高中数学公式汇总上海版.doc

集合命题不等式公式
1、=_________；=___________。
2、_____；____；_____；
________；___________。
3、含n个元素的集合有：____个子集，____个真子集，____个非空子集，____个非空真子集。
4、常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
否
至少有一个
一个都没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
小于等于
至少有n个
至多n-1个
小于
大于等于
至多有n个
至少n+1个
对所有x都成立
至少有一个x不成立
P或q
（非p）且（非q）
对任何x都不成立
至少有一个x成立
P且q
（非p）或（非q）
5、四种命题的相互关系：__原命题___与___逆否命题__互为等价命题；____否命题____与____逆命题___互为等价命题。
6、若，则p是q的___充分____条件；q是p的____必要____条件。
7、基本不等式：
（1）：_____________________等且仅当时取等号。
（2）：____________________等且仅当时取等号。
（3）绝对值的不等式：___________________
8、均值不等式：
时，____________________________________
等且仅当时取等号。
9、分式不等式：
10、绝对值不等式：

11、指、对数不等式：
（1）时：
（2）时：

函数公式
1、函数的图象与直线交点的个数为 1 个
2、一元二次函数解析式的三种形式：
一般式：__；顶点式：_；
零点式：_______________。
3、二次函数，的最值：
10、时，
20、时，
4、奇函数_____ _____，函数图象关于 原点 对称；
偶函数_____ ____=______，函数图象关于 y轴 对称。
奇函数若在x=0有意义，则= 0
5＊、若是偶函数，则=_____________；
若是偶函数，则=_____________。
6、函数在单调递增(减)的定义：_____________任取，且，若，则函数在单调递增；若，则函数在单调递减________。
7、如果函数和在R上单调递减，那么在R上单调递__减___，在R上单调递___增____。
8、奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。（填写“相同”或“相反”）
9、互为反函数的两个函数的关系：________。
10、与互为反函数，设的定义域为D，值域为A，则有
_________；____________。
11、定义域上的单调函数一定有反函数。（填写“一定有”，“可能有”，“一定没有”）
12、奇函数如果存在反函数，则反函数的奇偶性 奇函数 ；
互为反函数的两个函数具有相同的单调性。（填写“相同”或“相反”）
13、函数的图像向右移个单位，上移b个单位，得函数________的图像；
曲线的图像向右移个单位，上移b个单位，得曲线的图像。

1、函数图像的对称性与周期性
（1）一个函数本身的对称性与周期性
解析式满足

图像满足

关于直线对称

关于点对称

以为周期

以2为周期

图像对称性

图像周期性
同时关于对称

以2为周期
同时关于对称

以2为周期
同时关于对称

以4为周期
（2）两个函数图像的对称性：
图像关于对称；
图像关于对称；
和图像关于____直线_____对称。
2、写出满足下列恒等关系的一个（组）具体的函数：
恒等关系
具体函数

**

**

幂指对函数公式
1、
2、__________，
3、有理指数幂的运算性质：
4、指数式与对数式的互化：
5、对数换底公式：，推论：
6、对数的四则运算：

7、对数恒等式_______N_________
8、幂函数：（为常数，），图像恒过点（1，1），画出幂函数在第一象限的图像。
>1
=1
0<<1
<0

9、指数函数与对数函数

定义域
R

值域

R
奇偶性
非奇非偶
非奇非偶
单调性
a>1 增
0<a<1 减
a>1 增
0<a<1 减
图像

三角比公式
1、设终边上任意一点坐标为，这点到原点的距离为，
则。
2、同角三角比公式：平方关系：1===。
商数关系：
倒数关系：

3、两角和与两角差公式：
_______；_____
______。
4、辅助角公式：
5、二倍角公式
；；

6、半角公式：；

7、万能置换公式：
，，。
其中
8、（理）三角比的积化和差与和差化积公式
，
，
，
，
9、正弦定理：，其中R是三角形外接圆半径。
10、余弦定理：；。
11、三角形面积公式：
（第三格用行列式表示，第四格用向量表示）

诱导公式
1、，
2、扇形的弧长公式；扇形的面积公式=
3、在直角坐标系中用“+”、“—”标出各个三角比在各个象限中的符号。

4、诱导公式
诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限

三角函数图像与性质
名称
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
解析式

定义域

值域

增区间

无
减区间

无

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
周期性
周期
最小正周期
周期
最小正周期
周期
最小正周期
周期
最小正周期
最值

无最大（小）值
无最大（小）值

零点

对称轴
直线
直线
无
无
对称中心
点
点
点
点
图象

其他
(一)弦曲线的物理意义
1、 振幅A：表示离开平衡位置的最大值
2、 周期，表示往复振动一次所需的时间
3、 频率，表示单位时间内往复振动次数
4、 叫做相位，叫做初相；表示相位移。
初相表示振动开始时物体的位置。
(二)参数对图象影响
1、 位置变化
左右平移
上下平移
2、 形状变化
上下伸缩
左右伸缩

反三角函数与三角方程
反三角函数图像与性质
名称
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
解析式

定义域

值域

增区间

无

无
减区间
无

无

奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
非奇非偶函数
最值

无最大（小）值
无最大（小）值

零点

无
对称轴
无
无
无
无
对称中心

点
图象

2、恒等式(写明x的取值范围)：
；；
；；
；；；
3、最简单的三角方程：
方程
方程的解集
方程
方程的解集
，

，

数列公式

等差数列
等比数列
定义

通项公式

通项公式的推导方法
累加法
累乘法
推广的通项公式

时

求和公式

前n项和公式推导的方法：
倒序相加法
错位相减法
间的关系

充要条件
等差中项：，
=
（充分非必要）

2、a与b的等差中项___________；a与b的等比中项____________。
3、数列的通项公式与前n项和的关系：。
4、（k≠0,k≠1,b≠0），求通项时，将该式变形（）。
5、已知为等差数列，为等比数列，则
（1）求数列前n项和用分组求和法；（2）求数列前n项和用错位相减法；
（3）求数列前n项和用裂项相消法。
6、=__0__；=____；（其中为常数），
7、无穷等比数列各项和：，其中公比q的取值范围为____
8、已知，，则；；
矩阵行列式公式
1、通过对线性方程组增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有下列三种：
（1）互换矩阵的两行；
（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；
（3）某一行乘以一个数加到另一行。
通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程的解。
2、已知矩阵，矩阵，矩阵，如果矩阵C中第i行，第j列的元素为A的第i个行向量与B的第j个列向量的数量积，，那么C=AB。
（1）只有当A的列数和B的行数相等时,矩阵之积AB才有意义；
（2）一般的，。（填或）
例如：若，，则AB=， BA=。
3、矩阵变换：向量的左边乘一个2阶方阵，就可以得到另一个向量，即，这个矩阵变换把向量变换成向量。
4、按对角线法则展开
按第一行展开，
的代数余子式是
5、二元一次方程记D=，Dx=，Dy=
当时，方程组有唯一解，其解为；
当时，方程组无解；
当时，方程组有无数多解。
6、三元一次方程
记D=，Dx=，Dy=，Dz=
当时，方程组有唯一解，其解为；
当时，方程组无解或有无穷多解。
7、算法部分请看书

向量复数公式
1、向量，则，，，=，向量夹角=，。
2、设，则

3、向量与向量夹角为锐角
4、向量在向量上的投影为
5、定比分点公式：，，则P坐标为。
6、顶点，则重心坐标为
。

7、三角形四心定义：内心：三角形角平分线的交点；
外心：三角形中垂线的交点；
重心：三角形中线的交点；
垂心：三角形高的交点；
三角形四“心”向量形式的充要条件：
设O为所在平面上一点，是对应的边。
（1） O为的外心
（2） O为的重心
（3） O为的垂心
（4） ()，则P的轨迹过三角形的内心
8、A、B、C三点共线（、、的关系式）
9、复数，则=；是纯虚数。
10、的几何意义是：两点间的距离。
11、；（填写）
12、。
13、负实数的平方根是。
14、实数的立方根是。
15、实系数一元二次方程的解
16、实系数一元二次方程的两根为，则=。

直线公式
1、已知，，则
==
2、直线的方程：（应用以上直线方程时应考虑其存在的条件）
（1）点方向式：（过,一个方向向量为，）
当时，该直线方程为；当时，该直线方程为
（2）点法向式：（过，一个法向量为）
（3）点斜式： （过，斜率为k）
当斜率不存在时，该直线方程为
（4）一般式：（A、B不同时为零）
（5）斜截式：（斜率为k，在y轴上的截距为b）
当斜率不存在时，该直线方程为
（6）(理)参数方程：（过,一个方向向量为）
（7）(理)参数方程：（过,倾斜角为）
3、直线斜率和倾斜角的关系：
； =
4、已知直线的法向量为，则该直线的方向向量为，斜率为（）
5、两条直线的平行和垂直
（1）若，
；此时两平行直线间的距离；
。
（2）若，
；此时两平行直线间的距离；
。
6、两直线夹角公式：
（1）=（，）
（2）=（，）
7、常见的直线系方程：
（1）定点直线系方程：经过定点的直线系方程为（除直线），其中k是待定的系数。
（2）共点直线系方程：经过两直线，的交点的直线系方程为（除l2），其中是待定的系数。
（3）平行直线系方程：与直线平行的直线系方程为。
（4）垂直直线系方程：与直线垂直的直线系方程为。
8、点到直线的距离d=。
9、的符号确定了点关于直线的相对位置。在直线同侧的所有点，的符号是相同的，在直线异侧的所有点，的符号是相反的。（填写“相同”或“相反”）
10、点，在直线异侧
。
11、点，在直线同侧

直线与圆锥曲线联立勿忘△
1、对于曲线C和方程，满足：（1）曲线C上的点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点，我们就把方程叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程的曲线。
2、圆的方程：
（1）圆的标准方程：。
（2）圆的一般方程：。
（3）圆的参数方程：。
（4）圆的复数方程：
3、已知点M，圆C：。
点在圆外；
点在圆上；
点在圆内。
4、直线：与圆C：
相交；相切；
相离。
5、圆C1与圆C2位置关系：
外离；外切；相交；
内切；内含。
6、圆的切线方程：
（1）过圆C：上一点M的圆的切线方程为。
（2）过圆C：上一点M的圆的切线方程为
。
（3）过圆C：上一点M的圆的切线方程为。
（4）斜率为k的圆C：的切线方程为。
7、圆的弦AB的长度=（圆半径为R，圆心到AB距离为d）
8、椭圆的定义是平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a（2a大于|F1F2|）的点的轨迹。焦点在x轴的椭圆标准方程为，长轴长为2a，短轴长为2b，焦点坐标为，对称轴为x轴、y轴，对称中心为。
9、椭圆的参数方程是；
复数方程是。
10、点M在椭圆内部。
11、双曲线的定义是平面内到两个定点F1，F2的距离之差等于常数2a（2a小于|F1F2|）的点的轨迹。焦点在x轴的双曲线标准方程为，实轴长为2a，虚轴长为2b，焦点坐标为，对称轴为x轴、y轴，对称中心为。
12、双曲线的参数方程是；
复数方程是。
13、（1）双曲线的渐进线方程为。
（2）渐进线为的双曲线方程可设为。
14、抛物线的定义是平面内到一个定点F和到一条定直线（F不在上）距离相等的点的轨迹。
15、抛物线，焦点坐标为，准线方程为，的几何意义是焦点到准线的距离。
16、（1）曲线关于点M成中心对称的曲线是。
（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是。
*****（3）曲线关于直线成轴对称的点是
。
排列组合二项式定理概率统计公式
1、排列数公式：
2、组合数公式：
3、组合数性质：；=。
4、组合数恒等式：
（1）=；
（2）=；
（3）==。
（4）
5、排列数与组合数的关系：
6、二项式定理=，
其中通项公式=。
7、二项式系数，当n是偶数时，中间一项取得最大值，当n是奇数时，中间两项取得最大值。
8、记必然事件为，不可能事件为，随机事件为A

设E、F是两个随机事件（填写独立、对立、互斥）
（1）满足且的E和F叫做对立事件；
（2）（理）E、F不可能同时出现，则E和F叫做互斥事件；此时
（3）（理）E、F互相之间没有影响，则E和F是互相独立事件；此时
9、（理）概率加法公式：=。
10、设总体有N个个体，它们分别是，且它们的平均数为
则总体方差=
叫做总体标准差，反映总体中各个个体之间的差别的大小。

11、抽样方法：
（1）随机抽样：抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被选入样本。（抽签、利用随机数抽样等）
（2）系统抽样：把总体的每一个个体编号，按某种相等的间隔抽取样本的方法。
（3）分层抽样：把总体分成若干个部分，然后再每个部分进行随机抽样的方法。
将总体个数N分成k层，每层的个体数分别记作，
在每层中分别随机抽取个个体组成容量为的样本。

12、样本为，样本容量为，则
总体均值的点估计值为=
总体标准差的点估计值为
均值的估计区间为。
13、（理）取离散值的随机变量叫做离散型随机变量，其取值概率可用下表给出

……

……

随机变量所有的取值对应的概率所成的数列叫做随机变量的概率分布律。
随机变量的数学期望为=
随机变量的方差=
数学期望是随机变量的加权平均数，表示随机变量取值的平均水平，因此也叫做随机变量的均值；随机变量的方差或标准差刻画了随机变量取值的离散程度。
14、（理）把直角坐标系的远点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并且取相同的单位长度。
设M是平面内的任意一点，它的直角坐标为，极坐标为
则， 。
15、（理）对应的曲线叫做等速螺线（阿基米德螺线）

立体几何公式
1、如果直线上有两个点在平面上，那么直线与平面的关系是直线在平面上
如果平面与平面相交，那么它们所有的交点构成的图形是直线
确定平面的条件是不在同一直线上的三点确定一个平面，或直线和直线外一点确定一个平面，或两条相交直线确定一个平面，或两条平行直线确定一个平面。
平行与同一直线的两条直线平行。
如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补。
2、空间直线与直线所成角是指在直线上任取一点M，过M作的平行线，与的夹角就是直线与直线所成角，范围是。
空间直线与平面所成角是指当直线与平面不垂直时，直线与平面所成角是指直线与其在平面上的投影所成的角，范围是。
空间平面与平面所成角是指在两平面的交线上任取一点O，过点O分别在两平面上作垂线OM、ON，就是平面与平面所成角，范围是。
3、与平面上任何直线都垂直的直线叫做平面的垂线。如果一条直线与平面上的两条相交直线垂直，那么它与平面上的任意直线都垂直。
4、已知平面与平面互相平行，平面与它们的交线分别为直线a，b，那么直线a，b的位置关系是。
已知直线平行于平面，平面经过且与平面相交于直线，那么直线与的位置关系是。
5、请写出定理“在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直”的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
6、斜二测法规定在x轴方向上线段的长度是其表示的真实长度的一半，在y轴和z轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等。
斜二测画法中原图形和直观图的面积比为。
7、祖暅原理是：体积可以看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积相等。
8、圆柱是由长方形绕其一条边所在直线旋转形成的，圆锥是由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转形成的，球是由半圆绕其直径所在直线旋转形成的。

9、设几何体的底面周长为C，母线或斜高长为，则圆柱或直棱柱的侧面积为；圆锥或正棱锥的侧面积为；半径为R的球的表面积为。
10、柱体体积公式为，锥体体积公式为，半径为R的球的体积为。
11、半径为R的球的小圆半径为=（球心到小圆所在平面距离为d）
12、球面距离是指联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧的长度。
13、（理）已知空间中，直线，方向向量分别为，，平面、分别法向量为，，则
直线与所成角满足：
直线与平面所成角满足：
平面与平面所成二面角满足：
点A到平面的距离d=

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