2023-2024学年广东省广州二中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州二中教育集团七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
8
3 64
1．（3 分）以下实数中是无理数的为( )

第 21 页（共 21 页）

64
A. 22 B．
7

C． D．

2．（3 分）如图，下列图形是由两条直线或三条直线相交形成的，其中Ð1 = Ð2 的是( )

A．
B．
C．
D．
í =y 2
3．（3 分）以下方程的解为ìx = 1 的是( )
î

A． 2x + 3y = 7
B． 3x - 2 y = 1
C． -4x + 3y = -10
D． x + 2 y = 5

4．（3 分）下列命题为真命题的是( )
A.1 的平方根是 1 B．二元一次方程都有无数组解
C． (2, -3) 是第二象限的点
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．（3 分）如图是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是(1, -4) ，白棋②的坐标是(-3, -1) ，则白棋③的坐标是( )

A． (-2, -5) B． (0, 0) C． (5,1) D． (0, -1)
6．（3 分）如图，已知直线 AB / /CD ， BC 平分ÐABD ，若Ð1 = 80° ，则Ð2 等于( )

A．140° B．160° C．120° D．150°

7．（3 分）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学
问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有
x 只，兔有 y 只，则所列方程组正确的是( )

í + =4x 2 y 94
A． ìx + y = 35
î
B． ìx + y = 35
í + =2x 4 y 94
î
C． ìx + y = 94
í + =4x 2 y 35
î
D． ìx + y = 94
í + =2x 4 y 35
î

8．（3 分）如图，下列条件中，能判定 AB / /CD 的条件是( )

A． Ð1 = Ð2
B． Ð3 = Ð4
C． Ð5 = ÐD
D． ÐB + ÐBAD = 180°

9．（3 分）估算 3 20 的值( )
A．在 1 和 2 之间 B．在 2 和 3 之间 C．在 3 和 4 之间 D．在 4 和 5 之间
10．（3 分）已知关于 x ， y 的方程组ìax + 2 y = c 的解为ìx = 5 ，那么，关于 x ， y 的方程组ì2x - ay = c 的

í + =
í y = 6
í - =

解为( )

í =y 6
A. ìx = 5
î


B. ìx = 6
í =y 5
î
î3x by d
î

í y = 6
C． ìx = -5
î


D． ìx = 6
í = -y 5
î
îbx 3y d

2
3
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

11．（3 分）比较大小：
+ p ．（用“ > ”、“ < ”或“ = ”连接）

12．（3 分）如图所示，要把河中的水引到水池 A 中，应在河岸 B 处( AB ^ CD) 开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 ．

13．（3 分）方程3x2 = 15 的解为 x = ．
14．（3 分）已知 A(1, 3) ， B 在第四象限， AB / / y 轴，且 AB = 5 ，则点 B 的坐标是 ．
15．（3 分）学校准备购买篮球和排球（两种球都购买），其中篮球每个 120 元，排球每个 90 元，共花费资金 1200 元，则可供选择的购买方案有 种．
16．（3 分）关于 x 、 y 的二元一次方程 ax + by = c 的部分解如表，则 a = ．

b

x

-2
-1
0
1
2

y

-2
0
2
4
6

三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6 分）在下列证明过程中的括号里填写证明依据．
如图，已知ÐA = 30° ， ÐC = 40° ， ÐAEC = 70° ．求证： AB / /CD ． 证明：过点 E 作 EF / / AB ，
Q EF / / AB ，

\ÐAEF = ÐA = 30°(
 ) ，

\ÐFEC = ÐAEC - ÐAEF = 70° - 30° = 40° ．
QÐC = 40° ，
\ÐFEC = ÐC ，

\ EF / /CD(
 ) ．

又Q EF / / AB ，

\ AB / /CD(
 ) ．

2
3
3
18．（6 分）计算：
3(2 -
)- | -3
| + 3 125 ．

19．（8 分）解下列方程组：
ìx = 3y

ì5x + 6 y = 20

（1） í2x - y = 10 ； （2） í6x + 5 y = 24 ．
î î

20．（8 分）如图，平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-3, -2) ，B(2, -4) ，C(-2, -4) ，按要求画图：将三角形 ABC 平移至三角形 A1B1C1 ，使 A 与 A1 (-1, 4) 重合，直接写出点 B1 和C1 的坐标，并写出过程求三角形C1 AB 的面积．

21．（10 分）如图， AB / /CD ， CG 交 AB 于 A ， EF 交 AB 于 A ，交CD 于 E ．
（1） 若ÐBED = ÐGAB ，求证： AC / / BE ；
（2） 若 AG 平分ÐFAB ， ÐC = 40° ，求ÐCAF 的大小．

22．（10 分）如图，直线l1 / /l2 ， A 、 N 为直线l1 上的点，过点 A 的直线交l2 于点 B ， C 在线段 BA 的延长线上． D 、 E 为直线 l2 上的两个动点， D 在 B 的右侧， E 在 D 的右侧，连接 AD ， AE ，满足
ÐAED = ÐDAE ．点 M 在l2 上，且在点 B 的左侧．
（1）如图 1，若ÐBAD = 25° ， ÐAED = 50° ，则ÐABM 的度数为 ；
（2）如图 2，射线 AF 为ÐCAD 的角平分线．
①用等式表示ÐEAF 与ÐABD 之间的数量关系，并给出证明；
②当ÐABM + ÐEAF = 150° 时， ÐEAF 的度数为 ．

23．（12 分）《广州市公共交通票价优惠调整方案》于 2023 年 9 月 1 日正式实施，现有基础票价不变，普
通乘客在一个自然月内，使用同一种支付方式，乘坐广州地铁公交累计实际支出票款不超过 80 元没有优
惠，超过 80 元不超过 200 元部分享受 8 折优惠，超出 200 元部分享受 5 折优惠．
以某普通乘客为例，他在某次乘坐地铁没有优惠时需要支付基础票价 4 元．若他在本月此前已经累计支出
了 120 元，那么他此次需要支付 3.2 元，若他在本月此前已经累计支出了 210 元，那么他此次只需要支付
2 元．已知甲乙都是普通乘客，只地铁出行，每次使用同一张羊城通．
（1） 甲每次的基础票价都是 2 元，已知甲在今年 2 月乘坐地铁共 36 次，上半月比下半月少花 28 元，设甲上半月乘坐地铁 x 次，下半月乘坐地铁 y 次，列方程组解应用题，求甲在 2 月上半月乘坐地铁的次数；
（2） 乙每次的基础票价都是 10 元，已知乙在今年 2 月和 3 月乘坐地铁共 47 次，2 月比 3 月少花 70 元， 设乙在 2 月乘坐地铁 m 次，3 月乘坐地铁 n 次，回答下列问题：
①在不求出 m 、 n 的具体数值的情况下，分析乙在 2 月和 3 月分别享受了哪些优惠？
②根据①的分析结果，列方程组解应用题，求乙在 3 月乘坐地铁总共花费了多少钱？

24．（12 分）在平面直角坐标系中，M (a, b) ，N (c, d ) ，对于任意的实数 k ¹ 0 ，我们称 P(ka + kc, kb + kd ) 为点 M 和点 N 的 k 系和点．
例如，已知 M (2, 3) ， N (1, -2) ，点 M 和点 N 的 2 系和点为 K (6, 2) ．
已知 A(1, 2) ， B(2, 0) ．
（1） 点 A 和点 B 的 3 系和点的坐标为 ；
（2） 已知点C(m, 2) ，若点 B 和点C 的 k 系和点为点 D(n, n) ．
①求 m 的值；
②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点 D 为整点，且三角形 BCD 的内部（不包括边界）恰有 3
个整点，则 k 的值为 ；
③若三角形 BCD 的面积为 14，求点 D 的坐标．

2023-2024 学年广东省广州二中教育集团七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
B
A
A
B
B
B
D

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
8
3 64
1．（3 分）以下实数中是无理数的为( )

64
A. 22 B．
7

C． D．

64
【解答】解： 22 是分数，
7

= 8 ，

3 64
= 4 是整数，它们都不是无理数；

8
是无限不循环小数，它是无理数； 故选： C ．
2．（3 分）如图，下列图形是由两条直线或三条直线相交形成的，其中Ð1 = Ð2 的是( )

A．
B．
C．
D．
【解答】解： A 、Ð1 与Ð2 互为补角，不一定相等，故 A 不符合题意；
B 、Ð1 与Ð2 互为对顶角，则Ð1 = Ð2 ，故 B 符合题意；
C 、Ð1 与Ð2 为同位角，当相应的直线平行时，才有Ð1 = Ð2 ，故C 不符合题意； D 、Ð1 与Ð2 为内错角，当相应的直线平行时，才有Ð1 = Ð2 ，故 D 不符合题意； 故选： B ．
í =y 2
3．（3 分）以下方程的解为ìx = 1 的是( )
î

A． 2x + 3y = 7
B． 3x - 2 y = 1
ìx = 1
C． -4x + 3y = -10
D． x + 2 y = 5

î
【解答】解： A ．把í y = 2 代入方程2x + 3y = 7 ，得左边= 2 ´1 + 3 ´ 2 = 8 ，右边= 7 ，左边¹ 右边，

ìx = 1
î
所以í y = 2 不是方程 2x + 3y = 7 的解，故本选项不符合题意；
í y = 2
B ．把ìx = 1 代入方程3x - 2 y = 1 ，得左边= 3 ´1 - 2 ´ 2 = -1 ，右边= -1，左边¹ 右边，
î

í y = 2
所以ìx = 1 不是方程3x - 2 y = 1 的解，故本选项不符合题意；
î
ìx = 1
î
C ．把í y = 2 代入方程-4x + 3y = -10 ，得左边= -4 ´1 + 3 ´ 2 = 2 ，右边= -10 ，左边¹ 右边，
ìx = 1
î
所以í y = 2 不是方程-4x + 3y = -10 的解，故本选项不符合题意；
í y = 2
D ．把ìx = 1 代入方程 x + 2 y = 5 ，得左边= 1 + 2 ´ 2 = 5 ，右边= 5 ，左边= 右边，
î
ìx = 1
î
所以í y = 2 是方程 x + 2 y = 5 的解，故本选项符合题意．
故选： D ．
4．（3 分）下列命题为真命题的是( )
A.1 的平方根是 1 B．二元一次方程都有无数组解
C． (2, -3) 是第二象限的点
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解答】解： A 、1 的平方根是±1 ，原命题是假命题；
B 、二元一次方程都有无数组解，是真命题；
C 、(2, -3) 是第四象限的点，原命题是假命题；
D 、在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； 故选： B ．
5．（3 分）如图是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是(1, -4) ，白棋②的坐标是(-3, -1) ，则白棋③的坐标是( )

A． (-2, -5) B． (0, 0) C． (5,1) D． (0, -1)

【解答】解：根据题意，可建立如图所示平面直角坐标系： 则白棋③的坐标是(-2, -5) ，
故选： A ．

6．（3 分）如图，已知直线 AB / /CD ， BC 平分ÐABD ，若Ð1 = 80° ，则Ð2 等于( )

A．140° B．160° C．120° D．150°
【解答】解：Q AB / /CD ， Ð1 = 80° ，
\ÐABD = Ð1 = 80° ，
Q BC 平分ÐABD ，
\ ÐABC = 1 ÐABD = 40° ，
2
Q AB / /CD ，
\Ð2 + ÐABC = 180° ，
则Ð2 = 180° - 40° = 140° ， 故选： A ．
7．（3 分）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学
问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有
x 只，兔有 y 只，则所列方程组正确的是( )

í + =4x 2 y 94
A． ìx + y = 35
î
B． ìx + y = 35
í + =2x 4 y 94
î
ìx + y = 35
C． ìx + y = 94
í + =4x 2 y 35
î
D． ìx + y = 94
í + =2x 4 y 35
î

î
【解答】解：由题意得： í2x + 4 y = 94 ，

故选： B ．
8．（3 分）如图，下列条件中，能判定 AB / /CD 的条件是( )

A． Ð1 = Ð2
B． Ð3 = Ð4
C． Ð5 = ÐD
D． ÐB + ÐBAD = 180°

【解答】解：Q Ð1 = Ð2 ，
\ AD / / BC ，
故 A 不符合题意；
QÐ3 = Ð4 ，
\ AB / /CD ，

故 B 符合题意；
QÐ5 = ÐD ，
\ AD / / BC ，
故C 不符合题意；
QÐB + ÐBAD = 180° ，
\ AD / / BC ，
故 D 不符合题意； 故选： B ．
9．（3 分）估算 3 20 的值( )
3 8
3 20
3 27
3 20
A．在 1 和 2 之间 B．在 2 和 3 之间 C．在 3 和 4 之间 D．在 4 和 5 之间

【解答】解：Q
< < ，即 2 < < 3 ，

3 20
\ 的值介于 2 和 3 之间，
故选： B ．
10．（3 分）已知关于 x ， y 的方程组ìax + 2 y = c 的解为ìx = 5 ，那么，关于 x ， y 的方程组ì2x - ay = c 的

í + =
í y = 6
í - =

解为( )

í =y 6
A. ìx = 5
î


ìx = 5


B. ìx = 6
í =y 5
î
î3x by d
î

í y = 6
C． ìx = -5
î
ìax + 2 y = c


D． ìx = 6
í = -y 5
î
îbx 3y d

【解答】解：把í y = 6 代入关于 x ， y 的方程组í + = 得：

î
ì5a + 12 = c
+ =
í ，
î15 6b d
ìx = 6


ì2x - ay = c
î3x by d

ì12 + 5a = c

当í y = -5 时，关于 x ， y 的方程组í - =
可变为í6b + 15 = d ，

î îbx
ì2x - ay = c
3y d î
ìx = 6

所以关于 x ， y 的方程组í
的解为í = - ，

故选： D ．
îbx - 3y = d
î y 5

2
3
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）

2
11．（3 分）比较大小：
+ > p ．（用“ > ”、“ < ”或“ = ”连接）

【解答】解：Q
» 1.414 ，
» 1.732 ，

3
2
3
\ + » 3.146 ，
Qp » 3.142 ，
2
3
\ + > p ，故答案为： > ．

12．（3 分）如图所示，要把河中的水引到水池 A 中，应在河岸 B 处( AB ^ CD) 开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 垂线段最短 ．

【解答】解：要把河中的水引到水池 A 中，应在河岸 B 处( AB ^ CD) 开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．

5
13．（3 分）方程3x2 = 15 的解为 x = ± ．
【解答】解：Q3x2 = 15 ，
5
\ x2 = 5 ， 则 x = ± ，
5
故答案为： x = ± ．
14．（3 分）已知 A(1, 3) ， B 在第四象限， AB / / y 轴，且 AB = 5 ，则点 B 的坐标是 (1, -2) ．

【解答】解：由题知，
Q AB / / y 轴，且点 A 坐标为(1, 3) ，
\点 B 的横坐标为 1．
又Q AB = 5 ，且点 B 在第四象限，
\3 - 5 = -2 ，
即点 B 的纵坐标为-2 ，
\点 B 的坐标为(1, -2) ． 故答案为： (1, -2) ．
15．（3 分）学校准备购买篮球和排球（两种球都购买），其中篮球每个 120 元，排球每个 90 元，共花费资金 1200 元，则可供选择的购买方案有 3 种．
【解答】解：设购买篮球 x 个，排球 y 个， 根据题意得：120x + 90 y = 1200 ，
整理得： 4x + 3y = 40 ，
Q x 、 y 均为正整数，
ìx = 1 ìx = 4 ìx = 7
\ í y = 12 或í y = 8 或í y = 4 ，
î î î
\可供选择的购买方案有 3 种， 故答案为：3．

16．（3 分）关于 x 、 y 的二元一次方程 ax + by = c 的部分解如表，则 a =
b
-2 ．

x

-2
-1
0
1
2

y

-2
0
2
4
6

【解答】解：由表格知，当 x = -1 时， y = 0 ；当 x = 0 时， y = 2 ；
ì-a = c
î
代入关于 x 、 y 的二元一次方程 ax + by = c 中，得í2b = c ，

\-a = 2b ，
即 a = -2 ，
b
故答案为： -2 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（6 分）在下列证明过程中的括号里填写证明依据．
如图，已知ÐA = 30° ， ÐC = 40° ， ÐAEC = 70° ．求证： AB / /CD ． 证明：过点 E 作 EF / / AB ，
Q EF / / AB ，

\ÐAEF = ÐA = 30°(
 两直线平行，内错角相等 ) ，

\ÐFEC = ÐAEC - ÐAEF = 70° - 30° = 40° ．
QÐC = 40° ，
\ÐFEC = ÐC ，

\ EF / /CD(
 ) ．

又Q EF / / AB ，

\ AB / /CD(
 ) ．

【解答】证明：过点 E 作 EF / / AB ，
Q EF / / AB ，
\ÐAEF = ÐA = 30° （两直线平行，内错角相等），
\ÐFEC = ÐAEC - ÐAEF = 70° - 30° = 40° ，
QÐC = 40° ，
\ÐFEC = ÐC ，
\ EF / /CD （内错角相等，两直线平行）．又Q EF / / AB ，

\ AB / /CD （平行于同一直线的两直线平行）．
2
3
3
故答案为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．

18．（6 分）计算：
3(2 -
)- | -3
| + 3 125 ．

【解答】解：
3(2 -
)- | -3
| + 3 125

2
3
3
3
3
= 2 - 2 - 3 + 5

3
= 3 - ．
19．（8 分）解下列方程组：
ìx = 3y


ì5x + 6 y = 20

（1） í2x - y = 10 ； （2） í6x + 5 y = 24 ．
î î
ìx = 3y①
î
【解答】解：（1） í2x - y = 10② ，
将①代入②得： 6 y - y = 10 ， 解得： y = 2 ，
将 y = 2 代入①得： x = 6 ，
ìx = 6
î
故原方程组的解为í y = 2 ；
ì5x + 6 y = 20①
î
（2） í6x + 5 y = 24② ，
① + ②整理得： x + y = 4 ③，
② - ①整理得： x - y = 4 ④，
③ + ④得： 2x = 8 ， 解得： x = 4 ，
将 x = 4 代入③得： 4 + y = 4 ， 解得： y = 0 ，
ìx = 4
î
故原方程组的解为í y = 0 ．

20．（8 分）如图，平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-3, -2) ，B(2, -4) ，C(-2, -4) ，按要求画图：将三角形 ABC 平移至三角形 A1B1C1 ，使 A 与 A1 (-1, 4) 重合，直接写出点 B1 和C1 的坐标，并写出过程求三角形C1 AB 的面积．

【解答】解：由题意得，三角形 ABC 向右平移 2 个单位长度，向上平移 6 个单位长度得到的三角形 A1B1C1 ． 如图，三角形 A1B1C1 即为所求．

由图可得，点 B1 (4, 2) ， C1 (0, 2) ．
三角形C AB 的面积为 1 ´ (4 + 6) ´ 5 - 1 ´ 3 ´ 4 - 1 ´ 2 ´ 6 = 25 - 6 - 6 = 13 ．

1 2 2 2
21．（10 分）如图， AB / /CD ， CG 交 AB 于 A ， EF 交 AB 于 A ，交CD 于 E ．
（1） 若ÐBED = ÐGAB ，求证： AC / / BE ；
（2） 若 AG 平分ÐFAB ， ÐC = 40° ，求ÐCAF 的大小．
【解答】（1）证明：Q AB / /CD ，
\ÐGAB = ÐC ，

QÐBED = ÐGAB ，
\ÐBED = ÐC ，
\ AC / / BE ；
（2）解：QÐC = 40° ， ÐGAB = ÐC ，
\ÐGAB = 40° ，
Q AG 平分ÐFAB ，
\ÐFAG = ÐGAB = 40° ，
QÐFAG + ÐCAF = 180° ，
\ÐCAF = 140° ．
22．（10 分）如图，直线l1 / /l2 ， A 、 N 为直线l1 上的点，过点 A 的直线交l2 于点 B ， C 在线段 BA 的延长线上． D 、 E 为直线 l2 上的两个动点， D 在 B 的右侧， E 在 D 的右侧，连接 AD ， AE ，满足
ÐAED = ÐDAE ．点 M 在l2 上，且在点 B 的左侧．
（1）如图 1，若ÐBAD = 25° ， ÐAED = 50° ，则ÐABM 的度数为 125° ；
（2）如图 2，射线 AF 为ÐCAD 的角平分线．
①用等式表示ÐEAF 与ÐABD 之间的数量关系，并给出证明；
②当ÐABM + ÐEAF = 150° 时， ÐEAF 的度数为 ．

【解答】解：（1）如图1:Ql1 / /l2 ，
\ÐABM = ÐBAN ， ÐNAE = ÐAED = 50° ，
QÐBAD = 25° ， ÐDAE = ÐAED = 50° ，
\ÐABM = ÐBAN = ÐBAD + ÐDAE + ÐNAE = 25° + 50° + 50° = 125° ， 故答案为：125° ；
（2）① ÐABD = 2ÐEAF ， 证明：Ql1 / /l2 ，
\ÐCAN = ÐABD ， ÐNAE = ÐAED ，
又Q AF 平分ÐCAD ，
\ÐDAF = ÐCAF = 1 ÐCAD ，
2

QÐDAE = ÐAED = ÐNAE ，
\ÐDAE = ÐNAE = 1 (ÐDAE + ÐNAE) = 1 ÐDAN ，
2 2
\ÐEAF = ÐDAF - ÐDAE = 1 ÐCAD - 1 ÐDAN = 1 ÐCAN = 1 ÐABD ．
2 2 2 2
即ÐABD = 2ÐEAF ；
②Ⅰ、如图所示：点 D 在点 B 右侧，此时有ÐEAF = 1 ÐABD ，
2

QÐABM + ÐEAF = 150° ，
\ÐABM + 1 ÐABD = 150° ，
2
又QÐABM + ÐABD = 180° ，
\ 1 ÐABD = 180° - 150° = 30° ，
2
\ÐEAF = 30° ；
Ⅱ如图所示，点 D 在点 B 左侧，点 E 在点 B 右侧，
Q AE 平分ÐCAD ，
\ÐDAF = 1 ÐCAD ，
2
Ql1 / /l2 ，
\ÐAED = ÐNAE ， ÐCAN = ÐABE ，

QÐDAE = ÐAED = ÐNAE ，
\ÐDAE = 1 (ÐDAE + ÐNAE) = 1 ÐDAN ，
2 2
\ÐEAF = ÐDAF + ÐDAE = 1 (ÐCAD + ÐDAN ) = 1 ´ (360° - ÐCAN ) = 180° - 1 ÐABE ，
2 2 2
QÐABE + ÐABM = 180° ，
\ÐEAF = 180° - 1 (180° - ÐABM ) = 90° + 1 ÐABM ，
2 2
又QÐEAF + ÐABM = 150° ，
\ÐEAF = 90° + 1 (150° - ÐEAF ) = 165° - 1 ÐEAF ，
2 2
\ÐEAF = 110° ；
Ⅲ如图， D 、 E 均在 B 点左侧，

此时， ÐDAE = 1 ÐDAN ， ÐDAF = 1 ÐCAD ，
2 2
ÐEAF = ÐDAE + ÐDAF = 1 (360° - ÐCAN ) = 180° - 1 ÐABG = 180° - 1 (180° - ÐABM ) = 90° + 1 ÐABM ，
2 2 2 2
\ÐEAF = 110° ．
综上所述： ÐEAF = 30° 或ÐEAF = 110° ． 故答案为： 30° 或110° ．

23．（12 分）《广州市公共交通票价优惠调整方案》于 2023 年 9 月 1 日正式实施，现有基础票价不变，普
通乘客在一个自然月内，使用同一种支付方式，乘坐广州地铁公交累计实际支出票款不超过 80 元没有优
惠，超过 80 元不超过 200 元部分享受 8 折优惠，超出 200 元部分享受 5 折优惠．
以某普通乘客为例，他在某次乘坐地铁没有优惠时需要支付基础票价 4 元．若他在本月此前已经累计支出
了 120 元，那么他此次需要支付 3.2 元，若他在本月此前已经累计支出了 210 元，那么他此次只需要支付
2 元．已知甲乙都是普通乘客，只地铁出行，每次使用同一张羊城通．
（1） 甲每次的基础票价都是 2 元，已知甲在今年 2 月乘坐地铁共 36 次，上半月比下半月少花 28 元，设甲上半月乘坐地铁 x 次，下半月乘坐地铁 y 次，列方程组解应用题，求甲在 2 月上半月乘坐地铁的次数；
（2） 乙每次的基础票价都是 10 元，已知乙在今年 2 月和 3 月乘坐地铁共 47 次，2 月比 3 月少花 70 元， 设乙在 2 月乘坐地铁 m 次，3 月乘坐地铁 n 次，回答下列问题：
①在不求出 m 、 n 的具体数值的情况下，分析乙在 2 月和 3 月分别享受了哪些优惠？
②根据①的分析结果，列方程组解应用题，求乙在 3 月乘坐地铁总共花费了多少钱？
【解答】解：（1）因为甲上半月乘坐地铁 x 次，下半月乘坐地铁 y 次，
ìx + y = 36 ìx = 11
由题意可得， í2 y - 2x = 28 ，解得í y = 25 ，
î î
答：甲在 2 月上半月乘坐地铁的次数为 11 次；
（2）①乙在 2 月乘坐地铁 m 次，3 月乘坐地铁 n 次， 当 m = 23 时， n = 24 ，
则乙 2 月份的乘坐地铁共花了8 ´10 + 15 ´10 ´ 0.8 = 200 元，
乙 3 月份的乘坐地铁共花了8 ´10 + 15 ´10 ´ 0.8 + (24 - 8 - 15) ´ 0.5 ´10 = 205 元， 与 2 月比 3 月少花 70 元矛盾，
当 m = 24 时， n = 23 ，
则乙 2 月份的乘坐地铁共花了8 ´10 + 15 ´10 ´ 0.8 + 1´10 ´ 0.5 = 205 元， 乙 3 月份的乘坐地铁共花了8 ´10 + 15 ´10 ´ 0.8 = 200 元，
与 2 月比 3 月少花 70 元矛盾，
可见乙在 2 月份只享受了超过 80 元不超过 200 元部分享受 8 折优惠，即 m < 23 ，
则乙在 3 月享受了超过 80 元不超过 200 元部分享受 8 折优惠，超出 200 元部分享受 5 折优惠；
②因为乙在 2 月乘坐地铁 m 次，3 月乘坐地铁 n 次，

ìm + n = 47
ï

80 200 - 80 80

ìm = 18
，解得í ，

í200 + (n - -

) ´10 ´ 0.5 - 70 = 80 + (m -
) ´10 ´ 0.8

în = 29

ïî 10 10 ´ 0.8 10
\ 200 + (n - 80 - 200 - 80) ´10 ´ 0.5 = 200 + (29 - 8 - 15) ´10 ´ 0.5 = 230 ，
10 10 ´ 0.8
答：乙在 3 月乘坐地铁总共花费了 230 元．

24．（12 分）在平面直角坐标系中，M (a, b) ，N (c, d ) ，对于任意的实数 k ¹ 0 ，我们称 P(ka + kc, kb + kd ) 为点 M 和点 N 的 k 系和点．
例如，已知 M (2, 3) ， N (1, -2) ，点 M 和点 N 的 2 系和点为 K (6, 2) ．
已知 A(1, 2) ， B(2, 0) ．
（1） 点 A 和点 B 的 3 系和点的坐标为 (9, 6) ；
（2） 已知点C(m, 2) ，若点 B 和点C 的 k 系和点为点 D(n, n) ．
①求 m 的值；
②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点 D 为整点，且三角形 BCD 的内部（不包括边界）恰有 3
个整点，则 k 的值为 ；
③若三角形 BCD 的面积为 14，求点 D 的坐标．

【解答】解：（1）Q A(1, 2) ， B(2.0) ，
根据新定义有3 ´1 + 3 ´ 2 = 9 ， 3 ´ 2 + 3 ´ 0 = 6 ，
\点 A 和点 B 的 3 系和点的坐标为(9, 6) ， 故答案为： (9, 6) ；
（2）①Q点 D(n, n) 为 B(2, 0) 和C(m, 2) 的 k 系和点，
\ n = 2k + mk ， n = 2k ，即 D(2k + mk, 2k ) ，
\ 2k + mk = 2k ，
\ mk = 0 ，
Q k ¹ 0 ，
\ m = 0 ；
②Q m = 0 ，
\ D(2k, 2k ) ， C(0, 2) ，
Q点 D 在一三象限角平分线上，如图，

Q点 D 为整点，且三角形 BCD 的内部（不包括边界）恰有 3 个整点，
\符合条件的点有两个，且坐标分别为(-1, -1) ， (3, 3) :
\ 2k = 3 或 2k = -1 ，
\ k = 3 或- 1 ，
2 2
故答案为： 3 或- 1 ；
2 2
③Q B(2, 0) ， C(0, 2) ，
\DOBC 的面积为 2，
当点 D 在第一象限时，四边形OBDC 的面积为 16，
\DOBD 的面积为 8，
Q D(2k, 2k ) ，
\ 1 ´ 2 ´ 2k = 8 ，解得 k = 4 ，
2
\点 D 的坐标为(8,8) ；
当点 D 在第三象限时，四边形OBDC 的面积为 12．
DOBD 的面积为 6，
Q D(2k, 2k ) ，
\ 1 ´ 2 ´ 2k = 6 ，解得 k = 3 ，
2
\点 D 的坐标为(-6, -6) ，
综上，点 D 的坐标为(-6, -6) 或(8,8) ．