2023-2024学年广东省广州市荔湾区七年级（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市荔湾区七年级（下）期中数学试卷
3 2
一、选择题：10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

第 19 页（共 19 页）

1．（3 分）下列 6 个数中： -3 ， 5
19

， -p ，
， 0.123& 7& ， -0.5050050005¼ （相邻两个 5 之间 0 的个数

逐次加1) ．其中是无理数的有( )

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
2．（3 分）我们学过用三角尺和直尺画平行线的方法，按如图方式画出的两条直线l1 ， l2 一定平行，其判定依据是( )

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行

3 27
3 -8
2
2
3 -8
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等3．（3 分）下列各组数中，互为相反数的是( )

9
A. - 与
B. 与- 3 8
C. | -
2| 与
D. 与

í + =2x y 7
4．（3 分）已知ìx + 2 y = -3 ，则代数式 x - y 的值为( )
î

A.4 B． -4
C． -10
D．10

5．（3 分）如图是天安门周围的景点分布示意图．若以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立坐标系，表示电报大楼的点的坐标为(-4, 0) ，表示王府井的点的坐标为(3, 2) ，则表示博物馆的点的坐标是( )

A． (1, 0) B． (2, 0) C． (1, -2) D． (1, -1)

19
6．（3 分）估算 + 3 的值应在( )

A.5 和 6 之间 B．6 和 7 之间 C．7 和 8 之间 D．8 和 9 之间

7．（3 分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，

折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5
尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺．设竿长 x 尺，绳索长 y 尺，则符合题意的方程组是( )

ìx = y + 5
ïí1
A. ï
y = x - 5
î 2
ì y = x + 5
íï1
B. ï
y = x - 5
î 2
ì y = x + 5
íï1
C. ï
x = y - 5
î 2
ìx = y + 5
íï1
D. ï
x = y - 5
î 2

8．（3 分）若 2m - 4 与3m - 1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是( )

A．2 B． -2
9．（3 分）下列命题中是真命题的是( )
C.4 D．1

A．同位角相等 B．三条直线两两相交，一定有三个交点C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若 a / /b ， b / /c ，则 a / /c
10．（3 分）若点 A(6, 6) ， AB ^ y 轴，且 AB = 2 ，则 B 点坐标为( )
A． (4, 6) B． (6, 4) 或(6,8) C． (6, 4) D． (4, 6) 或(8, 6)

二、填空题：6 小题，每小题 3 分，共 18 分。请将答案填在答题卡的相应位置上。

11．（3 分）若(a - 1)x + 4 y|a| = 3 是关于 x ， y 的二元一次方程，则 a = ．

12．（3 分）若点 P(2m + 4, m + 1) 在 x 轴上．则点 P 的坐标为 ．
13．（3 分）如图，直线 AB / /CD ， BC 平分ÐABD ， Ð1 = 53° ，则Ð2 = ．

x - 1
x - y
14．（3 分）若 + = 0 ，则 x2023 + y2023 的值为 ．

15．（3 分）如果甲地在乙地北偏西35° 的方向，那么乙地在甲地的 方向．
16 ．（ 3 分）如图， AB / /CD ， PM 平分 ÐEPF ， ÐC + ÐPNC = 180° ，下列结论： ① AB / / PN ； ②
ÐEPN = ÐMPN ；③ ÐAEP + ÐDFP = 2ÐFPM ；④ ÐC + ÐCMP + ÐAEP - ÐEPM = 180° ；其中正确结论是 ．

三、解答题：本大题共 9 题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3 -8
(-4)2
2
17．（6 分）计算与化简：

64
（1）
- (-3)2 +
； （2）
- 3 27 + |1 - | ．

18．（6 分）解方程（组):

í + =x 2 y 3
（1） (x - 2)2 - 4 = 0 ； （2） ì3x - 2 y = 9 ．
î

19．（6 分）如图， AB / / DE ， Ð1 + Ð2 = 180° ，试说明： BC / / EF ．

î
í
ìx + y - 5k = 020．（6 分）已知关于 x ， y 的方程组 的解也是方程 2x + 3y = 6 的解，求 k 的值．
x - y - 9k = 0

21．（6 分）如图，已知：在四边形 ABCD 中， AD / / BC ，点 E 为线段 BC 延长线上一点，连接 AE 交CD 于
F ， Ð1 = Ð2 ．若CD 是ÐACE 的角平分线， Ð1 = 80° ，求ÐDAE 的度数．

22．（8 分）如图①，将由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形沿虚线剪开，将剪开后的图形拼成如图②所示的大正方形，设图②所示的大正方形的边长为 a ．
（1） 直接写出 a 的值；
（2） 若 a 的整数部分为 m ，小数部分为 n ，试求式子2| m - a | +an 的值．

23．（8 分）源翰制衣厂某车间现有 24 名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天

可制作这种衬衫 3 件或裤子 5 条．已知制作一件衬衫可获得利润 30 元，制作一条裤子可获得利润 16 元，

若该厂要求每天获得利润 2100 元，则需要安排多少名工人制作衬衫？

24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 为(-2, 0) ，点 B 为(0, 3) ，点C 为(-3, 3) ，将DABC 平移得到△ A¢B¢C¢ ，其中点 B 的对应点为(4,1) ．
（1） 在图中画出△ A¢B¢C¢ ， DABC 内有一点 P(m, n) ，平移后的对应点 P¢ 的坐标为 ；
（2） 若点Q 在 y 轴上，且DABQ 的面积等于DAOB 的面积的 2 倍，求点Q 的坐标．

25．（14 分）如图 1， MN / / PQ ，点 A 、点C 分别为 MN 、PQ 上的点．射线 AB 从 AN 顺时针旋转至 AM

停止，射线CD 从CQ 逆时针旋转至CP 便立即回转．若射线 AB 的旋转速度为 a° / 秒，射线CD 的旋转速度

为b° / 秒，且 a ，b 满足| 3a - 2b | +(a + b - 5)2 = 0 ．射线 AB 、射线CD 同时转动与停止，设射线 AB 运动时间为t ．
（1） 求 a 、b 的值；

（2） 若射线 AB 与射线CD 交于点 H ，当ÐAHC = 100° 时，求t 的值；
（3） 如图 2，射线 EF （点 E 在点C 的左侧）从 EG 顺时针旋转，速度为 3 ° / 秒，且与射线 AB 、射线CD
2
同时转动与停止．若ÐPEG = 27° ，则当t 为何值时，射线 AB 所在直线、射线CD 所在直线、射线 EF 所在直线能围成直角三角形．

2023-2024 学年广东省广州市荔湾区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析

3 2
一、选择题：10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3 分）下列 6 个数中： -3 ， 5
19

， -p ，
， 0.123& 7& ， -0.5050050005¼ （相邻两个 5 之间 0 的个数

逐次加1) ．其中是无理数的有( )

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个

3 2
【解答】解：无理数有-p ， ， -0.5050050005¼ （相邻两个 5 之间 0 的个数逐次加1) ，共有 3 个，

故选： B ．

2．（3 分）我们学过用三角尺和直尺画平行线的方法，按如图方式画出的两条直线l1 ， l2 一定平行，其判定依据是( )

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行

C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
【解答】解：Q同位角相等，两直线平行，

\两条直线l1 ， l2 一定平行．

故选： A ．
3 -8
2
2
3 -8
3．（3 分）下列各组数中，互为相反数的是( )

9
3 27
A. - 与
B. 与- 3 8
C. | -
2| 与
D. 与

9
3 27
【解答】解： A 、Q- = -3 ， = 3 ，

9
3 27
\- 与 互为相反数， A 选项符合题意；

3 -8
Q = -2 ， - 3 8 = -2 ，

3 -8
\ = - 3 8 ， B 选项不符合题意；

2
2
| - |= ， C 选项不符合题意；

3 -8
Q = -2 ，

2
3 -8
\ 与 不是互为相反数， D 不符合题意．

故选： A ．

í2x + y = 7
4．（3 分）已知ìx + 2 y = -3 ，则代数式 x - y 的值为( )
î

A.4 B． -4
C． -10
D．10

ìx + 2 y = -3①
î
【解答】解： í2x + y = 7② ，
② - ①得： x - y = 10 ． 故选： D ．
5．（3 分）如图是天安门周围的景点分布示意图．若以正东、正北方向为 x 轴、y 轴的正方向建立坐标系，
表示电报大楼的点的坐标为(-4, 0) ，表示王府井的点的坐标为(3, 2) ，则表示博物馆的点的坐标是( )

A． (1, 0) B． (2, 0) C． (1, -2) D． (1, -1)
【解答】解：表示电报大楼的点的坐标为(-4, 0) ，表示王府井的点的坐标为(3, 2) ，可得：原点是天安门，
所以可得博物馆的点的坐标是(1, -1)

故选： D ．

19
6．（3 分）估算 + 3 的值应在( )

A.5 和 6 之间 B．6 和 7 之间 C．7 和 8 之间 D．8 和 9 之间

19
【解答】解：Q 4 < < 5 ，

19
\7 < + 3 < 8 ，即在 7 和 8 之间．故选： C ．

7．（3 分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺．设竿长 x 尺，绳索长 y 尺，则符合题意的方程组是( )

ìx = y + 5
ïí1
A. ï
y = x - 5
î 2
ì y = x + 5
íï1
C． ï
x = y - 5
î 2
【解答】解：设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，
ì y = x + 5
ì y = x + 5
íï1
B. ï
y = x - 5
î 2
ìx = y + 5
íï1
D． ï
x = y - 5
î 2

íï1
根据题意得： ï ．
y = x - 5
î 2
故选： B ．
8．（3 分）若 2m - 4 与3m - 1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是( )

A．2 B． -2
【解答】解：由题意可知： 2m - 4 + 3m - 1 = 0 ， 解得： m = 1，
\ 2m - 4 = -2
C.4 D．1

所以这个数是 4， 故选： C ．
9．（3 分）下列命题中是真命题的是( )

A．同位角相等 B．三条直线两两相交，一定有三个交点 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．若 a / /b ， b / /c ，则 a / /c
【解答】解： A 、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B 、三条直线两两相交，可能有一个交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

C 、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

D 、若 a / /b ， b / /c ，则 a / /c ，正确，是真命题，符合题意． 故选： D ．

10．（3 分）若点 A(6, 6) ， AB ^ y 轴，且 AB = 2 ，则 B 点坐标为( )
A． (4, 6) B． (6, 4) 或(6,8) C． (6, 4) D． (4, 6) 或(8, 6)
【解答】解：Q A(6, 6) ， AB ^ y 轴，
\点 B 的纵坐标为 6，
点 B 在点 A 的左边时， 6 - 2 = 4 ， 此时点 B 的坐标为(4, 6) ，
点 B 在点 A 的右边时， 6 + 2 = 8 ， 此时，点 B 的坐标为(8, 6) ，
综上所述，点 B 的坐标为(4, 6) 或(8, 6) ． 故选： D ．
二、填空题：6 小题，每小题 3 分，共 18 分。请将答案填在答题卡的相应位置上。

11．（3 分）若(a - 1)x + 4 y|a| = 3 是关于 x ， y 的二元一次方程，则 a = -1 ．

【解答】解：由题意得：

| a |= 1 且 a - 1 ¹ 0 ，
\ a = 1 或-1 且 a ¹ 1，
\ a = -1 ，
故答案为： -1 ．
12．（3 分）若点 P(2m + 4, m + 1) 在 x 轴上．则点 P 的坐标为 (2, 0) ．
【解答】解：Q点 P(2m + 4, m + 1) 在 x 轴上，
\ m + 1 = 0 ， 解得： m = -1，
则点 P 的坐标为(2, 0) ，

故答案为： (2, 0) ．

13．（3 分）如图，直线 AB / /CD ， BC 平分ÐABD ， Ð1 = 53° ，则Ð2 = 106° ．
【解答】解：Q直线 AB / /CD ， Ð1 = 53° ，
\ÐABC = Ð1 = 53° ，

又Q BC 平分ÐABD ，
\ÐABD = 2ÐABC = Ð1 = 106° ，

Q AB / /CD ，
\Ð2 = ÐABD = 106° ， 故答案为：106° ．

x - 1
x - y
14．（3 分）若 + = 0 ，则 x2023 + y2023 的值为 2 ．

x - 1
x - y
【解答】解：Q + = 0 ，

又Q x - 1…0 ， x - y…0 ，
\ x - 1 = 0 ， x - y = 0 ，
\ x = 1 ， y = 1 ，

\ x2023 + y2023 = 12023 + 12023 = 1 + 1 = 2 ，

故答案为：2．

15．（3 分）如果甲地在乙地北偏西35° 的方向，那么乙地在甲地的 南偏东35° 方向．
【解答】解：由题意可知Ð1 = 35° ，

Q AB / /CD ，
\Ð1 = Ð2 ，由方向角的概念可知乙在甲的南偏东35° ． 故答案为：南偏东35° ．

16 ．（ 3 分）如图， AB / /CD ， PM 平分 ÐEPF ， ÐC + ÐPNC = 180° ，下列结论： ① AB / / PN ； ②
ÐEPN = ÐMPN ；③ ÐAEP + ÐDFP = 2ÐFPM ；④ ÐC + ÐCMP + ÐAEP - ÐEPM = 180° ；其中正确结论是
①③④ ．

【解答】解：QÐC + ÐPNC = 180° ，
\ PN / /CD ，

Q AB / /CD ，
\ AB / / PN ，故①正确；
Q PN 不一定是ÐEPM 的角平分线，
\ÐEPN 与ÐMPN 不一定相等，故②错误；

Q AB / / PN / /CD ，
\ÐAEP = ÐEPN ， ÐDFP = ÐFPN ，
\ÐEPF = ÐAEP + ÐDFP ， 又Q PM 平分ÐEPF ，
\ÐEPF = 2ÐFPM ，
\ÐAEP + ÐDFP = 2ÐFPM ，③正确；
QÐCMP = ÐMPN + ÐPNM ， ÐAEP = ÐEPN ， ÐEPN + ÐMPN = ÐEPM = ÐFPM ，
\ÐC + ÐCMP + ÐAEP - ÐEPM
= ÐC + (ÐMPN + ÐPNM ) + ÐEPN - ÐFPM
= (ÐC + ÐPNM ) + ÐMPE - ÐFPM

= ÐC + ÐPNM

= 180° ，即④正确．
综上所述，正确的选项①③④．

三、解答题：本大题共 9 题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（6 分）计算与化简：

64
（1）
- (-3)2 +
； （2）
- 3 27 + |1 - | ．

3 -8
(-4)2
2
【解答】解：（1）原式 = 8 - 9 + (-2)
= -3 ；

2
（2）原式= 4 - 3 + - 1

2
= ．

18．（6 分）解方程（组):

í + =x 2 y 3
（1） (x - 2)2 - 4 = 0 ； （2） ì3x - 2 y = 9 ．
î

【解答】解：（1） (x - 2)2 - 4 = 0 ，

(x - 2)2 = 4 ，

x - 2 = ±2 ，
x = 4 或 x = 0 ；

ì3x - 2 y = 9①
î
（2） íx + 2 y = 3② ，
① + ②得： 4x = 12 ， 解得： x = 3 ，
把 x = 3 代入①得： 3 + 2 y = 3 ，
解得： y = 0 ，

ìx = 3
î
\原方程组的解为： í y = 0 ．

19．（6 分）如图， AB / / DE ， Ð1 + Ð2 = 180° ，试说明： BC / / EF ．

【解答】证明：Q AB / / DE ，
\Ð1 = Ð3 ，
又Q Ð1 + Ð2 = 180° ，
\Ð3 + Ð2 = 180° ，
\ BC / / EF ．

í - - =x y 9k 0
20．（6 分）已知关于 x ， y 的方程组ìx + y - 5k = 0 的解也是方程 2x + 3y = 6 的解，求 k 的值．
î

ìx + y - 5k = 0①
î
【解答】解： íx - y - 9k = 0② ，
① + ②得： x = 7k ，
① - ②得： y = -2k ，
将 x = 7k ， y = -2k 代入2x + 3y = 6 中，得：14k - 6k = 6 ，
解得： k = 3 ．
4

21．（6 分）如图，已知：在四边形 ABCD 中， AD / / BC ，点 E 为线段 BC 延长线上一点，连接 AE 交CD 于
F ， Ð1 = Ð2 ．若CD 是ÐACE 的角平分线， Ð1 = 80° ，求ÐDAE 的度数．

【解答】Q AD / / BC ，
\ÐD = ÐECF ，
QCD 是ÐACE 的角平分线， Ð1 = 80° ，
\ÐACB = 180° - Ð1 = 100° ，
\ÐECF = 1 ÐACE = 50° ，
2
QÐAFD = Ð2 = 80° ，
在DAFD 中， ÐDAF = 180° - ÐD - ÐAFD = 180° - 80° - 50° = 50° ．
22．（8 分）如图①，将由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形沿虚线剪开，将剪开后的图形拼成如图②所示的大正方形，设图②所示的大正方形的边长为 a ．
（1） 直接写出 a 的值；
5
（2） 若 a 的整数部分为 m ，小数部分为 n ，试求式子2| m - a | +an 的值．

【解答】解：（1）由已知可得 a2 = 5 ，\ a = （负值舍去）；

5
（2）Q 的整数部分为 m ，小数部分为 n ，

5
\ m = 2 ， n = - 2 ，

5
\ 2| m - a | +an = 2 | 2 -
| + 5(
- 2) = 2
- 4 + 5 - 2
= 1，

5
5
5
答： 2| m - a | +an 的值为 1．

23．（8 分）源翰制衣厂某车间现有 24 名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天

可制作这种衬衫 3 件或裤子 5 条．已知制作一件衬衫可获得利润 30 元，制作一条裤子可获得利润 16 元，

若该厂要求每天获得利润 2100 元，则需要安排多少名工人制作衬衫？
【解答】解：设制作衬衫和裤子的人为 x ， y ．

ìx + y = 24
可得方程组í =
ìx = 15
，解得： í y = 9

î3x 5 y î

答：制作衬衫和裤子的人为 15，9．

设安排 a 人制作衬衫， b 人制作裤子，可获得要求的利润 2100 元．

ìa + b = 24
可列方程组í ´ + ´ =
ìa = 18
，解得í = ，

î30 3a 16 5b
2100
îb 6

所以必须安排 18 名工人制作衬衫．

答：需要安排 18 名工人制作衬衫．
24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 为(-2, 0) ，点 B 为(0, 3) ，点C 为(-3, 3) ，将DABC 平移得到△ A¢B¢C¢ ，其中点 B 的对应点为(4,1) ．
（1） 在图中画出△ A¢B¢C¢ ， DABC 内有一点 P(m, n) ，平移后的对应点 P¢ 的坐标为 (m + 4, n - 2) ；
（2） 若点Q 在 y 轴上，且DABQ 的面积等于DAOB 的面积的 2 倍，求点Q 的坐标．

【解答】解：（1）由题意知， DABC 是向右平移 4 个单位长度，向下平移 2 个单位长度得到的△ A¢B¢C¢ ．如图，△ A¢B¢C¢ 即为所求．
平移后的对应点 P¢ 的坐标为(m + 4, n - 2) ．
故答案为： (m + 4, n - 2) ．
（2）设点Q 的坐标为(0, m) ，

QDABQ 的面积等于DAOB 的面积的 2 倍，
\ 1 ´ | m - 3| ´2 = 2 ´ 1 ´ 2 ´ 3 ，
2 2
解得 m = 9 或-3 ，
\点Q 的坐标为(0, 9) 或(0, -3) ．

25．（14 分）如图 1， MN / / PQ ，点 A 、点C 分别为 MN 、PQ 上的点．射线 AB 从 AN 顺时针旋转至 AM

停止，射线CD 从CQ 逆时针旋转至CP 便立即回转．若射线 AB 的旋转速度为 a° / 秒，射线CD 的旋转速度

为b° / 秒，且 a ，b 满足| 3a - 2b | +(a + b - 5)2 = 0 ．射线 AB 、射线CD 同时转动与停止，设射线 AB 运动时间为t ．
（1） 求 a 、b 的值；

（2） 若射线 AB 与射线CD 交于点 H ，当ÐAHC = 100° 时，求t 的值；
（3） 如图 2，射线 EF （点 E 在点C 的左侧）从 EG 顺时针旋转，速度为 3 ° / 秒，且与射线 AB 、射线CD
2
同时转动与停止．若ÐPEG = 27° ，则当t 为何值时，射线 AB 所在直线、射线CD 所在直线、射线 EF 所在直线能围成直角三角形．

【解答】解：（1）Q| 3a - 2b | +(a + b - 5)2 = 0 ，

ì3a - 2b = 0 ìa = 2
\ ía + b - 5 = 0 ，解得í = ．
î îb 3

（2） 过点 H 作 HE / / AN ，则 HE / /CQ ． 当0„t„30 时，如图．
ÐNAH = ÐAHE ， ÐCHE = ÐHCQ ，

QÐAHC = 100° ，
\ÐNAH + ÐHCQ = 100° ， 即 2t + 3t = 100 ，
解得t = 20 ．
当30 < t„60 时，如图．

ÐAHC = ÐAHE + ÐCHE = (180° - 2t) + (180° - 3t) = 100° ， 解得t = 52 ．
当60 < t„90 时，
(180° - 2t) + (3t - 180°) = 100° ， 解得t = 100 ，不符合题意． 综上所述， t = 20s 或52s ．
（3） ①当如图所示的 EF ^ CD 时，

QÐEHC = 90° ， ÐDCQ = ÐECH = 3t ， ÐPEF = ÐCEH = 27° + 3 t ，
2
\ÐECH + ÐCEH = 27° + 3 t + 3t = 90° ，解得t = 14 ．
2
②当如图所示的 AB ^ CD 时，

ÐAHC = ÐBHC = 90° ，
QÐDCQ = 3t ， ÐABC = ÐDAB = 2t ，
\ÐABC + ÐDCQ = 2t + 3t = 90 ， 解得t = 18 ．
③当如图所示的 EF ^ CD 时，此时射线CD 旋转到CP 后回转，

QÐHEC = 180° - (27° + 3 t) ， ÐECH = 3t - 180 ，
2
\180° - (27° + 3 t) + (3t - 180) = 90° ，
2
解得t = 78 ．
④当如图所示的 AB ^ CD 时，

此时射线 AB 与 MN 重合，

\t = 90 ．
综上所述， t = 14s 或18s 或78s 或90s ．