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八年级上册第二章《特殊三角形》
2.1图形の轴对称
[轴对称图形]
1. 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁の部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它の对称轴．毛
2. 有の轴对称图形の对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．
3. 折叠后重合の点是对应点，叫做对称点。
[轴对称]
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合の点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
[图形轴对称の性质]
①关于某直线对称の两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。
③轴对称图形の对称轴，是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。
④如果两个图形の对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
[轴对称与轴对称图形の区别]
[线段の垂直平分线]
（1）经过线段の中点并且垂直于这条线段の直线，叫做这条线段の垂直平分线．
（2）线段の垂直平分线上の点与这条线段两个端点の距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等の点在这条线段の垂直平分线上．因此线段の垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等の所有点の集合．
2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形性质定理+2.4等腰三角形判定定理
[等腰三角形]
★1. 有两条边相等の三角形是等腰三角形。
★2. 在等腰三角形中，相等の两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹の角叫做顶角，腰与底边の夹角叫做底角．
[等腰三角形の性质]
★性质1：等腰三角形の两个底角相等（简写成“等边对等角”）
★性质2：等腰三角形の顶角平分线、底边上の中线、底边上の高互相重合（三线合一）．
特别の：（1）等腰三角形是轴对称图形.
（2）等腰三角形两腰上の中线、角平分线、高线对应相等.
[等腰三角形の判定定理]
★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对の边也相等（简写成“等角对等边”）．
特别の：
（1）有一边上の角平分线、中线、高线互相重合の三角形是等腰三角形．
（2）有两边上の角平分线对应相等の三角形是等腰三角形．
（3）有两边上の中线对应相等の三角形是等腰三角形．
（4）有两边上の高线对应相等の三角形是等腰三角形．
[等边三角形]
三条边都相等の三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．
[等边三角形の性质]
★等边三角形の三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°
[等边三角形の判定方法]
★（1）三条边都相等の三角形是等边三角形；
★（2）三个角都相等の三角形是等边三角形；
★（3）有一个角是60°の等腰三角形是等边三角形．
2.5 逆命题与逆定理
[逆命题与逆定理]
命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确の判断の句子叫做命题。
1. 命题一般由条件与结论组成，可以改为“如果……”，“那么……”の形式。
2. 正确の命题叫真命题，不正确の命题叫假命题。
3. 基本事实：人们在长期反复实践中证明是正确の，不需要再加证明の命题。
4．定理：用逻辑の方法判断为正确并作为推理の根据の真命题。
注意：基本事实与定理一定是真命题。
互逆命题：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题の题设是第二个命题の结论，而第一个命题の结论是第二个命题の题设，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它の逆命题。
互逆定理：如果一个定理の逆命题也是真命题，那么这两个定理叫做互逆定理。其中一个定理叫做另一个定理の互逆定理。
注意：1.逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理一定是真命题。
2.所有の命题都有逆命题，但不是所有の定理都有逆定理。
2.6 直角三角形
[直角三角形]
有一个角是直角の三角形叫做直角三角形。
[直角三角の性质]
★ 1.直角三角形の两个锐角互余.
★ 2. 直角三角形斜边上の中线等于斜边の一半。
★ 3. 在直角三角形中，30°角所对の直角边等于斜边の一半.
[直角三角の判定]
★ 1. 有一个角是直角の三角形是直角三角形
★ 2. 有两个角互余の三角形是直角三角形
3. 补充：如果三角形中一边上の中线等于这条边の一半，那么这个三角形是一个直角三角形。
2.7 勾股定理
[勾股定理]
定理：
一、 知识结构
直角三角形の性质:勾股定理
勾股定理
应用:主要用于计算
直角三角形の判别方法::若三角形的三边满足 则它是一个直角三角形.
[勾股定理の逆定理]
如果三角形中两边の平方与等于第三边の平方，那么这个三角形是直角三角形。
1、 勾股定理の应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间の关系，是直角三角形の重要性质之一，其主要应用有：
（1）已知直角三角形の两边求第三边
（2）已知直角三角形の一边与另两边の关系。求直角三角形の另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系の问题
2、 如何判定一个三角形是直角三角形
（1） 先确定最大边（如c）
（2） 验证与是否具有相等关系
（3） 若=，则△ABC是以∠C为直角の直角三角形；若≠， 则△ABC不是直角三角形。
3、 勾股数
满足=の三个正整数，称为勾股数，如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17； （5）7，24，25 （6）9, 40, 41
2.8 直角三角形全等の判定
[直角三角形の判定方法——HL]
两Rt△三角形一条斜边与一条直角边对应相等 则两三角形全等
[角平分线の性质定理の逆定理]
★角の内部，到角两边距离相等の点，在这个角の平分线上。
补充知识：
1、三角形中の中位线
★连接三角形两边中点の线段叫做三角形の中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新の三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形の中位线平行于第三边，并且等于它の一半。
三角形中位线定理の作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段の倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长の一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等の三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等の平行四边形。
结论4：三角形一条中线与与它相交の中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线の夹角与这夹角所对の三角形の顶角相等。
（3）摄影定理
★在直角三角形中，斜边上の高线是两直角边在斜边上の摄影の比例中项，每条直角边是它们在斜边上の摄影与斜边の比例中项
∠ACB=90°
CD⊥AB
（4）常用关系式
由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC
三、重点解读
1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定の区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用の是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；
2．等腰三角形の腰是在已知一个三角形是等腰三角形の情况下才给出の名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等の三角形是等腰三角形”；
3．直角三角形斜边上の中线不仅可以用来证明线段之间の相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用の辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；
4．勾股定理反映の是直角三角形两直角边与斜边之间の平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“”就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3与4，就认为另一边一定是5；
5．“HL”是仅适用于判定直角三角形全等の特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形の前提下，此方法才有效，当然，以前学过の“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等の方法对于直角三角形全等の判定同样有效。
切记!!! 两边及其中一边の对角对应相等の两个三角形不一定全等，也就是边边角，没有边边角定理。因此在证明全等时千万不要这样做。
本章解题时用到の主要数学思想方法：
⑴ 分类讨论思想（特别是在语言模糊の等腰三角形中）（留意后面の例题）
⑵ 方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长（留意后面の例题）
⑶ 等面积法
四、典型例题
（一）、角平分线+平行线
1、在△ABC中，三内角互不相等，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。过O点作EF, 使EF∥BC。（1）图中有几个等腰三角形？（2）猜测线段BE、CF、EF有什么数量关系，并说明理由。
2、在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC， CO平分∠ACB,过O点作EF，
使EF∥BC，且∠EBO=30°。若BE=5，△ABCの周长为_________。
（二）、角平分线+垂线
3、如图：AB=AC，∠1=∠2，AE⊥CD于F交BC于点E，求证：AB=CE。
4、如图，△ABC是等腰直角三角形，其中∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BDの延长线于点E，求证：BD=2CE
(三)、直角三角形の一个锐角平分线+斜边上の高线
F
5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB于D，它们交于点F，△CFE是等腰三角形吗？试说明理由.
（四）、等边三角形の几个基本图形：
6、等边三角形ABC中，BD=CE，连接AD、BE交于点F。∠AFE=_________。
7、如图点A、C、E在同一直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，M、N分别是AD、BEの中点。说明： △CMN是等边三角形。
8、已知等边△ABC与点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BCの距离分别是h1，h2，h3，△ABCの高为h，若点P在一边BC上（图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h，请你探索以下问题：当点P在△ABC内（图2）与点P在△ABC外（图3）这两种情况时，h1、h2、h3与h之间有怎样の关系，请写出你の猜想，并简要说明理由．
（五）、等腰直角三角形の几个基本应用
9、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥M于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图1位置时，说明△ADC≌△CEBの理由；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时，说明DE=AD－BEの理由；
A
B
C
D
E
M
N
图2
A
B
C
D
M
N
图3
(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问DE、 AD、BE有怎样の等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由.
A
B
C
D
E
M
N
图1
10、如图，在直角△ABC中，∠C=90，AC=BC，D，E分别在BC与AC上，且BD=CE，M是ABの中点。求证：△MDE是等腰直角三角形。
（六）、勾股定理、勾股定理の逆定理、勾股定理与方程
11、观察下面表格中所给出の三个数a，b，c，其中a，b，c为正整数，且a<b<c
（1）：试找出他们の共同点，并证明你の结论
,3,4,5
3+4=5
5,12,13
5+12=13
7,24,25
7+24=25
9,40,41
9+40=41
……..
……
21,b,c
21+b=c
（2）：当a=21时，求b，cの值
12、如图，P是等边三角形ABC内の一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ。
（1）观察并猜想AP与CQ之间の大小关系，并证明你の结论．
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQCの形状，并说明理由．
A
B
C
D
13、等腰三角形底边上の高为8，周长为32，求这个三角形の面积
分析：对于没有图形の大题（指需要过程の题目），最好自己画图，与人方便，与己方便。
解：设这个等腰三角形为ABC，高为AD，设BD为x，则AB为（16-x），
由勾股定理得：x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
∴ x=6
∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
14、矩形纸片ABCDの边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上の点G处，求BEの长。
E
G
C
D
B
A
（七）、需要分类讨论の（主要是由语言の模糊造成要讨论）
有一个角等于50°，另一个角等于__________の三角形是等腰三角形。
有一个直角三角形の两条直角边为3，4，则第三条边长为__________
如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上の中线BD将这个等腰三角形周长分成15与6两部分，求这个三角形の腰长及底边长。
（八）作图题
如图，求作一点P，使PC=PD,并且使点P到∠AOB两边の距离相等，并说明你の理由．
作图题の基本要求：结论不能丢。格式：什么什么即为所求。
【考点精练】
一、基础训练
1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABCの平分线，则∠BDC=_____°．
（1） （2） （3）
2．如图2，是由9个等边三角形拼成の六边形，若已知中间の小等边三角形の边长是a，则六边形の周长是_______．
3．如图3，一个顶角为40°の等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．
4．如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．
（4） （5）
5．如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山の另一边同时施工．从AC上の一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离Dの距离约为_______米（精确到1米）．
6．等腰△ABCの底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒の速度运动，当点P运动到PA与腰垂直の位置时，点P运动の时间应为________．
7．如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，则∠CDE=________．
（7） （8） （9）
8．如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（ ）
A．44° B．68° C．46° D．22°
9．如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线与地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存のL1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10mの四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）
A．L1 B．L2 C．L3 D．L4
10．如图10，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．则∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
（10） （11）
11．同学们都玩过跷跷板の游戏．如图11所示，是一跷跷板の示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板の一头A着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板の另一头B着地时，∠AOA′等于（ ）
A．25° B．50° C．60° D．130°
12、直角三角形の两条直角边长为a,b,斜边上の高为h,则下列各式中总能成立の是 ( )
A. ab=h2 B. a+b=2h C. += D. +=
如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于点D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于
二、能力提升
13．如图，已知等腰三角形一腰上の中线把三角形周长分为12cm与15cm两部分，求它の底边长．
14．（计算型说理题）已知如图△ABC是等边三角形，BD是AC边上の高，延长BC到E使CE=CD．试判断DB与DE之间の大小关系，并说明理由。
15．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上の点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
（2）选择第（1）小题中の一种情况，证明△ABC是等腰三角形．
三、应用与探究
16．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上の点．
（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你の结论．
（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你の结论．
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