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数值分析试卷及其答案.doc

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1、 (本题5分)取的6位有效数字,问以下这种算法有几位有效数字 解:令 则 (2分) 由于 故 另一方面 故在这里,由有. (3分) 即算式至少有4位有效数字. 2、 (本题6分)用列主元Gauss消去法解线性方程组. 解: (4分) 故等价方程组为: (1分) 同代得 ,, (1分) 3、 (本题6分)已知,求,,. 解: (1分) (1分) 即 (3分) 解得 ,, (1分) 4、 (本题7分)给定线性方程组 (1) 试分别写出Jacobi迭代格式与Gauss-Seidel迭代格式; (2) 分析Gauss-Seidel迭代格式的收敛性. 解:(1) Jacobi迭代格式为: (2 分) Gauss-Seidel迭代格式: (2分) (2)Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵G的特征方程为 解得 则 故Gauss-Seidel迭代格式发散. (3分) 5、 (本题8分)用下列方法求在附近的根,根的准确值…,要求计算结果准确到四位有效数字. (1) 用牛顿法; (2) 用弦截法,取, 解:(1) 牛顿法的迭代公式为 计算得 故 (4分) (2)弦截法的迭代公式为 计算得 故 (4分) 6、 (本题8分)给定数据如下 x 0 2 3 5 f(x) 1 -3 -4 2 (1) 写出的3次Lagrange插值多项式 (2) 写出的3次Newton插值多项式 解:(1)由题设条件有 由于次Lagrange插值多项式的基函数为 故三次Lagrange插值多项式的基函数为 (3分) 故所求三次Lagrange插值多项式 (1分) (2)由题中所给数据,构造下列差商表 5 2 3 3 -4 -1 2 -3 -2 0 1 x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 (3分) 由于 故所求三次Newton插值多项式 (1分) 7、 (本题8分)设,且互不相同,证明 并写出的次Newton插值多项式. 证:用数学归纳法来证明 当时 即当时公式成立. (2分) 假设当时等式成立 即 那么当时 即公式对亦成立 有归纳法原则知原等式对任意均成立 (4分) 我们以为插值节点来求次Newton插值多项式 因为 故所求插值多项式为 其中 (4分) 8、(本题5分)求满足条件 1 2 2 3 1 -1 的艾尔米特差值多项式. 解:令,,代入艾尔米特差值多项式 (2分) 这里,,得 (3分) 9、 (本题6分)求函数在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式. 解:设,,,所求函数为 ,则 (3分) 由正规方程组 (1分) 解得 (2分) 10、(本题9分)运用梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别计算积分,并估计各种方法的误差(要求小数点后至少保留5位). 解:运用梯形公式: (2分) 其误差 (1分) 运用辛普森公式: (2分) 其误差 (1分) 运用柯特斯公式: (2分) 其误差 (1分) 11、(本题6分)已知的函数值如下: 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 3.1 4.4 6.0 8.0 1.00 用复合梯形公式与复合辛普森公式求的近似值. 解:用复合梯形公式,小区间数,步长 则 (3分) 复合辛普森公式,小区间数,步长 则 (3分) 12、(本题8分)用高斯-勒让德公式计算积分. 解:由于高斯求积公式为 其中是的零点 首先将积分区间转化为 令则时 (1分) 而 (2分) 令 时 (2分) 时 (2分) (1分) 13、(本题6分)用改进欧拉法求解 ,,取两位小数。 解 改进欧拉法格式为 (2分) 其中代入上式得: 1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.24 1.58 2.04 2.64 3.42 (4分) 14、(本题6分)写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式: 解:令 (3分)   (3分) 15、(本题6分)给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值,精确至5位有效数字. 解:取,代入幂法计算公式: , (2分) 其中表示中(首次出现的)绝对值最大的分量. 具体计算结果如下: 故的主特征值 (4分) 第 11 页
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