误差原理第四章-最小二乘法讲课稿.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4、最小二乘原理,1）最小二乘法原理,n,次,重复测量（,x,1,x,2,x,n,）,最佳估计,残差 平方和最小,-残差平方和最小,4.1 经典最小二乘法,一.两个未知量情况,注意到方程组形式上有如下特点：,(1)沿主对角线分布着平方项系数,(2)以主对角线为对称线，对称分布的各系数彼此两两相等。,都为正数。,例4.1,在不同温度下测定铜捧的长度如下表，试估计,时的铜棒长度 和铜的线膨胀系数,。,二.T个未知量的情况,解 列出误差方程,式中,在温度,下铜捧长度的测得值；,铜棒的线膨胀系数。,为两个待求估计参数，则误差方程可写为,令,根据误差方程，我们可列出正规方程,又,将以上计算的相应系数值代入上面的正规方程得,解得,即,因此铜棒长度随温度的线性变化规律为,三、不等精度测量线性参数最小二乘法处理,不等精度误差方程转化为等精度误差方程为,例4-2,已知测量方程,对,的测量数据及其相应的标准差为,试列出最小二乘估计的正规方程。,解 列出残余误差方程,确定各测量数据的权。,根据误差方程及各测量数据的权，我们写出正规方程,式中,则正规方程为,四、非线性参数最小二乘法,非线性转化为线性：,为获得非线性函数的展开式必须首先确定待求估计量的近似,值，其方法有二个：,(1)直接测量：若条件允许，可直接测量待求量,，,(2)利用部分方程式进行计算。,即可作为其近似值。,所得结果,例4-3,将下面的非线性残余方程组化成线性的形式。,取方程组中前二式，令,，则可得,与,的近似值，即,处展开，取一次项，有,将函数在,代入残差方程，得线性残差方程,五、对同一量重复测量数据的最小二乘法,4.2精度估计,一、测量数据的精度估计,1.等精度测量数据的精度估计,例4-4,试求例4-1中铜棒长度的测量精度。,解 已知残余误差方程,可得残余误差为,则标准差为,2不等精度测量数据的精度估计,二、最小二乘估计量的精度估计,1.等精度测量时最小二乘估计量的精度估计,标准差为,式中,测量数据的标准差,2.不等精度测量的情况,不等精度测量的情况与等精度的类似,例4-5 试求例4-1中铜棒长度和线膨胀系数估计量的精度。,解 已知正规方程为,测量数据,的标准差为,求解不定乘数的方程为,解得,估计量的标准差为,因,故,例4-6,已知,，测得,的值为,，并已知,试用最小二乘法求,及其误差。,解 第一步，残余误差方程组,已知,代入上式得,第二步，正规方程,则,解得,第三步，测量数据精度估计,则测量数据标准差为,第四步，估计量精度估计,求解不定乘数,解得,则估计量的标准差为,4.3矩阵最小二乘法,一、线性模型,二、最小二乘法解,1.等精度情况下的矩阵形式的正规方程,2.不等精度测量时，正规方程可表示为,三、待求量稻度估计,等精度测量,不定乘数,2.不等精度测量,不定乘数,