一元二次方程习题答案.doc

〔2021•临朐县一模〕关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
〔1〕求m的取值范围；
〔2〕当时，求的值．
【考点】根的判别式．
【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足以下条件：
①二次项系数不为零；
②在有两个不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0；
③二次根式的被开方数是非负数．
另外，对第〔2〕依据：=，小题利用转换解出所求的值，要注意验证所求结果是否符合题意．
【解答】解：〔1〕根据题意列出方程组
解之得0≤m＜1且m≠．
〔2〕∵
∴==11﹣2=9
∴=±3
又由〔1〕得m＜1且m≠
所以＜0
因此应舍去3
所以=﹣3
【点评】此题考察了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意：验证所求结果是否符合题意必不可少．
〔2021秋•阿荣旗期末〕如下图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙〔可利用的墙长为19m〕，另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．
〔1〕假设围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长与宽；
〔2〕能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】〔1〕利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可；
〔2〕利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可．
【解答】解：〔1〕设AB=x，那么BC=38﹣2x；
根据题意列方程的，
x〔38﹣2x〕=180，
解得x1=10，x2=9；
当x=10，38﹣2x=18〔米〕，
当x=9，38﹣2x=20〔米〕，而墙长19m，不合题意舍去，
答：假设围成的面积为180m2，自行车车棚的长与宽分别为10米，18米；
〔2〕根据题意列方程的，
x〔38﹣2x〕=200，
整理得出：x2﹣19x+100=0；
△=b2﹣4ac=361﹣400=﹣39＜0，
故此方程没有实数根，
答：因此如果墙长19m，满足条件的花园面积不能到达200m2．
【点评】此题主要考察了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
农场要建一个长方形的猪场，如图，有一段5米长的围墙可利用，其余局部用60米长的木栏围成．假设养猪场的面积为200平方米，求养猪场的各边长．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】如图，设BC=x，那么AB=．根据矩形的面积公式得到x×=200，然后利用公式法解该一元二次方程．
【解答】解：如图，设BC=x，那么AB=，
依题意 得x×=200，
整理 得2x2﹣65x+400=0，
解得x=，或x=．
那么=，或=．
答：该养猪场的长为米，宽为米．
【点评】此题考察了一元二次方程的应用．此题利用养猪场的周长为定值表示出其长、宽，然后利用矩形的面积公式列出方程来解答问题．
〔2021秋•平川区校级期中〕试证明关于x的方程〔a2﹣8a+20〕x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】证明题．
【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2﹣8a+20不等于0即可．
【解答】证明：∵a2﹣8a+20=〔a﹣4〕2+4≥4，
∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程〔a2﹣8a+20〕x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
【点评】一元二次方程有四个特点：〔1〕只含有一个未知数；〔2〕含未知数的项的最高次数是2；〔3〕是整式方程；〔4〕将方程化为一般形式ax2+bx+c=0时，应满足a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进展整理．如果能整理为ax2+bx+c=0〔a≠0〕的形式，那么这个方程就为一元二次方程．一元二次方程有四个特点：〔1〕只含有一个未知数；〔2〕含未知数的项的最高次数是2；〔3〕是整式方程；〔4〕将方程化为一般形式ax2+bx+c=0时，应满足a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进展整理．如果能整理为ax2+bx+c=0〔a≠0〕的形式，那么这个方程就为一元二次方程．
一元二次方程有四个特点：〔1〕只含有一个未知数；〔2〕含未知数的项的最高次数是2；〔3〕是整式方程；〔4〕将方程化为一般形式ax2+bx+c=0时，应满足a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进展整理．如果能整理为ax2+bx+c=0〔a≠0〕的形式，那么这个方程就为一元二次方程．
2021秋•桑植县期中〕如图直线AC的函数解析式为y=x+8，点P从点A开场沿AO方向以1个单位/秒的速度运动，点Q从O点开场沿OC方向以2个单位/秒的速度运动．如果P、Q两点分别从点A、点O同时出发，经过多少秒后能使△POQ的面积为8个平方单位？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据直线AC的解析式可得出点A、C的坐标，设运动时间为t，那么PO=|t﹣6|，OQ=2t，根据三角形的面积即可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵直线AC的函数解析式为y=x+8，
∴点C〔0，8〕，点A〔﹣6，0〕．
设运动时间为t，那么PO=|t﹣6|，OQ=2t，
根据题意，得：2t×|t﹣6|=16，
解得：t1=2，t2=4，t3=3﹣〔舍去〕，t4=3+．
∴经过2秒、4秒或3+秒后能使△POQ的面积为8个平方单位
【点评】此题考察了一元二次方程的应用，根据三角形的面积找出关于t的一元二次方程是解题的关键．
〔2021•江西模拟〕等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的一样速度作直线运动，P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
〔1〕求出S关于t的函数关系式；
〔2〕当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
〔3〕作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
【考点】一元二次方程的应用；全等三角形的应用．
【专题】几何动点问题；压轴题．
【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，到达一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条答复．
【解答】解：〔1〕当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10
∴〔4分〕
〔2〕∵S△ABC=〔5分〕
∴当t＜10秒时，S△PCQ=
整理得t2﹣10t+100=0无解〔6分〕
当t＞10秒时，S△PCQ=
整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5〔舍去负值〕〔7分〕
∴当点P运动秒时，S△PCQ=S△ABC〔8分〕
〔3〕当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM=AC=10∴DE=5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE=5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【点评】做此类题应首先找出未知量与量的对应关系，利用量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．
〔2021秋•阿荣旗期末〕如下图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙〔可利用的墙长为19m〕，另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．
〔1〕假设围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长与宽；
〔2〕能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】〔1〕利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可；
〔2〕利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可．
【解答】解：〔1〕设AB=x，那么BC=38﹣2x；
根据题意列方程的，
x〔38﹣2x〕=180，
解得x1=10，x2=9；
当x=10，38﹣2x=18〔米〕，
当x=9，38﹣2x=20〔米〕，而墙长19m，不合题意舍去，
答：假设围成的面积为180m2，自行车车棚的长与宽分别为10米，18米；
〔2〕根据题意列方程的，
x〔38﹣2x〕=200，
整理得出：x2﹣19x+100=0；
△=b2﹣4ac=361﹣400=﹣39＜0，
故此方程没有实数根，
答：因此如果墙长19m，满足条件的花园面积不能到达200m2．
【点评】此题主要考察了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
〔2021春•启东市校级期中〕欣欣服装店经销某种品牌的童装，进价为50元/件，原来售价为110元/件，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价1元，一天可以多售出2件．
〔1〕假设想每天出售50件，应降价多少元？
〔2〕如果每天的利润要比原来多600元，并使库存尽快地减少，问每件应降价多少元？〔利润=销售总价﹣进货价总价〕
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】〔1〕降低1元增加2件，可知假设想每天出售50件，降低〔50﹣40〕÷2元，列出算式即可．
〔2〕利润=售价﹣进价，根据一件商品的利润乘以销售量得到总利润，列出方程求解即可．
【解答】解：〔1〕〔50﹣40〕÷2
=10÷2
=5〔元〕．
答：应降价5元；
〔2〕设每件商品降价x元．
〔110﹣x﹣50〕×〔40+2x〕=40×〔110﹣50〕+600，
解得：x1=10，x2=30，
∵使库存尽快地减少，
∴x=30．
答：每件应降价30元．
【点评】考察了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到等式两边的平衡条件，列出方程，解答即可．
〔2021秋•高邮市月考〕如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开场沿着边AB向点B以2cm/s的速度移动〔不与点B重合〕，动点Q从点B开场沿着边BC向点C以4cm/s的速度移动〔不与点C重合〕．假设P、Q两点同时移动t〔s〕；
〔1〕当移动几秒时，△BPQ的面积为32cm2．
〔2〕设四边形APQC的面积为S〔cm2〕，当移动几秒时，四边形APQC的面积为108cm2？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】〔1〕找出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为32cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
〔2〕用△ABC的面积减去△BPQ的面积即可得出S，令其等于108即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：〔1〕运动时间为t秒时〔0≤t＜6〕，PB=AB﹣2t=12﹣2t，BQ=4t，
∴S△BPQ=PB•BQ=24t﹣4t2=32，
解得：t1=2，t2=4．
答：当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2．
〔2〕S=S△ABC﹣S△BPQ=AB•BC﹣〔24t﹣4t2〕=4t2﹣24t+144=108，
解得：t=3．
答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2．
【点评】此题考察了一元二次方程的应用以及三角形的面积，根据三角形的面积公式找出关于t的一元二次方程是解题的关键．
某人将2000元按一年期存入银行，到期后支取1000元，剩下1000元连同利息又全部按一年定期存入，假设存款利率不变，到期后可得本息共1320元，求这种存款方式的利率．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设这种存款方式的利率为x，根据利息=本金×〔1+利率〕即可得出关于〔1+x〕的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这种存款方式的利率为x，
根据题意得：〔1+x〕[2000〔1+x〕﹣1000]=1320，
整理得：100〔1+x〕2﹣50〔1+x〕﹣66=0，
解得：1++x=﹣0.6〔舍去〕，
∴x=10%．
答：这种存款方式的利率为10%．
【点评】此题考察了一元二次方程的应用，根据利息=本金×〔1+利率〕列出关于〔1+x〕的一元二次方程是解题的关键．
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