∠C=∠E．(全等三角形的对应角相等)
二、总结寻找全等三角形对应元素的方法，渗透全等变换的思想
(1) 全等用符号_________表示.读作__________.
(2) 三角形ABC全等于三角形DEF,用式子表示为______________
(3) 已知△ABC与△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′∠C=∠C′;
AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.则△ABC_______△A′B′C′.
(4) 如右图△ABC≌△BCD,∠A的对应角是∠D,∠B的对应角∠E,则
∠C与____是对应角;AB与_____是对应边, BC与_____是对应边,
AC与____是对应边.
（5）判断题:
①全等三角形的对应边相等,对应角相等.( )
②全等三角形的周长相等.( )
③面积相等的三角形是全等三角形.( )
④全等三角形的面积相等.( )
三、性质应用举例
1．性质的基本应用．
例1 已知：△ABC≌△DFE，∠A=96°，∠B=25°，DF=10cm．求∠E的度数及AB的长。
例2 如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10，AD= 4， G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数与CE的长．
探索三角形全等的条件
探索、归纳总结。
1、全等三角形的 相等， 相等。
2、如图1，已知△AOC≌△BOD，则∠A=∠B，∠C= ， =∠2，对应边有AC= ， =OB， =OD。
3、如图2，已知△AOC≌△DOB，则∠A=∠D，∠C= ， =∠2，对应边有AC= ，OC= ，AO= 。
4、如图3，已知∠B=∠D，∠1=∠2，∠3=∠4， AB=CD，AD=CB，AC=CA。则△ ≌ △
5、判定两个三角形全等，依定义必须满足（ ）
（A）三边对应相等 （B）三角对应相等
（C）三边对应相等与三角对应相等 （D）不能确定
一、 巩固练习：
1、 下列三角形全等的是
2、三边对应相等的两个三角形例全等，简写为 或
3、如图，AB=AC， BD=DC 4、如图，AM=AN， BM=BN
求证：△ABD≌△ACD 求证：△AMB≌△ANB
证明：在△ABD与△ACD中 证明：在△AMB与△ANB中
∴ △ABD △ACD（ ） ∴ ≌ （ ）
5、如图，AD=CB，AB=CD 6、如图，PA=PB，PC是△PAB的
中线，∠A=55°
求证：∠B=∠D 求：∠B的度数
证明：在 中 解：∵PC是AB边上的中线，
∴AC= （中线的定义）
在 中
∴∠B=∠D（全等三角形对应角相等）
∴ ∠A=∠B（ ）
∵ ∠A=55°（已知）
∴ ∠B=∠A=55°（等量代换）
小 结：本节学习并且掌握了三角形全等的条件，全等三角形对应的三条边与角都相等。
作业练习
1、一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是 cm
2、如右图，在△ABC中，∠A＝°∠＝°∠＝°求三个内角的度数。
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，（ ）
从而，∠A= ，∠B= ，∠C=
3、在空白处填入“锐角”、“直角”或“钝角”：如果三角形的三个内角都相等，
那么这个三角形是 三角形；
4．如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是 三角形。
提高练习：
1、 已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，求∠A、∠B与∠C的度数，
它是什么三角形？
2、如右图，已知△ABC中，∠1=27°，∠2=85°，
∠3=38°求∠4的度数
3、AD是△ABC的角平分线（D在BC所在直线上），那么∠BAD=_______=______.
AE是△ABC的中线（E在BC所在直线上），那么BE=___________=_______BC.
4、如右图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=45°,AD是△ABC的一条角平分线，
求∠ADB的度数.
证明题
1、 如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF
你能找到哪两个三角形全等？说明你的理由。
2、如图，已知AC=AD，BC=BD，CE=DE，则全等三角形共有 对，
并说明全等的理由。
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