2023-2024学年广东省广州中学少年部七年级（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州中学少年部七年级（下）期中数学试卷

第 25 页（共 25 页）

一、选择题（本大题共 10 小题，满分 32 分）
8
3 -27
1．（3 分）在实数 7 ，0.57577577757777、 、
11


、 2p 、0、| -3|中无理数的个数是( )

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
2．（3 分）如图，在海上有 A 、B 两座小岛，在 A 岛处看 B 岛在北偏东50° 方向上，如果在 B 岛处看 A 岛，
A 岛在( )

A．北偏东50° 方向上

B．东偏北 40° 方向上
C．南偏西50° 方向上
3．（3 分）下列说法中，正确的是(

)
D．北偏南 40° 方向上

81
①8 的立方根是 2；②
的平方根是±3 ；③4 的算术平方根是±2 ；④立方根等于-1 的实数是-1 ．

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
4．（3 分）如图， E 是直线CA 上一点， ÐFEA = 40° ，射线 EB 平分ÐCEF ， GE ^ EF ．则ÐGEB = ( )

A．10° B． 20° C． 30° D． 40°
5．（3 分）下列说法中：
①若 mn = 0 ，则点 A(m, n) 在原点处；
②已知点 A 的坐标是(a,b) ，若 a + b < 0 、 ab > 0 ，则点 A 在第三象限；
③已知点 A(m, n) 与点 B(-m, n) ， m ， n 均不为 0，则直线 AB 平行 x 轴；
④已知点 A(2, -3) ， AB / / y 轴，且 AB = 5 ，则点 B 的坐标一定为(2, 2) ； 其中正确的有( )
A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

6．（3 分）如图，把DABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCED 的外部时，则ÐA 与Ð1 和Ð2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )

A． 2ÐA = Ð1 - Ð2
B． 3ÐA = 2(Ð1 - Ð2)
C． 3ÐA = 2Ð1 - Ð2
D． ÐA = Ð1 - Ð2

7．（3 分）下列说法中不正确的个数为( )
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A.2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
8．（3 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，一个质点从 A(a1 ，a2 ) 出发沿图中路线依次经过 B(a3 ，a4 ) ，C(a5 ，
a6 ) ， D(a7 ， a8 ) ， ，按此规律一直运动下去，则 a2019 + a2020 + a2021 = ( )

A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
9．（4 分）（多选）下列说法不正确的是( ) A．点 P(3, -2) 到 x 轴的距离是 3
B. 点 P(- | a | -1, a2 + 1) 一定在第二象限
C. 若点 P(x, y) 在第一、第三象限角平分线上，则 x = y
D. 若 x2 = 64 ，则 x 的立方根是 2

10．（4 分）（多选）如图，在直角三角形 ABC 中，ÐBAC = 90° ，将三角形 ABC 沿直线 BC 向右平移2cm 得到三角形 DEF ，连接 AE ，有以下结论：① AD / / BE ；② ÐB = ÐAED ；③ DE ^ AC ；④ BE = AD ，其中正确的有( )
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（本大题共 6 小题，满分 18 分）
11．（3 分）如图，正方形卡片 A 类，B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为(a + 2b) ，宽为(3a + b)
的大长方形，则需要C 类卡片 张．

12．（3 分）用一个 a 的值说明命题“若 a2 > 1 ，则 a > 1”是假命题，这个值可以是 a = ．
13．（3 分）如图，A ，B ，C 在数轴上对应的点分别为 a ，-1 ， 2 ，其中 a < -1 ，且 AB = BC ，则| a |= ．

( y - 3)2 - 1
14．（3 分）已知实数 a 的整数部分是 x ，小数部分是 y ，且 x ，y 使(1 x - 3)2 与
2
互为相反数，

则实数 a = ．
15．（3 分）在同一平面内，ÐA 与ÐB 的一组边平行，另一组边垂直，且ÐA 比ÐB 的 3 倍少10° ，则

ÐB = ．

16．（3 分）如图，将三个相同的三角尺60° 角的顶点重合放置，如果Ð1 = 22° ， Ð2 = 26° ，那么Ð3 的度数是 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 70 分）
3 -8
1
4
3
(-2)2
17．（6 分）计算：

0.04
（1）
+ - ； （2） (-1)2 - 3 64 + |
- 2 | + ．

18．（8 分）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：

4
0.4
① - 11 ，② 3 2 ，③1 - ，④0，⑤ ，⑥
12
依次多 1 个0) ，⑨ 0.2& 3& ，⑩3.14．
（1） 整数集合：

（2） 分数集合：

（3） 无理数集合：
，⑦ - p ，⑧ 0.13030030003 ×××（相邻的两个 3 之间
3 -125
4

19．（8 分）推理填空：如图，直线 AB / /CD ，并且被直线 EF 所截，交 AB 和CD 于点 M ，N ，MP 平分ÐAME ，
NQ 平分ÐCNE ，试证明 MP / / NQ ．（请在横线上填上推理内容或依据）
证明：D AB / /CD ，
\ÐAME = ÐCNE( ) ，
D MP 平分ÐAME ， NQ 平分ÐCNE ．
\ Ð1 = 1 ÐAME ， Ð2 = ( ) ，
2
DÐAME = ÐCNE ，
\ ( ) ，
\ MP / / NQ( ) ．

20．（8 分）如图，每个小正方形的边长为 1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）:
（1） 在方格纸内将三角形 ABC 经过一次平移后得到三角形 A¢B¢C¢ ，图中标出了点 B 的对应点 B¢ ，画出三角形 A¢B¢C¢ ；
（2） 过点 A 画线段 AD 使 AD / / BC 且 AD = BC ；
（3） 图中 AD 与C¢B¢ 的关系是 ；
（4） 点 E 在线段 AD 上， CE = 4 ，点 H 是直线CE 上一动点，线段 BH 的最小值为 ．

21．（8 分）先阅读然后解答提出的问题：

设 a 、b 是有理数，且满足 a +
2b = 3 - 2
，求ba 的值．

2
2
2
解：由题意得(a - 3) + (b + 2) = 0 ，因为 a 、b 都是有理数，所以 a - 3 ，b + 2 也是有理数，由于 是无

5
理数，所以 a - 3 = 0 ， b + 2 = 0 ，所以 a = 3 ， b = -2 ，所以ba = (-2)3 = -8 ．

问题：设 x 、 y 都是有理数，且满足 x2 - 2 y +
5 y = 10 + 3
，求 x + y 的值．

22．（8 分）已知点 A(3a + 2, 2a - 4) ，试分别根据下列条件，求出点 A 的坐标．
（1）经过点 A(3a + 2, 2a - 4) ， B(3, 4) 的直线，与 x 轴平行；
（2）点 A 到两坐标轴的距离相等．

23 ．（ 8 分） 如图在平面直角坐标系中， 点 A ， B 的坐标分别为 A(a, 0) ， B(b, 0) ．且 a ， b 满足

| a + 3 | +(a - 2b + 7)2 = 0 ，现同时将点 A ，B 分别向左平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，分别得到点 A 、
B 的对应点C 、 D ，连接 AC ， BD ， CA 的延长线交 y 轴于点 K ．
（1） 点 P 是线段CK 上的一个动点，点Q 是线段CD 的中点，连接 PQ ， PO ，当点 P 在线段CK 上移动时（不与 A ， C 重合），请找出ÐPQD ， ÐOPQ ， ÐPOB 的数量关系，并证明你的结论．
（2） 连接 AD ，在坐标轴上是否存在点 M ，使DMAD 的面积与DACD 的面积相等？若存在，直接写出点 M
的坐标；若不存在，试说明理由．

24．（8 分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知 AB / /CD ，BF 为ÐABE
的平分线， DF 为ÐCDE 的平分线， BF 和 DF 相交于点 F ． 探究问题
（1） 在图 1 中， ÐBFD ， ÐABF ， ÐCDF 之间的数量的关系为 ．
ÐBFD ， ÐABE ， ÐCDE 之间的数量关系为： ． 知识迁移
（2） 如图 2，若ÐE + 8ÐM = 360° ， ÐABM = 1 ÐEBF ，试猜想ÐCDM 和ÐMDF 间的数量关系，并加以
4
证明．

25．（8 分）如图 1 在平面直角坐标系中，大正方形OABC 的边长为 m 厘米，小正方形ODEF 的边长为 n 厘
n - 2
米，且| m - 4| + = 0 ．

（1） 求点 B 、点 D 的坐标．
（2） 起始状态如图 1 所示，将大正方形固定不动，小正方形以 1 厘米/ 秒的速度沿 x 轴向右平移，如图 2． 设平移的时间为t 秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为 S 平方厘米．
①当t = 1.5 时， S = 平方厘米；
②在 2„t„4 这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为 平方厘米；
③在小正方形平移过程中，若 S = 2 ，则小正方形平移的时间t 为 秒．
（3） 将大正方形固定不动，小正方形从图 1 中起始状态沿 x 轴向右平移，在平移过程中，连接 AD ，过 D 点作 DM ^ AD 交直线 BC 于 M ，ÐDAx 的角平分线所在直线和ÐCMD 的角平分线所在直线交于 N （不考虑 N 点与 A 点重合的情形），求ÐANM 的大小并说明理由．

2023-2024 学年广东省广州中学少年部七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，满分 32 分）

8
3 -27
1．（3 分）在实数 7 ，0.57577577757777、 、
11

、 2p 、0、| -3|中无理数的个数是( )

8
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个

8
【解答】解： 7 ，0.57577577757777、
11

、 3 -27 = -3 、2p 、0、| -3 |= 3 中，无理数有：

， 2p ，共 2

个．
故选： A ．
2．（3 分）如图，在海上有 A 、B 两座小岛，在 A 岛处看 B 岛在北偏东50° 方向上，如果在 B 岛处看 A 岛，
A 岛在( )

A. 北偏东50° 方向上 B．东偏北 40° 方向上
C．南偏西50° 方向上 D．北偏南 40° 方向上
【解答】解：如图：

在海上有 A 、B 两座小岛，在 A 岛处看 B 岛在北偏东50° 方向上，如果在 B 岛处看 A 岛，A 岛在南偏西50°
方向上． 故选： C ．

3．（3 分）下列说法中，正确的是( )

81
①8 的立方根是 2；②
的平方根是±3 ；③4 的算术平方根是±2 ；④立方根等于-1 的实数是-1 ．

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【解答】解：D8 的立方根是 2，
\①的结论正确；
81
D = 9 ，9 的平方根是±3 ，

\②的结论正确；
D 4 的算术平方根是 2，
\③的结论不正确；
D立方根等于-1 的实数是-1 ，
\④的结论正确．
综上，结论正确的有：①②④， 故选： D ．
4．（3 分）如图， E 是直线 CA 上一点， ÐFEA = 40° ，射线 EB 平分ÐCEF ， GE ^ EF ．则ÐGEB = (
)

A．10° B． 20° C． 30° D． 40°
【解答】解：DÐFEA = 40° ， GE ^ EF ，
\ÐCEF = 180° - ÐFEA = 180° - 40° = 140° ， ÐCEG = 180° - ÐAEF - ÐGEF = 180° - 40° - 90° = 50° ，
D射线 EB 平分ÐCEF ，
\ ÐCEB = 1 ÐCEF = 1 ´140°= 70° ，
2 2
\ÐGEB = ÐCEB - ÐCEG = 70° - 50° = 20° ， 故选： B ．
5．（3 分）下列说法中：
①若 mn = 0 ，则点 A(m, n) 在原点处；
②已知点 A 的坐标是(a,b) ，若 a + b < 0 、 ab > 0 ，则点 A 在第三象限；
③已知点 A(m, n) 与点 B(-m, n) ， m ， n 均不为 0，则直线 AB 平行 x 轴；
④已知点 A(2, -3) ， AB / / y 轴，且 AB = 5 ，则点 B 的坐标一定为(2, 2) ； 其中正确的有( )
A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】解：若 mn = 0 ，则 m = 0 或 n = 0 ，所以点 A(m, n) 在坐标轴上，所以①错误；
因为 a + b < 0 、 ab > 0 ，所以 a 、b 同号， a < 0 ， b < 0 ，则点 A 一定在第三象限，所以②正确；
已知点 A(m, n) 与点 B(-m, n) ， m ， n 均不为 0，即点 A 与点 B 的纵坐标相等，则直线 AB 平行 x 轴，所以
③正确；
已知点 A(2, -3) ， AB / / y 轴，且 AB = 5 ，则 B 点的坐标为(2, 2) 或(2, -8) ，所以④错误． 故选： B ．

6．（3 分）如图，把DABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCED 的外部时，则ÐA 与Ð1 和Ð2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )

A． 2ÐA = Ð1 - Ð2
B． 3ÐA = 2(Ð1 - Ð2)
C． 3ÐA = 2Ð1 - Ð2
D． ÐA = Ð1 - Ð2

【解答】解：如图，由翻折的性质得， Ð3 = ÐA¢DE ， ÐAED = ÐA¢ED ，
\Ð3 = 1 (180° - Ð1) ，
2
在DADE 中， ÐAED = 180° - Ð3 - ÐA ，
ÐCED = Ð3 + ÐA ，
\ÐA¢ED = ÐCED + Ð2 = Ð3 + ÐA + Ð2 ，
\180° - Ð3 - ÐA = Ð3 + ÐA + Ð2 ， 整理得， 2Ð3 + 2ÐA + Ð2 = 180° ，
\ 2 ´ 1 (180° - Ð1) + 2ÐA + Ð2 = 180° ，
2
\ 2ÐA = Ð1 - Ð2 ． 故选： A ．

7．（3 分）下列说法中不正确的个数为( )
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A.2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【解答】解：因为在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确； 因为过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；
⑤过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确． 所以不正确的有①②④⑤四个．
故选： C ．
8．（3 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，一个质点从 A(a1 ，a2 ) 出发沿图中路线依次经过 B(a3 ，a4 ) ，C(a5 ，
a6 ) ， D(a7 ， a8 ) ， ，按此规律一直运动下去，则 a2019 + a2020 + a2021 = ( )

A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【解答】解：由图可知 A(1,1) ， B(-1, 2) ， C(2, 3) ， D(-2, 4) ， E(3, 5) ， F (-3, 6) ， 即 a1 = 1 ， a2 = 1， a3 = -1 ， a4 = 2 ， a5 = 2 ， a6 = 3 ， a7 = -2 ， a8 = 4 ， ，
由此可发现规律，所有数列偶数个都是从 1 开始逐渐递增的，且都等于所在的个数的一半，
\ a2020 = 1010 ，
四个数为一组，每组的第一个数等于所在的组数，每组的第三个数等于所在的组数的相反数
D 2020 ¸ 4 = 505 ，
\ a2017 = 505 ，
\ a2019 = -a2017 = -505 ，
\ a2021 = 506 ，
\ a2019 + a2020 + a2021 = -505 + 1010 + 506 = 1011． 故选： C ．
9．（4 分）（多选）下列说法不正确的是( )
A. 点 P(3, -2) 到 x 轴的距离是 3
B. 点 P(- | a | -1, a2 + 1) 一定在第二象限
C. 若点 P(x, y) 在第一、第三象限角平分线上，则 x = y
D. 若 x2 = 64 ，则 x 的立方根是 2
【解答】解：点 P(3, -2) 到 x 轴的距离是| -2 |= 2 ，该选项错误，则 A 符合题意；
点 P(- | a | -1, a2 + 1) 中- | a | -1 < 0 ， a2 + 1 > 0 ，那么点 P 一定在第二象限，正确，则 B 不符合题意；

若点 P(x, y) 在第一、第三象限角平分线上，那么 x = y ，正确，则C 不符合题意；
若 x2 = 64 ，则 x = ±8 ，那么 x 的立方根是-2 或 2，该选项错误，则 D 符合题意； 故选： AD ．
10．（4 分）（多选）如图，在直角三角形 ABC 中，ÐBAC = 90° ，将三角形 ABC 沿直线 BC 向右平移2cm 得到三角形 DEF ，连接 AE ，有以下结论：① AD / / BE ；② ÐB = ÐAED ；③ DE ^ AC ；④ BE = AD ，其中正确的有( )
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：D三角形 ABC 沿直线 BC 向右平移2cm 得到三角形 DEF ，
\ AD / / BE ， AB / / DE ， AC / / DF ， BE = AD ， ÐEDF = ÐBAC ，故①④正确；
\ÐB = ÐDEF ，
\ÐADE = ÐDEF ，
\ÐB = ÐADE ，故②正确；
DÐBAC = 90° ，
\ÐEDF = ÐBAC = 90° ，
\ ED ^ DF ，
D AC / / DF ，
\ DE ^ AC ，故③正确． 故选： ABCD ．
二、填空题（本大题共 6 小题，满分 18 分）
11．（3 分）如图，正方形卡片 A 类，B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为(a + 2b) ，宽为(3a + b)
的大长方形，则需要C 类卡片 7 张．

【解答】解： (a + 2b)(3a + b) = 3a2 + 7ab + 2b2 ． 则需要C 类卡片 7 张．
故答案为：7．
12．（3 分）用一个 a 的值说明命题“若 a2 > 1 ，则 a > 1”是假命题，这个值可以是 a = -2（答案不唯一） ．
【解答】解：当 a = -2 时， a2 = 4 > 1 ，而-2 < 1 ，
\命题“若 a2 > 1 ，则 a > 1”是假命题，故答案为： -2 （答案不唯一）．

2
13．（3 分）如图， A ， B ， C 在数轴上对应的点分别为 a ， -1 ，
2
2 + ．

2
【解答】解：D A ， B ， C 在数轴上对应的点分别为 a ， -1 ，
2
\-1 - a = - (-1) ，
2
\-1 - a = + 1 ，
2
\ a = -2 - ，
，其中 a < -1 ，且 AB = BC ，则| a |=

，其中 a < -1 ，且 AB = BC ，

2
2
\| a |=| -2 - |= 2 + ，

2
故答案为： 2 + ．
( y - 3)2 - 1
14．（3 分）已知实数 a 的整数部分是 x ，小数部分是 y ，且 x ，y 使(1 x - 3)2 与
2


互为相反数，

3
则实数 a = + 5 ．

( y - 3)2 - 1
【解答】解：根据题意得： (1 x - 3)2 +
2

= 0 ，

3
\ 1 x - 3 = 0 ， y - = ±1 ，
2
3
3
3
3
3
解得： x = 6 ， y = - 1( y = + 1舍去），则实数 a = 6 + - 1 = + 5 ．

故答案为：
+ 5 ．

15．（3 分）在同一平面内， ÐA 与ÐB 的一组边平行，另一组边垂直，且ÐA 比ÐB 的 3 倍少10° ，则ÐB =
50° 或 25° ．
【解答】解：如图1:
D AE / / BF ，
\ÐA + Ð1 = 180° ，
\Ð1 = 180° - ÐA ，
DÐA = 3ÐB - 10° ，
\Ð1 = 180° - (3ÐB - 10°) = 190° - 3ÐB ，
D AC ^ BC ，

\Ð1 + ÐB = 90° ，
\190° - 3ÐB + ÐB = 90° ，
\ÐB = 50° ； 如图2:

D AE / / BF ，
\ÐA = Ð1，
DÐA = 3ÐB - 10° ，
\Ð1 = 3ÐB - 10° ，
D AC ^ BC ，
\Ð1 + ÐB = 90° ，
\3ÐB - 10° + ÐB = 90° ，
\ÐB = 25° ；
综上， ÐB 的度数为50° 或 25°
故答案为： 50° 或 25° ．
16．（3 分）如图，将三个相同的三角尺60° 角的顶点重合放置，如果Ð1 = 22° ， Ð2 = 26° ，那么Ð3 的度数是 12° ．

【解答】解：如图，

DÐ1 + Ð4 + Ð2 = Ð4 + Ð2 + Ð5 = 60° ，
\Ð5 = Ð1 ，
DÐ2 + Ð5 + Ð3 = 60° ，
\Ð3 = 60° - Ð1 - Ð2 = 12° ， 故答案为：12° ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 70 分）
3 -8
1
4
3
(-2)2
17．（6 分）计算：

0.04
（1）
+ - ； （2） (-1)2 - 3 64 + |
- 2 | + ．

0.04
3 -8
1
4
【解答】解：（1） + -

= 0.2 + (-2) - 1
2

= -2.3 ；
3
（2） (-1)2 - 3 64 + |


- 2 | +

(-2)2
3
= 1 - 4 + 2 - + 2
3
= 1 - ．
18．（8 分）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：

4
0.4
① - 11 ，② 3 2 ，③1 - ，④0，⑤ ，⑥
12
依次多 1 个0) ，⑨ 0.2& 3& ，⑩3.14．
（1） 整数集合：{}:
（2） 分数集合：{}，
（3） 无理数集合：{}．
，⑦ - p ，⑧ 0.13030030003 ×××（相邻的两个 3 之间
3 -125
4

3 2
【解答】解：（1）① - 11 是分数，②
12

是无理数，③1 - = 1 - 2 = -1 是整数，④0 是整数，⑤ 是

4
0.4
无理数，⑥ 3 -125 = -5 是整数，⑦ - p 是无理数，⑧ 0.13030030003 ×× ×（相邻的两个 3 之间依次多 1 个0) 是
4
无理数，⑨ 0.2& 3& 是分数，⑩3.14 是分数．整数集合：{ ③④⑥}:
（2）分数集合：{ ①⑨⑩}，
（3）无理数集合：{ ②⑤⑦⑧}．

19．（8 分）推理填空：如图，直线 AB / /CD ，并且被直线 EF 所截，交 AB 和CD 于点 M ，N ，MP 平分ÐAME ，
NQ 平分ÐCNE ，试证明 MP / / NQ ．（请在横线上填上推理内容或依据）
证明：D AB / /CD ，
\ÐAME = ÐCNE( 两直线平行，同位角相等 ) ，
D MP 平分ÐAME ， NQ 平分ÐCNE ．
\ Ð1 = 1 ÐAME ， Ð2 = ( ) ，
2
DÐAME = ÐCNE ，
\ ( ) ，
\ MP / / NQ( ) ．

【解答】解：D AB / /CD ，
\ÐAME = ÐCNE （两直线平行，同位角相等），
D MP 平分ÐAME ， NQ 平分ÐCNE ，
\ Ð1 = 1 ÐAME ， Ð2 = 1 ÐCNE （角平分线的定义），
2 2
DÐAME = ÐCNE ，
\Ð1 = Ð2 （等量代换），
\ MP / / NQ （同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等； 1 ÐCNE ；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行．
2

20．（8 分）如图，每个小正方形的边长为 1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）:
（1） 在方格纸内将三角形 ABC 经过一次平移后得到三角形 A¢B¢C¢ ，图中标出了点 B 的对应点 B¢ ，画出三角形 A¢B¢C¢ ；
（2） 过点 A 画线段 AD 使 AD / / BC 且 AD = BC ；
（3） 图中 AD 与C¢B¢ 的关系是 AD / / B¢C¢ ， AD = B¢C¢ ；
（4） 点 E 在线段 AD 上， CE = 4 ，点 H 是直线CE 上一动点，线段 BH 的最小值为 ．

【解答】解：（1）如图，△ A¢B¢C¢ 即为所求；
（2） 如图，线段 AD 即为所求；
（3） 由平移变换的性质可知 AD / / B¢C¢ ， AD = B¢C¢ ． 故答案为： AD / / B¢C¢ ， AD = B¢C¢ ．

（4） 当 BH ^ CE 时， BH 的值最小．

D SDCBE

= SDACB
= 1 ´ 5 ´ 5 - 1 ´1´ 4 - 1´1 - 1 ´1´ 4 = 1 × CE × BH ，
2 2 2 2

\ BH = 15 ，
4
\ BH 的最小值为15 ．
4
故答案为： 15 ．
4

2
21．（8 分）先阅读然后解答提出的问题：

设 a 、b 是有理数，且满足 a +
2b = 3 - 2
，求ba 的值．

2
2
解：由题意得(a - 3) + (b + 2) = 0 ，因为 a 、b 都是有理数，所以 a - 3 ，b + 2 也是有理数，由于 是无

5
理数，所以 a - 3 = 0 ， b + 2 = 0 ，所以 a = 3 ， b = -2 ，所以ba = (-2)3 = -8 ．

问题：设 x 、 y 都是有理数，且满足 x2 - 2 y +
5 y = 10 + 3
，求 x + y 的值．

【解答】解：移项得： (x2 - 2 y - 10) + 5( y - 3) = 0 ，

5
D 是无理数，
\ y - 3 = 0 ， x2 - 2 y - 10 = 0 ， 解得： y = 3 ， x = ±4 ，
故 x + y = 7 或-1 ．
22．（8 分）已知点 A(3a + 2, 2a - 4) ，试分别根据下列条件，求出点 A 的坐标．
（1）经过点 A(3a + 2, 2a - 4) ， B(3, 4) 的直线，与 x 轴平行；
（2）点 A 到两坐标轴的距离相等．
【解答】解：（1）D经过点 A(3a + 2, 2a - 4) ， B(3, 4) 的直线，与 x 轴平行，
\点 A 和点 B 的纵坐标相同，
\ 2a - 4 = 4 ，
\ a = 4 ，
\3a + 2 = 3 ´ 4 + 2 = 14 ，
\点 A 的坐标为(14, 4) ；
（2）D点 A(3a + 2, 2a - 4) 到两坐标轴的距离相等，
\| 3a + 2 |=| 2a - 4| ，
\3a + 2 = 2a - 4 或3a + 2 + 2a - 4 = 0 ， 解得 a = -6 或 a = 0.4 ，
当 a = -6 时， 3a + 2 = 3 ´ (-6) + 2 = -16 ， 2a - 4 = 2 ´ (-6) - 4 = -16
当 a = 0.4 时， 3a + 2 = 3 ´ 0.4 + 2 = 3.2 ， 2a - 4 = -3.2 ． 故点 A 的坐标为(-16, -16) 或(3.2, -3.2) ．

23 ．（ 8 分） 如图在平面直角坐标系中， 点 A ， B 的坐标分别为 A(a, 0) ， B(b, 0) ．且 a ， b 满足

| a + 3 | +(a - 2b + 7)2 = 0 ，现同时将点 A ，B 分别向左平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，分别得到点 A 、
B 的对应点C 、 D ，连接 AC ， BD ， CA 的延长线交 y 轴于点 K ．
（1） 点 P 是线段CK 上的一个动点，点Q 是线段CD 的中点，连接 PQ ， PO ，当点 P 在线段CK 上移动时（不与 A ， C 重合），请找出ÐPQD ， ÐOPQ ， ÐPOB 的数量关系，并证明你的结论．
（2） 连接 AD ，在坐标轴上是否存在点 M ，使DMAD 的面积与DACD 的面积相等？若存在，直接写出点 M
的坐标；若不存在，试说明理由．

【解答】解：（1） ÐPQD + ÐOPQ + ÐPOB = 360° ，证明如下：证明：D| a + 3 | +(a - 2b + 7)2 = 0
\ a + 3 = 0 ， a - 2b + 7 = 0 ，解得 a = -3 ， b = 2 ，
\ A(-3, 0) ， B(2, 0) ，
D将点 A 、 B 分别向左平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，得到对应点C 、 D ，
\C(-5, 2) ， D(0, 2) ，
过点 P 作 PE / / AB ，由平移的性质可得 AB / /CD ，

\ AB / / PE / /CD ，
\ÐPQD + ÐEPQ = 180° ， ÐOPE + ÐPOB = 180° ，
\ÐPQD + ÐEPQ + ÐOPE + ÐPOB = 360° ， 即ÐPQD + ÐOPQ + ÐPOB = 360° ．

（2）存在， M 点坐标为(-8, 0) ， (2, 0) ， (0, 16) ， (0, - 4) ．理由如下： DACD 的面积为 1 ´ 5 ´ 2 = 5 ，
3 3 2
① M 在 x 轴上，根据DMAD 的高与DACD 相等的高，
\ AM = CD = 5 ，
\点 M 坐标为(-8, 0) ， (2, 0) ，
② M 在 y 轴上， DMAD 的高为 AO = 3 ， DMAD 的面积为 5，

即 SDMAD

= 1 AO ´ MD = 5 2

\ MD = 10
3
又D D(0, 2) ，
\点 M 坐标为(0, 16) ， (0, - 4) ．
3 3
故存在符合条件的 M 点坐标为(-8, 0) ， (2, 0) ， (0, 16) ， (0, - 4) ．
3 3
24．（8 分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知 AB / /CD ，BF 为ÐABE
的平分线， DF 为ÐCDE 的平分线， BF 和 DF 相交于点 F ． 探究问题
（1） 在图 1 中， ÐBFD ， ÐABF ， ÐCDF 之间的数量的关系为 ÐBFD = ÐABF + ÐCDF ．
ÐBFD ， ÐABE ， ÐCDE 之间的数量关系为： ． 知识迁移
（2） 如图 2，若ÐE + 8ÐM = 360° ， ÐABM = 1 ÐEBF ，试猜想ÐCDM 和ÐMDF 间的数量关系，并加以
4
证明．

【解答】解：（1）如图所示，过点 F 作 FG / / AB ，

D AB / /CD ，
\ AB / / FG / /CD ，
\ÐABF = ÐBFG ， ÐCDF = ÐDFG ，
DÐBFG + ÐDFG = ÐBFD ，
\ÐBFD = ÐABF + ÐCDF ；
由上述证明可知， ÐBFD = ÐABF + ÐCDF ，
D BF 为ÐABE 的平分线， DF 为ÐCDE 的平分线，
\ ÐABF = ÐFBE = 1 ÐABE ， ÐCDF = ÐFDE = 1 ÐCDE ，
2 2
\ ÐBFD = 1 ÐABE + 1 ÐCDE ，
2 2
\ÐABE + ÐCDE = 2ÐBFD ；
故答案为： ÐBFD = ÐABF + ÐCDF ； ÐABE + ÐCDE = 2ÐBFD ．
（2） ÐMDF = 3ÐCDM ，理由如下：
如图所示，过点 E 作 EQ / / AB ，过点 M 作 MP / / AB ，

设ÐCDM = x ， ÐABM = y ，
DCD / / AB ，
\