资源描述
公因数与公倍数
【知识要点】
1、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。
一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。
一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。几个数的公倍数也是无限的。
3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，用符号（ ， ）。两个数的公因数也是有限的。
4、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15是合数。
5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。举例：[6，8]=24，（6，8）=2，24是2的倍数。
6、求最大公因数与最小公倍数的方法：
倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。举例：15与5，[15，5]=15，（15，5）=5
素数关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，（3，7）=1
一个素数与一个合数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。[5，8]=40，（5，8）=1
相邻关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。[9，8]=72，（9，8）=1
特殊关系的数（两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1），
比如4与9、4与15、10与21，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。
一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
【例题讲解】
例1、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少正方形？
要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60与36的最大公约数。 （36、60）＝12
（60÷12）×（36÷12）＝15个
例2、用96朵红玫瑰花与72朵白玫瑰花做花束。如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？
要把96朵红玫瑰花与72朵白玫瑰花做花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定是96与72的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96与72的最大公约数。
1、 最多可以做多少个花束 （96、72）＝24 2、 每个花束里有几朵红玫瑰花 96÷24＝4朵
3、 每个花束里有几朵白玫瑰花 72÷24＝3朵 4、 每个花束里最少有几朵花 4+3＝7朵
例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？
解：这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：96÷4+1=25（个） 后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4与6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。
96÷12+1=9（个）
96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。
知识点：公因数与最大公因数
练习：1、写出下面每组数的最大公因数。
3与5 （ ） 4与8 （ ） 1与13 （ ） 13与26 （ ）
4与9 （ ） 17与51 （ ） 21与36（ ） 22与55 （ ）
2、÷=5（、都是非零的自然数），与的最大公因数是（ ）。
3、与是相邻的两个非零的自然数，与的最大公因数是（ ）。
4、把一张长18cm，宽12cm的长方形纸，分成同样大小的正方形且没有剩余，每个小正方形边长最大是（ ）厘米，最少可分成（ ）个。
5、两根钢管，甲管长36分米，乙管长40分米，把它们截成同样长的小段而且没有剩余，每小段最长（ ）分米，最少可截成（ ）段。
知识点：公倍数与最小公倍数
练习：1、写出下面每组数的最小公倍数。
3与5 （ ） 4与8 （ ） 1与13 （ ） 13与26 （ ）
4与9 （ ） 17与51 （ ） 21与36（ ） 22与55 （ ）、
2、÷=5（、都是非零的自然数），与的最小公倍数是（ ）。
3、与是相邻的两个非零的自然数，与的最小公倍数是（ ）。
4、一种长方形的地砖长8厘米，宽6厘米，用这种地砖铺成一块正方形，至少需要（ ）块地砖。正方形的面积最少是（ ）平方厘米。
5、暑假期间，小林与小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。7月31日两人同时参加游泳训练，（ ）月（ ）日他们又再次相遇。
6、暑假期间，小林与小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每8天去一次。8月1日两人同时参加游泳训练，（ ）月（ ）日他们又再次相遇。
7、3与7是21的（ ）①因数 ② 公因数 ③ 倍数
8、8是24与64的（ ）①因数 ② 最大公因数 ③ 倍数
【综合练习】
一、填空（共20分）
1、最小的素数是（ ），最小的合数是（ ）。
2、18的因数有（ ），24的因数有（ ），它们的公因数有（ ）。
3、在1～20的自然数中，既不是素数又不是合数的数有（ ），既是素数又是偶数的有（ ）。
4、自然数按因数个数的多少可以分成（ ）、（ ）与（ ）。
5、1082至少加上（ ）是3的倍数，至少减去（ ）才是5的倍数。
6、一个数的最大因数是13，这个数的最小倍数是（ ）。
7、两个自然数a、b的最大公因数是1，它们的最小公倍数是（ ）。
8、如果A＝2×2×3，B＝2×3×3，那么它们的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
9、一个数是3的倍数，又是5的倍数，还有因数7。这个数最小是（ ）。
10、一个数既是30的因数、又是45的因数，最大的是（ ）。
11、用0、1、2三个数字排成的所有三位数中，同时是2、3、5的倍数的数有（ ）。
12、如果两个数的最大公因数是1，它们最小公倍数是91，那么这两个数的与最大是（ ）。
二、判断题（共5分）
1、两个连续自然数（0除外）它们的最大公因数是1。 （ ）
2、在24的因数中，是素数的只有2与3。 （ ）
3、5与7没有公因数，但5与7有公倍数。 （ ）
4、所有的偶数都是合数。 （ ）
5、两个数的公倍数一定比这两个数都大。 （ ）
三、选择题（共5分）
1、任何两个奇数的与是（ ）。
A 奇数 B 合数 C 偶数
2、两个素数的积一定是（ ）。
A 素数 B 合数 C奇数
3、任何两个自然数的（ ）的个数是无限的。
A 公倍数 B 公因数 C 倍数
4、A是B倍数，那么它们的最小公倍数是（ ）。
A AB B A C B
5、两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，这两个数一定不是（ ）。
A 15与90 B 45与90 C 45与30
四、写出每组数的最大公因数（共12分）
32与1 12与18 72与48
78与117 23与60 12与60
五、写出每组数的最小公倍数（共12分）
4与15 5与7 90与30
9与15 13与39 6与13
六、列式计算（共8分）
1、一个自然数被3、5除都余1，这个数最小是多少？
2、五个连续奇数的与是425，最小的一个是多少？
七、解决问题（共38分，第8题3分，其余每题5分）
1、一枝钢笔的价钱是18.6元，比一枝圆珠笔贵10.9元，一枝圆珠笔多少元?（列方程解答）
2、小明的妈妈比小明大26岁，爸爸今年38岁，比妈妈大4岁，小明今年多大了？（列方程解答）
3、甲、乙两人到图书馆去借书，甲每4天去一次，乙每5天去一次，如果7月1日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？
4、有两根小棒分别长20分米，28分米。要把它们都截成同样长的小棒，不许剩余，每根小棒最长能有多少分米？
5、一个长方形的面积是24厘米，它的长与宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？
6、在一张长40厘米，宽32厘米的长方形红纸上裁出同样大小，面积最大的正方形，并且没有剩余。一共可以裁出多少个这样的正方形？
7、五（1）班学生人数不超过50人，在分小组做游戏时，可以分为每组6人或者每组8人，两种分法都刚好分完。这个班的学生可能有多少人？
8、园林工人在一段公路的一边每隔4米栽一棵树，一共栽了17棵。现在要改成每隔6米栽一棵树。那么，不用移栽的树有多少棵？
【解决问题】
1、甲、乙两人到图书馆去借书,甲每4天去一次,乙每5天去一次,如果7月1日他们两人在图书馆相遇,那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？
2、一块长方形纸片,长18厘米,宽12厘米,把它剪成同样大小的边长是整厘米数的正方形且没有剩余,最少可以剪多少个？
3、同学们做了24朵红花与56朵黄花,把这些花分成相同的若干束,最多可以分成几束？每束里红花与黄花各有几朵？
4、五（1）班学生做早操，每行12人或16人都正好站成整行，这个班不到50人，这个班究竟有多少人？
5、一块砖长42厘米，宽26厘米，用这样的砖铺成一块正方形地，至少要多少块？
6、有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给18人，结果都剩下3个，这筐苹果至少有多少个？
【拓展练习】
1、学校操场长96米，从一端起到另一端每隔4米插有一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面红旗。问可以不必拔出来的小红旗有多少面？
2、某校同学们做操,把学生分为10人一组,14人一组,18人一组,都恰好分完,这个学校至少有多少个学生？
3、有一列数1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……,从第三个数开始,每个数是都前面两个数的与,前100个数中偶数有多少个？
4、1路、2路与5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线同时发车？
5、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？
6、在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？
【挑战奥数】
【例题讲解】
在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法
可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么
（18，12）×[18，12]=（2×3）×（2×3×3×2）
=（2×3×3）×（2×3×2）=18×12。
也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：
两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，
（a，b）×[a，b]=a×b。
例1、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。
例2 、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的与是77，求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的与是11，求这两个自然数。”
改变以后的两个数的乘积是1×30=30，与是11。
30=1×30=2×15=3×10=5×6，
由上式知，两个因数的与是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5与6，故原来的两个自然数是
7×5=35与7×6=42。
例3、 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12与15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”
当a=60时， b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷60=24；
当a=120时， b=（a，b）×[a，b]÷a =12×120÷120=12。
所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。
【练习】
1、两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18。求另一个自然数。
2、两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的与是77。求这两个自然数。
3、两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
4、已知两个数的积是3072，最大公因数是16，求这两个数。
5、已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A×B＝42，求B。
6、两个数的最大公约数为12，最小公倍数为180，且较大数不能被较小数整除，求这两个数。
7、甲乙两数的最大公约数为75，最小公倍数为450，当这两个数分别为何值时，它们差最小。
【课后练习】
一、填空
1、（7,9）在平面图上表示是第（ ）列第（ ）行的位置。
2、30以内3的倍数有（ ），4的倍数有（ ），3与4的公倍数有（ ），最小公倍数是（ ）。
3、在12、15、36、64、450、950六个数中，是3的倍数有 （ ），是5的倍数的有（ ），是2的倍数的有（ ）；是2与5的公倍数的有（ ），是2与3的公倍数的有（ ），是3与5的公倍数的有（ ）；同时是2、3与5的公倍数的数是（ ）。
4、18的因数有（ ），60的因数有（ ），18与60的公因数有（ ），最大公因数是（ ）。
5、一个合数的因数至少有（ ）个，例如：（ ）。
6、如果A=2×3×7，B=2×5×7，那么A与B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
7、用0、3、5、7四个数组成一个同时是2与5的倍数的四位数，最大是（ ），最小是（ ）。
8、要使601□既是2的倍数，又是3的倍数，那么□里可以填（ ）。
9、身份证上数字编码的头两位数字表示的是（ ）。
二、判断
1、如果a÷b=4（a、b为整数）那么a与b的最大公因数是4。 （ ）
2、一个数最小的倍数与它最大的因数相等。 （ ）
3、任何一个自然数的因数至少有2个。 （ ）
4、1与任何自然数（0除外）都没有公因数。 （ ）
5、两个素数的最小公倍数是它们的乘积。 （ ）
三、选择
1、 1、2、4、8是8的（ ）
A、因数 B、公因数 C、素数
2、12是（ ）的最大公因数。
A、1与12 B、12与24 C、3与4
3、一个两位数个位与十位上都是合数，并且它们的最大公因数是1，那么这两位数可能是（ ）
A、49 B、59 C、69
4、a 是一个素数，则a的倍数有（ ）个
A、1个 B、2个 C、无数个
5、如果b是一个整数，那么2b一定是（ ）
A、合数 B、偶数 C、素数
四、写出每组数的最大公因数
7与9 5与25 10与4
27与18 11与77 15与16
五、写出每组数的最小公倍数
8与10 51与3 5与4
57与19 91与7 9与1
六、列式计算
1、a与b的最大公因数是6，最小公倍数是72，a是18，b是多少？
2、50以内最大素数与最大一位数的与除以最小合数，商是多少？
七、解决问题
1、 汽车站内每隔3分钟发一辆公交车，4分钟发一辆中巴车，在1小时的时间里几次同时发了公交车与中巴车？
2、把两根长度分别是120厘米与180厘米的铁丝，截成长度相等的小段，每根都不能有剩余。每小段最长多少厘米？
3、有一批地砖，每块长45厘米、宽30厘米，至少要用多少块这样的地砖才能铺成一个正方形？
4、李刚与李强是兄弟，两人都在外地工作。李刚隔6天回家一次，李强隔8天回家一次，十月一日这天他们同时回家，再过多少天他们才能再一次见面？
5、用96朵红花与72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？
6、在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米染一个蓝点，有多少个点同时染了红色与蓝色？
7、有一盒糖，如果按4块一堆分开，结果多出一块；如果按5块一堆分开，结果也多出一块。那么这盒糖最少有多少块？
8、从小明家到学校原来每隔5米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是25根电线杆，现在改成每隔6米安装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中间有多少根不必移动？
第 - 13 - 页
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
