2023-2024学年广东省广州中学七年级（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题有 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．（3 分）下列命题中是真命题的是(
A．对顶角相等C．同位角相等

)

B．两点之间，直线最短D．同旁内角互补
2．（3 分）点 P(-4, 5) 所在的象限是(
)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

第 18 页（共 18 页）

8
3．（3 分）在 3 ，0， p ， -0.5 ，

，3.161161116 六个实数中，无理数有( )

2 2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

18
4．（3 分）如图，在数轴上表示 的点可能是( )

A. 点 P B．点Q C．点 M D．点 N
5．（3 分）下列等式成立的是( )

3 -8
A． = ±2
B. (-
3)2 = 9
C. = 6
D． = ±2

(-6)2
4
6．（3 分）点 N (1, -2) 先向左平移 3 个单位，又向上平移 2 个单位得到点 M ，则点 M 的坐标为( )

A． (-2, 0)
B． (4, 0) C． (-2, -4)
D． (0, -2)

7．（3 分）若点 P(a + 2, a - 1) 在 x 轴上，则点 P 的坐标是( ) A． (1, 0) B． (0,1) C． (0, -3)


D． (3, 0)

8．（3 分）如图，在DABC 中，点 D 、 E 、 F 分别在 AB 、 BC 、 AC 上，且 EF / / AB ，要使 DF / / BC ，还需要添加条件( )

A． Ð1 = Ð2
B． Ð1 = Ð3
C． Ð1 = Ð4
D． Ð2 = Ð4

二、多项选择题（本题有 2 个小题，每小题 4 分，共 8 分，每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的
得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。）
9．（4 分）如图所示， OA ^ OC ， OB ^ OD ，下面结论中，其中说法正确的是( )

A． ÐAOB + ÐCOD = 90° B． ÐAOB = ÐCOD
C． ÐBOC + ÐAOD = 180° D． ÐAOC - ÐCOD = ÐBOC
10．（4 分）如图，已知长方形纸片 ABCD 中，点 E 、F 、G 分别在边 AD 、 AB 、CD 上．将三角形 AEF
沿 EF 翻折，点 A 落在点 A1 处，将三角形 DEG 沿 EG 翻折，点 D 落在点 D1 处，以下四个结论中正确的有(
)

A．若ÐA1ED = 2n° ，则ÐAEF = (90 - n)°
B．若ÐFEG = 90° ，则 A1 、 D1 、 E 三点不一定在同一直线上
C．若ÐFEG = m°(m > 90) ，则ÐA1ED1 = (2m - 180)°
3
D．若ÐFEG = m°(m < 90) ，则ÐA1ED1 = (180 - 2m)° 三、填空题（共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分。） 11．（3 分）实数1 - 的相反数是 ．
12．（3 分）如图，直线 a / /b ，直线 AB ^ AC ，若Ð1 = 50° ，则Ð2 = ．
13．（3 分）若 m 、 n 是一个正数的平方根，则3m + 3n - 5 = ．
14．（3 分）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(-1, -1) 、(-1, 2) 、(3, -1) ，则第四个顶点的坐标为 ．
15．（3 分）已知在平面直角坐标系中， DPQR 的顶点坐标为 P(0, 3) ， R(4, 0) ，Q(k, 5) ，其中0 < k < 4 ，若
该三角形的面积为 8，则 k 的值是 ．

16．（3 分）在平面直角坐标系中做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第 1 步向右走 1 个单位长度，
第 2 步向右走 2 个单位长度，第 3 步向上走 1 个单位长度，第 4 步向右走 1 个单位长度 依此类推，
第 n 步的走法是：当 n 能被 3 整除时，则向上走 1 个单位长度；当 n 被 3 除，余数为 1 时，则向右走 1
个单位长度；当 n 被 3 除，余数为 2 时，则向右走 2 个单位长度，当走完第 100 步时，棋子所处位置的坐标是 ．
四、解答题（共有 9 小题，共 70 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
49
17．（4 分）计算： | -2 | + 3 -27 - + (-1)2 ．

18．（4 分）如图，直线 AB 、CD 相交于点O ， OE 平分ÐBOD ， ÐBOE = 36° ．求ÐAOC 的度数．

b + 3
19．（6 分）已知| a - 5| + = 0 ， 3a + c 的平方根是±4 ，求10a - 4b + 2c 的立方根．

20．（6 分）如图，把三角形 ABC 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到三角形 A¢B¢C¢ ．
（1） 请在图中画出平移后的图形，并写出点 A¢ 的坐标；
（2） 求三角形 A¢B¢C¢ 的面积．

21．（8 分）已知点 P(m + 2, 3) ， Q(-5, n - 1) ，根据以下条件确定 m 、 n 的值．
（1） P 在 y 轴上， Q 在 x 轴上；
（2） PQ / / x 轴，且 P 与Q 的距离为 3．

22．（10 分）完成下面的解答过程：
如图， AD / / EF ， Ð1 + Ð2 = 180° ， DG 平分ÐADC ，求证： Ð1 = ÐB ．
23．（10 分）一块长方形空地面积为 1500 平方米，其长宽之比为5: 3 ．
（1） 求这块长方形空地的周长；
2
20
（2） 如图，在空地内修建“ T 字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛 1 为正方形，花坛 2 为长方形，其长宽之比为2 :1 ，花坛 1 的边长与花坛 2 的长相等，花坛的总面积为 1200 平方米．请问宽度为 2.5 米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？

（参考数据：
» 1.414,
» 4.47)

24．（10 分）如图，点 A 的坐标为(m, 0) ，点 B 在 y 轴上，将三角形 ABO 沿 x 轴正方向平移，平移后的图

形为三角形CDE ，点 D 的坐标为(n, 2) ，且
m + 1+ | n - 3 |= 0 ．

（1） 点 A 的坐标为 ；点 D 的坐标为 ；
（2） 点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线 B ® D ® E 向终点 E 运动，设点 P 的运动时间为t 秒，回答下列问题：
①当t = 时，点 P 的横坐标与纵坐标之和为 4；
②当直线 AP 将四边形 ABDE 的面积分成1: 6 两部分时，求出t 的值．

25．（12 分）已知：如图（1）直线 AB 、CD 被直线 MN 所截， Ð1 = Ð2 ．
（1） 求证： AB / /CD ；
（2） 如图（2），点 E 在 AB ， CD 之间的直线 MN 上， P 、Q 分别在直线 AB 、CD 上，连接 PE 、 EQ ，
PF 平分ÐBPE ， QF 平分ÐEQD ，则ÐPEQ 和ÐPFQ 之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3） 如图（3），在（2）的条件下，过 P 点作 PH / / EQ 交 CD 于点 H ，连接 PQ ，若 PQ 平分ÐEPH ，
ÐQPF : ÐEQF = 1: 5 ，求ÐPHQ 的度数．

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参考答案与试题解析

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
C
C
A
D
B

一、选择题（本题有 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．（3 分）下列命题中是真命题的是( )
A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短
C．同位角相等 D．同旁内角互补
【解答】解： A 、对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；
B 、两点之间，线段最短，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C 、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D 、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选： A ．
2．（3 分）点 P(-4, 5) 所在的象限是( )
A. 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：点 P(-4, 5) 所在的象限是第二象限． 故选： B ．

8
3．（3 分）在 3 ，0， p ， -0.5 ，
，3.161161116 六个实数中，无理数有( )

2 2
A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

8
8
【解答】解：在 3 ，0， p ， -0.5 ， ，3.161161116 六个实数中，无理数有 3 ， p ，

，公 3 个．

2 2 2 2
故选： C ．

18
4．（3 分）如图，在数轴上表示 的点可能是( )

A. 点 P B．点Q C．点 M D．点 N

16
【解答】解：Q
18
\ 4 < < 5 ，
< < ，

18
25
18
根据数轴可知，只有点 M 的值在 4 和 5 之间，

\在数轴上表示故选： C ．
的点可能是点 M ，

(-6)2
5．（3 分）下列等式成立的是( )

3 -8
A． = ±2
B. (-
3)2 = 9
C. = 6
D． = ±2

4
3 -8
【解答】解： A ．因为(-2)3 = -8 ，所以 = -2 ，故该选项不正确，不符合题意；

B ． (-

(-6)2
C ．
3) 2 = 3 ，故该选项不正确，不符合题意；

36
= = 6 ，故该选项正确，符合题意；

4
D ． = 2 ，故该选项不正确，不符合题意．
故选： C ．
6．（3 分）点 N (1, -2) 先向左平移 3 个单位，又向上平移 2 个单位得到点 M ，则点 M 的坐标为( )

A． (-2, 0)
B． (4, 0) C． (-2, -4)
D． (0, -2)

【解答】解：由题意知点 M 的坐标为(1 - 3, -2 + 2) ，即(-2, 0) ． 故选： A ．
7．（3 分）若点 P(a + 2, a - 1) 在 x 轴上，则点 P 的坐标是( )
A． (1, 0) B． (0,1) C． (0, -3)
【解答】解：Q P(a + 2, a - 1) 在 x 轴上，
\ a - 1 = 0 ， 解得 a = 1，
Q a + 2 = 1 + 2 = 3 ，
\点 P 的坐标是(3, 0) ． 故选： D ．


D． (3, 0)

8．（3 分）如图，在DABC 中，点 D 、 E 、 F 分别在 AB 、 BC 、 AC 上，且 EF / / AB ，要使 DF / / BC ，
还需要添加条件( )

A． Ð1 = Ð2
B． Ð1 = Ð3
C． Ð1 = Ð4
D． Ð2 = Ð4

【解答】解：Q EF / / AB ，
\Ð1 = Ð2 ，
要使 DF / / BC ，只要Ð3 = Ð2 就行，
Q Ð1 = Ð2 ，
\还需要添加条件Ð1 = Ð3 即可． 故选： B ．

二、多项选择题（本题有 2 个小题，每小题 4 分，共 8 分，每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的
得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。）
9．（4 分）如图所示， OA ^ OC ， OB ^ OD ，下面结论中，其中说法正确的是( )

A． ÐAOB + ÐCOD = 90° B． ÐAOB = ÐCOD
C． ÐBOC + ÐAOD = 180° D． ÐAOC - ÐCOD = ÐBOC
【解答】解：QOA ^ OC ， OB ^ OD ，
\ÐAOB + ÐBOC = 90° ， ÐBOC + ÐCOD = 90° ，
\ÐAOB = ÐCOD ， 故 B 选项正确；
\ÐBOC + ÐAOD = ÐBOC + ÐAOB + ÐBOD = ÐAOC + ÐBOD = 90° + 90° = 180° ， 故C 选项正确；
\ÐAOC - ÐCOD = ÐBOD - ÐCOD = ÐBOC ，故 D 选项正确； 故选： BCD ．
10．（4 分）如图，已知长方形纸片 ABCD 中，点 E 、F 、G 分别在边 AD 、 AB 、CD 上．将三角形 AEF
沿 EF 翻折，点 A 落在点 A1 处，将三角形 DEG 沿 EG 翻折，点 D 落在点 D1 处，以下四个结论中正确的有(
)

A．若ÐA1ED = 2n° ，则ÐAEF = (90 - n)°
B．若ÐFEG = 90° ，则 A1 、 D1 、 E 三点不一定在同一直线上
C．若ÐFEG = m°(m > 90) ，则ÐA1ED1 = (2m - 180)°
D．若ÐFEG = m°(m < 90) ，则ÐA1ED1 = (180 - 2m)°

【解 答】 解： A ． 由 折 叠性 质 得
ÐAEF = ÐA1EF
， ÐDEG = ÐD1EG
，若 ÐA1ED = 2n° ，

1 1
QÐAEF + ÐFEA + ÐA ED = 180° ，整理得 2ÐAEF + 2n° = 180° ，\ÐAEF = (90 - n)0 ，故 A 正确； B ．若

ÐFEG = 90° ，则ÐFEA1 + ÐGED1 = 90° ，\ÐAEF + ÐFEA1 + ÐGED1 + ÐDEG = 180°Q 点 E 在边 AD 上，\点

A1 、D1 、E 三点一定在同一直线上，故 B 错误；C ．若
ÐFEG = m°(m > 90) ，则
ÐAEF + ÐFEG + ÐDEG = 180°

\ÐAEF + ÐDEG = 180° - m° ， 则
ÐAED1 = 180° - (ÐAEF + ÐA1EF ) - (ÐDEG + ÐD1EG) = 180° - 2(ÐAEF + ÐDEG) = (2m - 180)° ，故C 正确；
D ．若 ÐFEG = m°(m < 90) ，则 ÐAEF + ÐFEG + ÐDEG = 180° ，得 ÐAEF + ÐDEG = 180° - m° ，则
ÐAED1 = (ÐAEF + ÐFEA1) + (ÐDEG + ÐGED1) - 180° = 2(ÐAEF + ÐDEG) - 180° = (180 - 2m)° ，故 D 正确； 故选： ACD ．
三、填空题（共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分。）

3
11．（3 分）实数1 - 的相反数是
3
3
3
【解答】解：实数1 - 的相反数是
- 1 ．
3
- 1．

故答案为：
- 1．

12．（3 分）如图，直线 a / /b ，直线 AB ^ AC ，若Ð1 = 50° ，则Ð2 = 40° ．
【解答】解：Q直线 a / /b ，
\Ð2 = ÐB ，
Q直线 AB ^ AC ， Ð1 = 50° ，
\ÐB + Ð1 = 90° ．
\Ð2 = ÐB = 40° ． 故答案为： 40° ．
13．（3 分）若 m 、 n 是一个正数的平方根，则3m + 3n - 5 = -5 ．
【解答】解：根据题意得： m + n = 0 ， 则原式= 3(m + n) - 5 = -5 ，
故答案为： -5
14．（3 分）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(-1, -1) 、(-1, 2) 、(3, -1) ，则第四个顶点的坐标为 (3, 2) ．
【解答】解：过(-1, 2) 、(3, -1) 两点分别作 x 轴、 y 轴的平行线， 交点为(3, 2) ，即为第四个顶点坐标．故答案为(3, 2) ．

15．（3 分）已知在平面直角坐标系中， DPQR 的顶点坐标为 P(0, 3) ， R(4, 0) ，Q(k, 5) ，其中0 < k < 4 ，若
该三角形的面积为 8，则 k 的值是 8 ．
3
【解答】解：如图，过点Q 作QH ^ x 轴于点 H ，

Q P(0, 3) ， R(4, 0) ， Q(k, 5) ，其中0 < k < 4 ，
\OP = 3 ， OR = 4 ， RH = 5 ， OH = k ，
Q SDPQR = S梯形OHQP + SDQHR - SDOPR ，
\ 1 ´ (3 + 5) × k + 1 (4 - k ) ´ 5 - 1 ´ 3 ´ 4 = 8 ，解得 k = 8 ，
2 2 2 3
8
故答案为： ．
3
16．（3 分）在平面直角坐标系中做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第 1 步向右走 1 个单位长度，
第 2 步向右走 2 个单位长度，第 3 步向上走 1 个单位长度，第 4 步向右走 1 个单位长度 依此类推，
第 n 步的走法是：当 n 能被 3 整除时，则向上走 1 个单位长度；当 n 被 3 除，余数为 1 时，则向右走 1
个单位长度；当 n 被 3 除，余数为 2 时，则向右走 2 个单位长度，当走完第 100 步时，棋子所处位置的
坐标是 (100, 33) ．
【解答】解：由题意得，每 3 步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右 3 个单位，向上 1 个单位，
Q100 ¸ 3 = 33 余 1，
\走完第 100 步，为第 34 个循环组的第 1 步，
所处位置的横坐标为33 ´ 3 + 1 = 100 ，纵坐标为33 ´1 = 33 ，
\棋子所处位置的坐标是(100, 33) ．故答案为(100, 33) ．

四、解答题（共有 9 小题，共 70 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。）
49
17．（4 分）计算： | -2 | + 3 -27 - + (-1)2 ．
49
【解答】解： | -2 | + 3 -27 - + (-1)2
= 2 - 3 - 7 +1
= -7 ．
18．（4 分）如图，直线 AB 、CD 相交于点O ， OE 平分ÐBOD ， ÐBOE = 36° ．求ÐAOC 的度数．
【解答】解：Q直线 AB 、CD 相交于点O ， OE 平分ÐBOD ，
\ÐBOD = 2ÐBOE = 2 ´ 36° = 72° ，
\ÐAOC = ÐBOD = 72° ．

b + 3
19．（6 分）已知| a - 5| +
b + 3
【解答】解：Q | a - 5| +
= 0 ， 3a + c 的平方根是±4 ，求10a - 4b + 2c 的立方根．
= 0 ， 3a + c 的平方根是±4 ，

\ a - 5 = 0 ， b + 3 = 0 ， 3a + c = (±4)2 = 16 ，
\ a = 5 ， b = -3 ， c = 1，
\10a - 4b + 2c = 10 ´ 5 - 4 ´ (-3) + 2 ´1 = 64 ，

3 64
\10a - 4b + 2c 的立方根为 = 4 ．
20．（6 分）如图，把三角形 ABC 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到三角形 A¢B¢C¢ ．
（1） 请在图中画出平移后的图形，并写出点 A¢ 的坐标；
（2） 求三角形 A¢B¢C¢ 的面积．

【解答】解：（1）如图，三角形 A¢B¢C¢ 即为所求．

由图可得，点 A¢ 的坐标为(0, 4) ．
（2）三角形 A¢B¢C¢ 的面积为 1 ´ 4 ´ 3 = 6 ．
2
21．（8 分）已知点 P(m + 2, 3) ， Q(-5, n - 1) ，根据以下条件确定 m 、 n 的值．
（1） P 在 y 轴上， Q 在 x 轴上；
（2） PQ / / x 轴，且 P 与Q 的距离为 3．
【解答】解：（1）Q P 在 y 轴上， Q 在 x 轴上，
\ m + 2 = 0 ， n - 1 = 0 ，
\ m = -2 ， n = 1 ；
（2）Q PQ / / x 轴，且 P 与Q 的距离为 3，
ì 3 = n - 1
î
\ í m + 2 + 5 = 3 ，
解得： n = 4 ， m = -4 或 m = -10 ．
22．（10 分）完成下面的解答过程：
如图， AD / / EF ， Ð1 + Ð2 = 180° ， DG 平分ÐADC ，求证： Ð1 = ÐB ．
【解答】证明：Q AD / / EF ，
\Ð2 + Ð3 = 180° ， 又Ð1 + Ð2 = 180° ，
\Ð1 = Ð3 ，

Q DG 平分ÐADC ，
\Ð1 = Ð4 ，
\Ð3 = Ð4 ．
\ AB / / DG ，
\Ð1 = ÐB ．
23．（10 分）一块长方形空地面积为 1500 平方米，其长宽之比为5: 3 ．
（1） 求这块长方形空地的周长；
2
20
（2） 如图，在空地内修建“ T 字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛 1 为正方形，花坛 2 为长方形，其长宽之比为2 :1 ，花坛 1 的边长与花坛 2 的长相等，花坛的总面积为 1200 平方米．请问宽度为 2.5 米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？

（参考数据：
» 1.414,
» 4.47)

【解答】解：（1）设这块长方形的长为5x 米，则宽为3x 米，由题意得， 3x × 5x = 1500 ，
解得： x = 10 ，
\这块长方形的长为 50 米，宽为 30 米，
这块长方形空地的周长= (30 + 50) ´ 2 = 160 （米) ， 答：这块长方形空地的周长为 160 米；
（2）设花坛 1 的边长为2a 米，则花坛 2 的长为2a 米，宽为 a 米，
由题意得， (2a)2 + 2a × a = 1200 ，

2
解得： a = 10 ，
2
2
\花坛 1 的边长为 20 米，花坛 2 的宽为10 2 米，

2
50 - 20
- 10
» 7.58 （米) > 2.5 米，

\宽度为 2.5 米的农药喷洒车能在走道上正常通行．

24．（10 分）如图，点 A 的坐标为(m, 0) ，点 B 在 y 轴上，将三角形 ABO 沿 x 轴正方向平移，平移后的图

形为三角形CDE ，点 D 的坐标为(n, 2) ，且
m + 1+ | n - 3 |= 0 ．

（1） 点 A 的坐标为 (-1, 0) ；点 D 的坐标为 ；
（2） 点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线 B ® D ® E 向终点 E 运动，设点 P 的运动时间为t 秒，回答下列问题：
①当t = 时，点 P 的横坐标与纵坐标之和为 4；
②当直线 AP 将四边形 ABDE 的面积分成1: 6 两部分时，求出t 的值．

【解答】解（1）Q
m + 1+ | n - 3 |= 0 ．
m + 1…0 ， | n - 3|…0 ，

\ m + 1 = 0 ， n - 3 = 0 ，
\ m = -1 ， n = 3 ，
故点 A 的坐标为(-1, 0) ，点 D 的坐标为(3, 2) ， 故答案为： (-1, 0) ， (3, 2) ；
（2）①QDDCE 是由DABO 平移得到的，
\ BD / / AC ，
\ BD / / x 轴，
\ BD 所在直线的纵坐标为 2， 当点 P 在 BD 上时， P(t, 2) ，
\t + 2 = 4 ，
\t = 2 ．
当点 P 在 ED 上时， P(3, 5 - t) ，
\3 + 5 - t = 4 ，
\t = 4 ．
\t = 2 或 4 时，点 P 的横坐标与纵坐标之和为 4； 故答案为：2 或 4；
②Q A(-1, 0) ， B(0, 2) ， D(3, 2) ， E(3, 0) ，
\ BD = 3 ， DE = 2 ， AE = 4 ，

\ S梯形ABDE
= 1 ( BD + AE ) ´ ED = 1 ´ (3 + 4) ´ 2 = 7 ，
2 2

Q直线 AP 将四边形 ABDE 的面积分成1: 6 两部分，

当点 P 在 BD 上时， S


三角形ABP
= 1 S
7
梯形ABDE ，

\ S三角形ABP
= 1 ´ 2 ´ t = 1 ´ 7 ，
2 7

\t = 1，

\当点 P 在 DE 上时， S


三角形APE

= 1 S
7


梯形ABDE ，

\ S三角形APE
= 1 ´ 4 ´ PE = 1 ´ 7 ，
2 7

\ PE = 1 ，
2
Q BD + DP = t ， BD + DE = 5 ，
\ PE = 5 - t ，
\5 - t = 1 ，
2
\t = 9 ，
2
综上所述， t = 1 或 9 ，直线 AP 将四边形 ABDE 的面积分成1: 6 两部分．
2
25．（12 分）已知：如图（1）直线 AB 、CD 被直线 MN 所截， Ð1 = Ð2 ．
（1） 求证： AB / /CD ；
（2） 如图（2），点 E 在 AB ， CD 之间的直线 MN 上， P 、Q 分别在直线 AB 、CD 上，连接 PE 、 EQ ，
PF 平分ÐBPE ， QF 平分ÐEQD ，则ÐPEQ 和ÐPFQ 之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3） 如图（3），在（2）的条件下，过 P 点作 PH / / EQ 交 CD 于点 H ，连接 PQ ，若 PQ 平分ÐEPH ，
ÐQPF : ÐEQF = 1: 5 ，求ÐPHQ 的度数．

【解答】解：（1）如图 1 中，

QÐ2 = Ð3 ， Ð1 = Ð2 ，
\Ð1 = Ð3 ，
\ AB / /CD ．
（2）结论：如图 2 中， ÐPEQ + 2ÐPFQ = 360° ． 理由：作 EH / / AB ．

Q AB / /CD ， EH / / AB ，
\ EH / /CD ，
\Ð1 = Ð2 ， Ð3 = Ð4 ，
\Ð2 + Ð3 = Ð1 + Ð4 ，
\ÐPEQ = Ð1 + Ð4 ，
同法可证： ÐPFQ = ÐBPF + ÐFQD ，
QÐBPE = 2ÐBPF ， ÐDQE = 2ÐFQD ， Ð1 + ÐBPE = 180° ， Ð4 + ÐEQD = 180° ，
\ÐPEQ + 2ÐPFQ = 360° ．
（3）如图 3 中，设ÐQPF = y ， ÐPHQ = x ． ÐEPQ = z ，则ÐEQF = ÐFQH = 5 y ，

Q EQ / / PH ，
\ÐEQC = ÐPHQ = x ，
\ x + 10 y = 180° ，
Q AB / /CD ，
\ÐBPH = ÐPHQ = x ，
Q PF 平分ÐBPE ，
\ÐEPQ + ÐFPQ = ÐFPH + ÐBPH ，
\ÐFPH = y + z - x ，

Q PQ 平分ÐEPH ，
\ Z = y + y + z - x ，
\ x = 2 y ，
\12 y = 180° ，
\ y = 15° ，
\ x = 30° ，
\ÐPHQ = 30° ．