正弦定理练习--含答案.doc

课时作业1　正弦定理
时间：45分钟　　总分值：100分
课堂训练
1．(2021·湖南理，3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.假设2asinB＝b，那么角A等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】　D
【解析】　此题考察了正弦定理由＝，得sinA＝，
∴∠A＝.
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，∠A＝，a＝，b＝1，那么c等于(　　)
A．1 B．2
C.－1 D.
【答案】　B
【解析】　由正弦定理＝，
可得＝，sinB＝，
故∠B＝30°或150°，
由a>b，得∠A>∠B.
∴∠B＝30°，故∠C＝90°，
由勾股定理得c＝2，应选B.
3．在△ABC中，假设tanA＝，C＝π，BC＝1，那么AB＝________.
【答案】　
【解析】　∵tanA＝，且A为△ABC的内角，∴sinA＝.由正弦定理得AB＝＝＝.
4．在△ABC中，假设∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的周长．
【分析】　此题是两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC，但BC的对角∠A未知，只知道∠B，可结合条件由正弦定理先求出∠C，再由三角形内角与定理求出∠A.
【解析】　由正弦定理，得sinC＝＝.
∵AB>AC，∴∠C>∠B，
又∵0°<∠C<180°，∴∠C＝60°或120°.
(1)如图(1)，当∠C＝60°时，∠A＝90°，BC＝4，△ABC的周长为6＋2；
(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2.
综上，△ABC的周长为6＋2或4＋2.
【规律方法】　三角形两边与其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，假设最大，那么有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否那么只有一解，且为锐角．
课后作业
一、选择题(每题5分，共40分)
1．在△ABC中，sinA＝sinC，那么△ABC是(　　)
A．直角三角形　　　　　　 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】　B
【解析】　∵sinA＝sinC，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，应选B.
2．△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么abc＝(　　)
A．1:2:3 B．1:2:
C．1: : D．1: :2
【答案】　D
【解析】　设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k，由∠A＋∠B＋∠C＝180°得，k＋2k＋3k＝180°，∴k＝30°，故∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.
由正弦定理得a:b:c＝sinA:sinB:sinC＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: :2.
3．在△ABC中，a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，那么(　　)
A．b＝4 B．b＝4
C．b＝4 D．b＝
【答案】　C
【解析】　∠A＝180°－60°－75°＝45°，由＝可得b＝＝＝4.
4．△ABC中，a＝1，b＝，A＝，那么B＝(　　)
A. B.π
C.或π D.π或
【答案】　C
【解析】　由＝得sinB＝，
∴sinB＝＝，∴B＝或π.
5．在△ABC中，∠A＝30°，a＝8，b＝8，那么△ABC的面积S等于(　　)
A．32 B．16
C．32或16 D．32或16
【答案】　D
【解析】　由正弦定理，知
sinB＝＝＝，
又b>a，∴∠B>∠A，∴∠B＝60°或120°.
∴∠C＝90°或30°.
∴S＝absinC的值有两个，即32或16.
6．在△ABC中，＝＝，那么△ABC的形状为(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】　D
【解析】　∵＝＝，即sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝，又cosA≠cosB，∴∠A≠∠B，∴∠A＋∠B＝，∴△ABC为直角三角形．
7．△ABC中，2sinB－3sinA＝0，∠C＝，S△ABC＝6，那么a＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】　B
【解析】　由正弦定理得＝，故由2sinB－3sinA＝0，
得2b＝3a.①
又S△ABC＝absinC＝absin＝6，
∴ab＝24.②
解①②组成的方程组得a＝4，b＝6.应选B.
8．在△ABC中，∠A＝60°，a＝，那么等于(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D．2
【答案】　B
【解析】　由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC得
＝2R＝＝＝.
二、填空题(每题10分，共20分)
9．在△ABC中，sin2A＋sin2B＋sin2C的值为________．
【答案】　0
【解析】　可利用正弦定理的变形形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC代入原式即可．
10．在锐角三角形ABC中，假设∠A＝2∠B，那么的取值范围是________．
【答案】　(，)
【解析】　∵△ABC为锐角三角形，且∠A＝2∠B，
∴∴<∠B<.
∵∠A＝2∠B，∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB，∴＝＝2cosB∈(，)．
三、解答题(每题20分，共40分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(1)在△ABC中，a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求b.
(2)在△ABC中，∠A＝45°，a＝2，b＝，求B.
【解析】　(1)∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理＝，得b＝a·＝5·＝5.
(2)由正弦定理＝，得sinB＝＝＝.
又∵0°<∠B<180°，且a>b，∴∠B＝30°.
【规律方法】　(1)中要注意在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．
12．在△ABC中，sinA＝，判断△ABC的形状．
【分析】　当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．
【解析】　∵sinA＝，
∴sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC.
∵∠A＋∠B＋∠C＝π，
∴sinAcosB＋sinAcosC＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．
∴sinAcosB＋sinAcosC
＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAcosB＋cosAsinB.
∴cosAsinC＋sinBcosA＝0.
∴cosA(sinB＋sinC)＝0.
∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sinB＋sinC≠0.
∴cosA＝0，∴∠A＝，∴△ABC为直角三角形．
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