相似三角形典型模型及例题.doc

1：相似三角形模型
一：相似三角形判定的基本模型
（一）A字型、反A字型（斜A字型）

（平行） （不平行）
（二）8字型、反8字型
（蝴蝶型）
（平行） （不平行）
（三）母子型

（四）一线三等角型：
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个和等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别和等腰三角形的两边相交如图所示：

（五）一线三直角型：
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：

当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
（六）双垂型：

二：相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A字型旋转得到
8字型拓展

G
A
B
C
E
F

共享性

一线三等角的变形

一线三直角的变形
2：相似三角形典型例题
（1）母子型相似三角形
例1：如图，梯形中，∥，对角线、交于点O，∥交延长线于E．
求证：．

例2：已知：如图，△中，点E在中线上, ．
求证：（1）； （2）．
A
C
D
E
B

例3：已知：如图，等腰△中，＝，⊥于D，∥，分别交、于E、F．
求证：．

1、如图，已知为△的角平分线，为的垂直平分线．求证：．

2、已知：是△中∠A的平分线，∠90°，是的垂直平分线交于M，、的延长线交于一点N。求证：(1)△∽△; (2)·

3、已知：如图，在△中，∠90°，⊥于D，E是上一点，⊥于F。
求证：··

4.在中，，高和交于H，，垂足为F，延长到G，使，M是的中点。 求证：

5 已知：如图，在△中，∠90°，2，4，P是斜边上的一个动点，⊥，交边于点D（点D和点A、C都不重合），E是射线上一点，且∠∠A．设A、P两点的距离为x，△的面积为y．（1）求证：2；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△和△相似时，求△的面积．
A
C
B
P
D
E

（2）双垂型
1、如图，在△中，∠60°，、分别是、上的高
求证：（1）△∽△；（2）△∽△；(3)2

2、如图，已知锐角△，、分别是、边上的高，△和△的面积分别是27和3，6，求：点B到直线的距离。

（3）共享型相似三角形
1、△是等边三角形，在一条直线上,∠120°,已知1，3，求等边三角形的边长.

2、已知：如图，在△中，，∠45°．
求证：（1）△∽△； （2）．

C
A
D
B
E
F
(4)一线三等角型相似三角形
例1：如图，等边△中，边长为6，D是上动点，∠60°
（1）求证：△∽△
（2）当1，3时，求

例2：（1）在中，，，点、分别在射线、上（点不和点、点重合），且保持.
①若点在线段上（如图），且，求线段的长；
②若，，求和之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
A
B
C
A
B
C
P
Q

（2） 正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、上（点不和点、点重合），且保持.当时，求出线段的长.
A
B
C
D
A
B
C
D

例3：已知在梯形中，∥，＜，且＝5，＝＝2．
（1）如图8，P为上的一点，满足∠＝∠A．
①求证；△∽△
②求的长．
（2）如果点P在边上移动（点P和点A、D不重合），且满足∠＝∠A，交直线于点E，同时交直线于点Q，那么
①当点Q在的延长线上时，设＝x，＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当＝1时，写出的长．
C
D
A
B
P

例4：如图，在梯形中，∥，，．点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结．
（1）求证：△∽△；
（2）若△是以为腰的等腰三角形，求的长；
（3）若，求的长．

1、如图，在△中，，，是边上的一个动点，点在边上，且．
(1) 求证：△∽△；
(2) 如果，，求和的函数解析式，并写出自变量的定义域；
(3) 当点是的中点时，试说明△是什么三角形，并说明理由．
A
B
C
D
E

2、如图，已知在△中， 6，5，D是 上一点，2，E是 上一动点，联结，并作，射线交线段于F．
（1）求证：△∽△；
（2）当F是线段中点时，求线段的长；
（3）联结，如果△和△相似，求的长．

3、已知在梯形中，∥，＜，且 =6，4，点E是的中点．
（1）如图，P为上的一点，且2．求证：△∽△；
（2）如果点P在边上移动（点P和点B、C不重合），且满足∠∠C，交直线于点F，同时交直线于点M，那么
①当点F在线段的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当时，求的长．
E

D

C

B

A

P

4、如图，已知边长为的等边，点在边上，，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，
（1）写出图中和相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设，求和之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）若，试求的面积．

(5)一线三直角型相似三角形
例1、已知矩形中，2，3，点P是上的一个动点，且和点不重合，过点P作，交边于点E,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

例2、在中，是上的一点，且，点P是上的一个动点，交线段于点Q，（不和点重合），设，试求关于x的函数关系，并写出定义域。

1.在直角中，，点D是的中点，点E是边上的动点，交射线于点F
（1）、求和的长
（2）、当时，求的长。
（3）、连结,当和相似时，求的长。

2.在直角三角形中，是边上的一点，E是在边上的一个动点，（和不重合），和射线相交于点F.
(1)、当点D是边的中点时，求证：
(2)、当，求的值
（3）、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域

3.如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为．
（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果以、、为顶点的三角形和相似，求的面积.

4.如图,在梯形中，, ，是腰上一个动点(不含点、),作交于点.(图1)
(1)求的长和梯形的面积；
(2)当时,求的长；(图2)
(3)设,试求关于的函数解析式,并写出定义域.
Q
P
D
C
B
A
Q
P
D
C
B
A