资源描述
1、 (本题5分)取的6位有效数字,问以下这种算法有几位有效数字
解:令
则
(2分)
由于
故
另一方面
故在这里,由有. (3分)
即算式至少有4位有效数字.
2、 (本题6分)用列主元Gauss消去法解线性方程组.
解:
(4分)
故等价方程组为:
(1分)
同代得
,, (1分)
3、 (本题6分)已知,求,,.
解: (1分)
(1分)
即
(3分)
解得 ,,
(1分)
4、 (本题7分)给定线性方程组
(1) 试分别写出Jacobi迭代格式与Gauss-Seidel迭代格式;
(2) 分析Gauss-Seidel迭代格式的收敛性.
解:(1) Jacobi迭代格式为:
(2 分)
Gauss-Seidel迭代格式:
(2分)
(2)Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵G的特征方程为
解得
则
故Gauss-Seidel迭代格式发散. (3分)
5、 (本题8分)用下列方法求在附近的根,根的准确值…,要求计算结果准确到四位有效数字.
(1) 用牛顿法;
(2) 用弦截法,取,
解:(1)
牛顿法的迭代公式为
计算得
故 (4分)
(2)弦截法的迭代公式为
计算得
故 (4分)
6、 (本题8分)给定数据如下
x
0
2
3
5
f(x)
1
-3
-4
2
(1) 写出的3次Lagrange插值多项式
(2) 写出的3次Newton插值多项式
解:(1)由题设条件有
由于次Lagrange插值多项式的基函数为
故三次Lagrange插值多项式的基函数为
(3分)
故所求三次Lagrange插值多项式
(1分)
(2)由题中所给数据,构造下列差商表
5 2 3
3 -4 -1
2 -3 -2
0 1
x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商
(3分)
由于
故所求三次Newton插值多项式
(1分)
7、 (本题8分)设,且互不相同,证明
并写出的次Newton插值多项式.
证:用数学归纳法来证明
当时
即当时公式成立. (2分)
假设当时等式成立
即
那么当时
即公式对亦成立
有归纳法原则知原等式对任意均成立 (4分)
我们以为插值节点来求次Newton插值多项式
因为
故所求插值多项式为
其中
(4分)
8、(本题5分)求满足条件
1
2
2
3
1
-1
的艾尔米特差值多项式.
解:令,,代入艾尔米特差值多项式
(2分)
这里,,得
(3分)
9、 (本题6分)求函数在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.
解:设,,,所求函数为
,则
(3分)
由正规方程组
(1分)
解得
(2分)
10、(本题9分)运用梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别计算积分,并估计各种方法的误差(要求小数点后至少保留5位).
解:运用梯形公式:
(2分)
其误差
(1分)
运用辛普森公式:
(2分)
其误差
(1分)
运用柯特斯公式:
(2分)
其误差
(1分)
11、(本题6分)已知的函数值如下:
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
3.1
4.4
6.0
8.0
1.00
用复合梯形公式与复合辛普森公式求的近似值.
解:用复合梯形公式,小区间数,步长
则
(3分)
复合辛普森公式,小区间数,步长
则
(3分)
12、(本题8分)用高斯-勒让德公式计算积分.
解:由于高斯求积公式为
其中是的零点
首先将积分区间转化为
令则时 (1分)
而
(2分)
令
时
(2分)
时
(2分)
(1分)
13、(本题6分)用改进欧拉法求解 ,,取两位小数。
解 改进欧拉法格式为 (2分)
其中代入上式得:
1
2
3
4
5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.24
1.58
2.04
2.64
3.42
(4分)
14、(本题6分)写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式:
解:令
(3分)
(3分)
15、(本题6分)给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值,精确至5位有效数字.
解:取,代入幂法计算公式:
, (2分)
其中表示中(首次出现的)绝对值最大的分量.
具体计算结果如下:
故的主特征值 (4分)
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