中考数学压轴题抛物线与圆含答案.doc

中考数学压轴题分类强化训练3-抛物线与圆
1、如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C1DE的位置。
(1)求C1点的坐标；
(2)求经过三点O、A、C1的抛物线的解析式；
(3)如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；
(4)抛物线上是否存在一点M，使得．若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
解(1)C1(3，)
(2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为y＝ax2＋bx
把A(2，0)，C`(3，)带入，得 解得a＝，b＝－
∴抛物线解析式为y＝x2－x
(3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°
又AB＝2 ∴AF＝4 ∴OF＝2 ∴F(－2，0)
设直线BF的解析式为y＝kx＋b
把B(1，)，F(－2，0)带入，得 解得k＝，b＝
∴直线BF的解析式为y＝x＋
(4)①当M在x轴上方时，存在M(x，x2－x)
S△AMF：S△OAB＝[×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3
得x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2
当x1＝4时，y＝×42－×4＝；
当x1＝－2时，y＝×(－2)2－×(－2)＝
∴M1(4，)，M2(－2，)
②当M在x轴下方时，不存在，设点M(x，x2－x)
S△AMF：S△OAB＝[－×4×(x2－x)]：[×2×4]＝16：3
得x2－2x＋8＝0，b2－4ac＜0 无实解
综上所述，存在点的坐标为M1(4，)，M2(－2，)．
2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于
点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．如果
存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；
（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再
到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．.
解：（1）联结PA，PB，PC，过点P作PG⊥BC于点G．
∵⊙P与y轴相切于点A，
∴PA⊥y轴，
∵P（2，），
∴OG=AP=2，PG=OA=
∴PB=PC=2．
∴BG=1．
∴CG=1，BC=2．
∴OB=1，OC=3．
∴ A（0，），B（1，0），C（3，0）
根据题意设二次函数解析式为：，
∴，解得a=．
∴二次函数的解析式为：
（2）存在．点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，）
（3）∵=，
∴抛物线的顶点Q（2，）．
作点P关于y轴的对称点P’，则P’（-2，）．
联结P’ Q，则P’ Q是最短总路径， 根据勾股定理，可得P’ Q=
3．如图，在直角坐标系xoy中，已知点，过P作交轴于点，以点为圆心为半径作⊙P，交轴于点，抛物线经过A，B，C三点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求出该抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积是面积

的2倍？若存在，请求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由．
解：（1）过作交于,
由题意得:,
（2）设该抛物线解析式为：，则有
解之得
故该抛物线的解析式为
（3）存在
∴与都是等边三角形
∴过两点的直线解析式为：
则可设经过点且与平行的直线解析式为：
且有解之得即
解方程组得
也可设经过点且与平行的直线解析式为：
且有解之得即
解方程组得
4．如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）若抛物线经过两点，求抛物线的解析式，并判断点是否在该抛物线上．
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点，使得的周长最小．
（3）设为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点，使得四边形是平行四边形．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1），,　，
　　　　　又在中，，
　　　　　,　的坐标为
　　　　又两点在抛物线上，
　　　　　解得
　　　　　抛物线的解析式为：
　　　　　当时，, 点在抛物线上
　　　　（2）
　　　　　抛物线的对称轴方程为
　　　　　在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小．
　　　　　的长为定值　　　要使周长最小只需最小．
　　　　连结，则与对称轴的交点即为使周长最小的点．
　　　　设直线的解析式为．
　　　　　由得,　直线的解析式为
　　　由得,　　故点的坐标为
　　（3）存在，设为抛物线对称轴上一点，在抛物线上要使四边形为平行四边形，则且，点在对称轴的左侧．
　于是，过点作直线与抛物线交于点
　　由得,　从而，
　故在抛物线上存在点，使得四边形为平行四边形．
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