高数期末考试题.doc

往届高等数学期终考题汇编
2009-01-12
一．解答下列各题(6*10分):
1．求极限.

2.设,求.

3.设，求.

4.判定级数的敛散性.

5.求反常积分.

6.求.

7..
8.将在上展为以为周期的付里叶级数，并指出收敛于的区间.
9.求微分方程的解.
10.求曲线和直线所围平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
二.(8分)将展开为的幂级数,并指出其收敛域.
三.(9分)在曲线上取点,过点作平行于轴的直线,由直线,轴及曲线所围成的图形记为,由直线,直线及曲线所围成的图形面积记为,问为何值时,取得最小值.
四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度和物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间?
五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）)
（1）证明级数在上一致收敛.
（2）求幂级数的收敛域及和函数.
六.(6分)设,试证存在,使

2008．1．15

一．解答下列各题(6*10分):

1.计算极限.
2.设求.
3.设求.
4.判定级数的敛散性.
5.计算反常积分.
6.计算不定积分.
7.计算定积分.
8.求函数在上展成以4为周期的正弦级数.
9.求微分方程的通解.
10.求由曲线及所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积.
二.(9分)证明:当时,有
.
三.(9分) 设抛物线通过点,为了使此抛物线和直线所围成的平面图形的面积最小,试确定和的值.
四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？
五．（8分）求幂级数的收敛域及其和函数.
六.(6分)设函数在的邻域内有连续的一阶导数,且,
证明:条件收敛.

2007年1月
一. 计算下列各题(6*10分):
1．计算极限.
2. 设,求.
3.设求.
4. 判定级数的敛散性.
5. 计算反常积分.
6设为的原函数, 求.
7. 将展开成以为周期的傅立叶正弦级数,并求此级数分别在和两点的收敛值.
8. 将函数展开为的幂级数,并指出其收敛域.
9求微分方程的通解.
10. 求抛物线和所围图形的面积.
二. (9分) 若函数在点可导. 求和.
三. (9分) 在曲线上求一点,使得过该点的切线和两个坐标轴所围平面图形的面积最大,并求出此最大面积.
四(8分)半径为的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度为多少?
五.(8分)求幂级数的和函数并求出级数的和.
六. (6分) 已知函数在上可导, 且并满足等式
, 求并证明

2006年1月
一. 计算下列各题(6*10分):
1.
2.设, 求.
3.设, 求.
4. 判定级数的敛散性.
5. 设由方程所确定,求.
6.计算不定积分.
7. 将, 展成以为周期的傅立叶级数.
8. 将函数展成的幂级数, 并指出收敛区间.
9. 求微分方程的通解.
10. 设曲线和交于点A, 过坐标原点和点的直线和曲线围成一个平面图形. 问: 当为何值时,该图形绕轴旋转一周所产生的旋转体体积最大?

二. (8分) 证明不等式: 当时, , .
三. (9分). 设, 求.
四. (9分). 一物体在某一介质中按作直线运动,已知介质的阻力和物体速度的平方成正比, 计算物体由移动到时克服阻力所作的功.
五. (9分) 求级数的和.
六. (5分). 设, , 证明:
.

2005年1月15日
一. 解答下列各题（6×10分）
1． 计算极限
2． 设，求.
3． 设在处可导,求常数和.
4． 判定级数的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
5． 设由方程所确定,求.
6． 设连续,且满足.求.
7． 求的极值.
8． 计算不定积分.
9． 计算定积分.
10． 求由曲线, 直线, 所围成的平面图形绕轴旋转一周所产生的旋转体的体积.
二. (8分). 试证明不等式时, .
三. (9分) 将函数展成的幂级数,并指出收敛区间.
四. (9分) 已知在的邻域内可导, 且,.
求极限.
五.(8分) 求幂级数的收敛域及和函数.
六. (6分) 设在上连续, 在内可导, 且, .
证明

2004年1月

一、解下列各题
1、
2、设,求
3、求不定积分
4、求不定积分
5、求定积分
6、求由曲线及轴围成的图形的面积。
7、判定级数的敛散性
8、将展开为的幂级数，并求收敛域。
9、求幂级数的收敛域及和函数。
10、曲线上哪一点的法线在轴上的截距最小
二、证明：当时，
三、设某产品的成本函数为，需求函数为，其中为成本，为需求量(也是产量)，为单价，都是正常数，且。求(1)
利润最大时的产量及最大利润；(2)需求价格弹性 ；(3) 需求价格弹性的绝对值小于1时的产量。
四、曲线轴旋转一周，得一旋转体，若把它在和之间部分的体积记为，试求
五、设为上连续，且，求证：在内存在一点，在

2003年1月

一、解下列各题
1、
2、设由方程确定，求
3、设在点连续，试确定的值
4、判定级数的敛散性
5、设曲线方程为，求此曲线在点处的切线方程
6、设在点处有，而在点及其邻域有定义且有界，试证明函数在点处可导，并求
7、将展开成周期为的付立叶正弦级数
8、计算不定积分
9、计算定积分
10、求由所围成的平面图形绕轴旋转所成的立体的体积
二、证明：当时，
三、A，B两厂在直河岸的同侧，A沿河岸，B离岸4公里，A和B相距5公里，今在河岸边建一水厂C，从水厂C到B厂每公里水管材料费是A厂的倍，水厂C设在离A厂多远处才使两厂所耗总的水管材料费最省？
四、试求幂级数的收敛域及和函数
五、设为上单减连续函数，有，证明当时，为单调减函数
六、设在上连续，在内可导，且，证明：存在一点，使得
七、已知可导函数满足，求

2002年1月
一、试解下列各题(每小题5分，共25分)
1．求极限。
2．设，研究在点处的左连续性和右连续性。
3．设，求。4．求函数的单调区间。
5．计算定积分。
二、解下列各题(每小题5分，共25分)。1．求极限；
2．设函数由方程所确定，求。
3．求积分；　　 4．求极限；
5．试判定级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
三、(7分)求积分。
四、(7分)将函数，展开成以为周期的傅里叶级数，其中为常数。
五、(7分)将函数展开成的幂级数，并指出收敛区间。
六、(7分)试证明不等式，其中。
七、(8分)一容器由抛物线绕轴旋转而成，其容积为，其中盛满水，水的比重为1，现将水从容器中抽出，问需作多少功？
八、(8分)设水以匀速注入右图所示的罐中，直至将将水罐注满。
1) 画出水位高度随时间变化的函数的图形(不要求精确图形，但应画出曲线凹凸性并表示出拐点)
2) 何处增长的最快，何处最慢？并估计这两个增长率的比值。
九、(6分)设函数在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，并且满足，试证存在一点，使。

2000年1月
一、求解下列各题：（每小题6分，共60分）
1．设，求。 2．求极限。
3．将展开成以4为周期的傅里叶级数。
4．试求过点且和曲线上点的切线相垂直的直线方程。
5．设，求。 6．将展开为的幂级数。
7．设是由曲线和三条直线，，所围成的曲线梯形，求绕轴旋转一周所得旋转体积。
8．求极限。　　　　9．求不定积分。
10．判别级数的敛散性。
二、（8分）求不定积分。 三、（8分）求定积分。
四、（8分）设，其中有二阶连续导数。且，。 1)求； 2) 讨论在上的连续性。
五、（8分）试确定的值，使曲线和该曲线在及两点处的法线所围成图形面积最小。（其中）。
六、（8分）设，
求极限

98年1月
一、填空题
1．2．在上的最小值为
3．设，则
4．设，则
5．设在条件收敛，则的敛区为
二、选择题
1．当时，变量是（ ）
A) 无穷小 B) 无穷大 C) 有界但不是无穷小 D) 无界但不是无穷大
2．是的（ ）间断点
A) 跳跃 B) 可去 C) 无穷 D) 振荡
3．若是导函数是，则有一个原函数为（ ）
A)B)C)D)
4．设，则在处（ ）
A) 不连续 B) 连续但不可导 C)可导但导数不连续 D) 可导且导数连续
5．设是的以为周期的傅里叶正弦级数的和函数，则等于（ ）
A)B) 1 C)D) -1
三、设由所确定，求。
四、计算。 五、计算。
六、计算。 七、证明：当时，。
八、讨论的敛散性。 九、求。
十、求由和所围图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积。
十一、设在上具有二阶导数，且，，证明：存在和使及。

99年1月
一、填空题
1． 2．设，则
3．设由确定，则
4．的收敛域为。 5．。
二、选择题
1．设，都可微，则（ ）
A) B) C) D)
2．是的（ ）型间断点
A) 可去 B) 跳跃 C) 无穷 D) 振荡
3．下列命题中哪一个是正确的？（ ）
A) 在中的极值点，必定是使。
B) 的点必定是的极值点。
C) 在内取得极值的点处，其导数必不存在。
D) 的点是可能取得极值的点。
4．设，则（ ）
A)B)C)D)
5．曲线和轴所围部分的面积为（ ）
A)B) C) D)
三、求不定积分。　　 四、求不定积分。
五、将展开成以为周期的傅里叶级数。
六、将展开成的幂级数。
七、求。　　　 八、计算
九、设在上二阶可导，且，。证 在上单调增。
十、求曲线，，，所围成的平面图形的面积，并求该图形绕轴旋转一周所得立体的体积。
十一、设在某邻域内具有连续的二阶导数且，
证明：级数绝对收敛。
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