初中数学竞赛第二轮专题复习几何.doc

初中数学竞赛第二轮专题复习（2）
几何证明的基本方法（1）
一、常用定理
梅涅劳斯定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则
梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若则三点共线。
塞瓦定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，则
塞瓦定理的逆定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。
角元形式的塞瓦定理 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是
广义托勒密定理 设ABCD为任意凸四边形，则AB•CD+BC•AD≥AC•BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理 设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有
AP2=AB2•+AC2•-BP•PC.
欧拉定理 ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且
二、基本方法
（一）线段相等
证明两线段相等常可从如下角度去考虑：（1）从角考虑：在同一三角形中等角对等边，在同圆或等圆中等圆周角对等弦、等圆心角对等弦；（2）从线考虑：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，平行的两直线间的距离相等，关于某直线（或某点）对称的两点到直线（或某点）的距离相等，圆的垂径平分弦相等，两圆的内（或外）公切线长相等，从一点向圆引的两条切线长度相等；（3）从形考虑：全等形的对应边相等，特殊多边形中的边与边、边与对角线、对角线与对角线之间相等，与差、倍分（例如，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含300的直角三角形的斜边是300角所对边的两倍），三角形、梯形的中位线与底边的关系，平行四边形的对边相等，对角线互相平分等等；（4）从计算考虑：可直接计算两线段相等，可通过等量代换转算，可利用比例式、等积式转算，还可利用一系列定理、公式，例如边比定理、张角公式等等.
1.1利用三角形中等角对等边：
例题1：如图，设I为△ABC内切圆圆心，而与点A不同的点D是直线AI与△ABC外接圆的交点，求证：DB=DC=DI.
1.2利用平行四边形对边相等：
例题2：求证：如果圆的内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点至一边中点的线段等于圆心到这一边的对边的距离.
1.3利用圆中几类角间关系：
例题3：如图，在△ABC中，AB<AC<BC，点D在BC上，点E在BA的延长线上，且BD=BE=AC，△BDE的外接圆与△ABC的外接圆交于F，求证：BF=AF十CF.
（二）角度相等
证明两角度相等常从如下几个方面考虑：（1）从角考虑：直接计算，等量代换，在同一三角形中，等边对等角等；（2）从线考虑：角的平分线的定义及判定，平行线中的同位角，内错角等；（3）从形考虑：全等形的对应角，相似形的对应角。圆中圆周角、圆心角、弦切角及相互关系。特殊多边形中的有关角等；（4）从计算考虑：利用三角函数式计算等间接计算
平面几何中的线段与角度问题，宛如郁郁葱葱，茫无际涯的森林，构成了枝繁叶茂，生机勃勃的几何度量问题林海，这两类问题总是相互联系，相互作用，相互依存，相互制约着的，因而这两类间题的求解思路，也是相互利用，相互关联的.
1.1利用相似三角形对应角相等：
例题1：如图，设圆内接锐角△ABC，过从B、C为切点的切线相交于点N，取BC的中点M，试证：∠BAM=∠CAN.
1.2利用角平分线及内心性质：
例题2：如图，设OC是圆S1的一条弦，今知以O为圆心的圆S2与OC相交于点D，点D不与点C重合，且圆S2与圆S1相交于点A与B，证明：DC平分∠ACB.
1.3利用内角平分线逆定理：
例题3：如图，PA、PB、PC、PD的长分别为a、b、c、d，且，又AB、CD相交于Q，求证：PQ平分∠CPD.
（三）证明平行
论证两直线平行，常从如下几方面着手，从角考虑：（1）通过证被第三条直线截得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等来确定两直线平行；（2）从线考虑：通过证两直线同垂直(或同平行)于第三条直线来确定两直线平行；（3）从形考虑:通过证两直线上的线段是某些特殊图形，如平行四边形的一组对边，三角形或梯形的中位线与底边等来确定两直线平行；（4）从比例式考虑:通过证对应线段成比例来确定过对应分点的直线平行；（5）从有关结论来考虑，在有关图形中，有一些美妙的结论，如同圆中夹等弧的两弦（或一弦与一切线）平行，过相交（或相切）两圆交点的割线交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行；（6）还可从运用其他方法方面考虑：诸如面积法、几何变换法、向量法等.
1.1利用角相等：
例题1：如图，自圆O外一点A引切线，切点为B，过AB的中点M作割线交圆于C、D，连AC、AD又交圆于E、F，求证：AB// EF.
1.2利用与第三条直线平行（垂直）：
例题2：如图，在△ABC中，BD、CE为高，F、G分别为ED、BC的中点，O为外心，求证：AO // FG.
1.3利用平行四边形对边平行：
例题3：如图，在正方形ABCD内任取一点E，连AE，BE，在△ABE外分别以AE、BE为边作正方形AEMN与EBFG，连NC、AF，求证：NC// AF.
1.4利用三角形中位线与底边平行：
例题4：如图，设BP，CQ是△ABC的内角平分线，AH、AK分别为A至BP，CQ的垂线，证明：KH//BC.
1.5利用三角形线段相似比：
例题5：如图，在△ABC的边AB、BC、CA上分别取点M、K、L，使MK// AC、ML// BC，令BL与MK交于P，AK与ML交于Q，求证：PQ// AB.
1.6利用过相交（或相切）两圆交点分别作割线交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行：
例题6：如图，已知在凸四边形ABCD中，直线CD与以AB为直径的圆相切，直线AB与以CD为直径的圆相切，求证：BC//RD.
（四）证明垂直
论证两直线相交垂直常从如下几方面考虑，（1）从角考虑：相交成直角的两直线垂直，相交得邻补角相等的两直线垂直，直径所张圆周角的两边垂直；（2）从线考虑：分别与两互垂线平行的两直线垂直，一条直线与两平行线中的一条垂直也与另一条垂直、同圆中夹弧与为半圆的两相交弦垂直，等腰三角形的顶角平分线（或底边中线）与底边垂直，菱形的两条对角线垂直，过三角形顶点与垂心的直线与顶点所对的边垂直，两相交圆的连心线与公共弦垂直等；（3）从形考虑：与直角三角形相似对应于直角的角的两边垂直，圆内接四边形对角相等时角的两边垂直.分别为两边对应垂直的两个相似三角形的第三边的两直线垂直等；（4）从有关结论考虑：满足勾股定理逆定理条件的三角形两短边垂直一线段的两端到另一线段两端距离的平方差相等时此两线段垂直；（5）还可从其他方法方面考虑:诸如同一法、反证法等.
1.1利用相交两直线所成角为900角：
例题1：如图，已知P、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BP=BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H，求证：DH⊥HQ.
1.2利用相交得邻补角相等的两直线垂直：
例题2：如图，圆O经过△ABC的顶点A、C，分别与AB，BC交于K与N，△ABC与△KBN的两个外接圆相交于点B、M，.求证：OM⊥MB.
1.3利用直径所张圆周角两边垂直（同例题2）：
1.4如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直（同例题2）：
1.5利用等腰三角形四线合一：
例题5：如图，圆O1与圆O2相交于A、B两点，O1在圆O2的圆周上，圆O1的弦AC交圆O2于D点，求证：O1D⊥BC.
1.6利用三角形的垂心性质：
例题6：在矩形ABCD的两边AB与BC上向外作等边△ABE与△BCF，EA与FC的延长线交于M，求证：BM⊥EF.
1.7利用相似直角三角形性质：
例题7：从等腰三角形ABC的底边AC的中点M作BC边的垂线MH，点P是MH的中点，证明：AH⊥BP.
1.8利用勾股定理的逆定理：
例题8：如图，在△ABC中，边BC等于其余两边之与的一半，求证：∠BAC的平分线垂直于连结内心、外心的线段.
（五）点共线问题
同在一条直线上的许多点叫做共线点，或者说这些点共直线。点共直线是一类有趣而引人入胜的间题，所以长期以来，点共直线的问题，受到人们的关注，历史上众多的数学家也获得了许多美妙的结果：诸如欧拉线、牛顿线、西姆松线，卡诺定理、戴沙格定理、奥倍尔定理、帕普斯定理、清宫定理等，点共直线问题仍是数学爱好者青睐的题型之一。
求解点共直线问题涉及的概念较多，覆盖知识面较广，综合性也较强，因此，在求解时可能陷人困境，为了尽快找到一种切实有效的思路可从如下几个方面去考虑：（1）从角考虑：证得以中间一点为顶点，两侧两点所在射线所成的角为平角，证得以中间一点为顶点且作一直线，其余两点所在射线构成对顶角，证得以一点为顶点且作一射线，其余两点所在射线与前一条射线所成的两个角相等；（2）从线考虑：证第三点在过另两点的直线上，证得三点两两连结的直线各与同一直线垂直（或平行），证得三点两两连结的线段有与或差关系；（3）从形考虑：证三点所成的三角形面积为零，证得以一点为位似中心，其余两点为位似变换的一双对应点；（4）从有关结论考虑：注意到梅涅劳斯定理、张角公式等；（5）从方法上考虑：可考虑反证法、同一法、面积法等。
论证四点（或四点以上）在一直线上，可先设一条过两点的直线，再让其余各点在此直线上，或多次运用三点共直线，再证这些直线重合.
1.1欲证X、Y、Z三点共线，连结XY与YZ，证明∠XYZ=1800：
例题1：如图，在线段AB上任取一点M，以线段AM , BM为一边，在AB的同旁作正方形AMCD , BEHM，这两个正方形的外接圆相交于M 、N两点，求证：B、N、C三点共线.
1.2欲证X、Y、Z三点共线，适当地选一条过Y的直线PQ，证明∠XYQ=∠PYZ：
例题2：如图，在直角三角形ABC中,CH为斜边AB上的高，以A为圆心，AC为半径作圆A，过B作圆A的任一割线交圆A于D，交CH于F（D在B、F之间），又作∠ABG=∠ABD，G在圆周上，G与D在AB两侧，求证：E、H、G三点共线.
1.3欲证X，Y，Z三点共线，适当地选一条过X的射线XP，证明∠PXY=∠PXZ：
例题3：如图，已知O是锐角△ABC的外心，BE、CF为AC、AB边上的高，自垂足E、F分别作AB、AC的垂线，垂足为G、H，EG、FH相交于K。求证：A、K、O三点共线.
1.4欲证X，Y，Z三点共线，连接XY，YZ（或XZ），证其垂直（或平行）某直线：
例题4：△ABC的外接圆I上，M、N、L分别为弧BC、CA、AB中点，连接NL与AB交于D，连接MN与BC交于E，证明：D、E、I三点共线.
1.5欲证三点共线，证其中一点在连结另两点的直线上：
例题5：设在正方形ABCD的边BC上任取一点P，过A、B、P三点作一圆与对角线BD相交于点Q，过C、P、Q三点再作一圆与BD又交于一点R，证明：A、R、P三点共线.
1.6运用面积方法证三点共线：
例题6：设四边形ABCD外切于圆O，对角线AC与BD的中点分别为M、N，试证：M、N、O三点共线.
1.7运用梅涅劳斯定理之逆定理证三点共线：
例题7：设AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M、
N分别内分AC、CE，使:
求证：B、M、N三点共线.
（六）线共点问题
某一点在一平面内的若干条直线上，或一平面内若干条直线过同一点称直线共点。三角形的三中线、三高线、三边中垂线、三内角平分线分别共点于其重心、垂心、外心、内心是众所周知的。直线共点问题是常见的题型之一，也是平面几何中的典型问题之一。求解直线共点问题与求解点共直线问题一样，也常从角、线、形、有关结论等几个方面去考虑.
1.1转化为点共线问题：
例题1：如图，在正△ABC中，D、E、F、M、N、P分别为BC、CA、AB、FD、FB及DC的中点，证明：AM、EN、FP共点.
1.2注意到交点恰好是三角形的巧合点（内心、外心、垂心、重心等）：
例题2：如图，圆O内切于△ABC，A1、B1、C1分别为BC、CA、AB边上的切点，AO，BO，CO分别交圆于A2、B2、C2，求证：A1A2、B1B2、C1C2共点.
例题3：如图，凸四边形ABCD的对角线互相垂直，过AB、AD的中点K、M分别引对边CD，CB的垂线KP，MT，求证：KP、MT、AC共点.
例题4：如图，设△ABC为锐角三角形，H为自A向边BC所引高的垂足，以AH为直径的圆，分别交边AB、AC于M、N（且与A不同），过A作直线L1垂直于MN，类似地作出直线L2、L3，求证：L1、L2、L3共点.
1.3注意到交点恰好是三角形的特殊点（顶点、中点、分点等）：
例题5：四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设△ABP、△BCP、
△CDP与△DAP的外心分别是O1、O2、O3、O4，求证：OP、O1O3、O2O4三直线共点.
1.4运用塞瓦定理之逆定理证直线共点：
例题5：以△ABC各边为底边向外作相似的锐角△AC1B、△BA1C、△CB1A ，若∠AB1C=∠ABC 1=∠A 1BC，∠BA1C=∠BAC 1=∠B 1AC，求证: AA1、BB1、CC 1共点.
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