高等代数北大版第6章习题参考答案.doc

第六章 线性空间
1.设证明：。
证 任取由得所以即证。又因故。再证第二式，任取或但因此无论哪 一种情形，都有此即。但所以。
2.证明，。
证则在后一情形，于是所以，由此得。反之，若，则 在前一情形，因此故得在后一情形，因而，得故
于是。
若。
在前一情形X，。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1） 次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
2） 设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
；
7） 集合和加法同6），数量乘法定义为：
；
8） 全体正实数r，加法和数量乘法定义为：
，；
解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如
。
2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵}
因为
f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）
所以
f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法和数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：
当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
，A+B仍是反对称矩阵。
，所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，-b）。对于数乘：

即。

＝，

＝
＝
＝
＝，
即，所以，所给集合构成线性空间。
6）否，因为。
7）否，因为，
所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足

所以，所给集合构成线性空间。
4在线性空间中，证明：1） 2）。
证 1）。
2）因为。
5证明：在实函数空间中，1，式线性相关的。
证 因为，所以1，式线性相关的。
6 如果是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。
证 若有不全为零的数使，
不妨设则，这说明的公因式也是的因式，即有非常数的公因式，这和三者互素矛盾，所以线性无关。
7 在中，求向量在基下的坐标。设
1）；
2）。
解 1）设有线性关系，则，
可得在基下的坐标为。
2）设有线性关系，则，
可得在基下的坐标为。
8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间P；2）P中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间,其中A=。
解 1)的基是且。
2) i)令，即其余元素均为零,则 是对称矩阵所成线性空间 的一组基,所以是维的。
ii)令，即其余元素均为零,则是反对称矩阵所成线性空间的一组基, 所以它是维的。
iii)是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是维的。
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数,可经2线性表出，即.,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。
4)因为,,所以，
于是， 而。
9.在中,求由基，到基的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标。设
，，
在下的坐标；
，，
在下的坐标；
，，
在下的坐标；
解 （）=（）=（）A
这里A即为所求由基到的过渡矩阵，将上式两边右乘得，
得 （）=（），
于是
（）=（），
所以在基下的坐标为
，
这里=。
令则
（）=()=()A，
（）=()=()B，
将()=（）代入上式,得
（）=（）B，
这里
=,B=，
且即为所求由基到基的过渡矩阵，进而有
=()=（）
=（），
所以在下的坐标为。
同，同理可得
A=B=
=
则所求由到的过渡矩阵为
B=。
再令+b+c+d，即
，
由上式可解得在下的坐标为下的坐标为
。
10．继第9题1）求一非零向量，它在基和下有相同的坐标。
解 设在两基下的坐标为，则
=（）=（）。
又因为
（）=（）=（）A，
所以
=A（A - E）=0。
又
，
于是只要令
，
解此方程组得
= (c为任意非零常数)，
取c为某个非零常数，则所求为
。
11.证明：实数域作为它自身的线性空间和第3题8）中的空间同构。
证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。
12.设都是线性空间的子空间，且，证明：如果的维数和的维数相等，那么。
证 设dim()=r，则由基的扩充定理，可找到的一组基，因，且它们的唯数相等，故，也是的一组基，所以=。
13．。
1）证明：全体和可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）；
2）当A=E时，求C（A）；
3）当A=时，求C（A）的维数和一组基。
证 1）设和A可交换的矩阵的集合记为C(A)。若B,D属于C(A)，可得
A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A，
故 B+DC(A)。若k是一数，B，可得
A（kB）=k(AB)=k(BA)=(kB)A，
所以kBC(A)。故C(A)构成子空间。
2）当A=E时，C（A）=。
3）设和A可交换的矩阵为B=（），则B只能是对角矩阵，故维数为n,即为它的一组基。
14.设求中全体和可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。
解 若记
A=，
并设B=和A可交换，即AB=BA，则SB=BS。且由
SB=，
BS==，
可是，
又 ，
即，
该方程组的系数矩阵的秩为2，所以解空间的维数为5。取自由未知量a,，并
令b=1，其余为0，得=3,a=3;
令=1，其余为0，得=3,a=;
令=1，其余为0，得=1,a=1;
令=1，其余为0，得=0,a=;
令=1，其余为0，得=1,a=1;
则和A可交换的矩阵为
B=，
其中,a,可经b,表示,所求子空间的一组基为
, ,, ,，
且维数为5。
15．如果 且，证明：L=L。
证 由，知所以a可经线性表出，即可经线性表出，同理，也可经线性表出。故L=L。
16．在中，求由下面向量组生成的子空间的基和维数。设
1）， 。
解 1）的一个极大线性无关组，因此为L的一组基，且的维数是3。
2）的一个极大线性无关组为，故是L的一组基，且维数为2。
17．在中，由齐次方程组

确定的解空间的基和维数。
解 对系数矩阵作行初等变换，有

所以解空间的维数是2，它的一组基为
，。
18.求由向量生成的子空间和由向量生成的子空间的交的基和维数，设
1）；
2）；
3）。
解 1）设所求交向量 ，
则有 ，
即 ，
可算得， 且，
因此方程组的解空间维数为1，故交的维数也为1。任取一非零解＝，得一组基 ，
所以它们的交L是一维的，就是其一组基。
2）设所求交向量 ，
则有 ，
因方程组的系数行列式不等于0，故方程组只有零解，即从而
交的维数为0。
3）设所求交向量为 ，
即 ，
由 知解空间是一维的，因此交的维数是1。令，可得，因此交向量就是一组基。
19． 设和分别是齐次方程组的解空间，证明：
证 由于的解空间是你n－1维的，其基为而由
知其解空间是1维的，令则其基为且即为的一组基，从而又，故 。
20． 证明：如果那么 。
证 由题设知 因为 所以
， 又因为 所以

故， 即证。
21. 证明：每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。
证 设是n维线性空间V的一组基。显然都是V的一维子空间，且 ＝V ，又因为
，
故。
22．证明：和是直和的充分必要条件是。
证 必要性是显然的。这是因为，所以
。
充分性 设不是直和，那么0向量还有一个分解，
其中。在零分解式中，设最后一个不为0的向量是 则 ，即 ，
因此，这和矛盾，充分性得证。
23.再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成
一个三维线性空间R。
1） 问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？
2） 设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间
问能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;
3）就用该三维空间的例子来说明，若U,V,X,Y是子空间，满足U+V＝X，XY，是否一定有。
解 1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在
不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。
2) ；
（1）直线和重合时，是一维子空间；
（2）和不重合时，时二维子空间。
：
（1） 重合时，构成一维子空间；
（2） 在同一平面上时，构成二维子空间；
（3） 不在同一平面上时，构成三维子空间。
3） 令过原点的两条不同直线，分别构成一维子空间U和V，X＝U＋V是二维子空间，在，决定的平面上，过原点的另一条不和，相同的直线构成一维子空间Y，显然因此，
故 并不成立。
二．补充题参考解答
1．1）证明：在P[x]中，多项式
（i＝1，2，…，n）是一组基，其中是互不相同的数；
2)在1）中，取是全体n次单位根，求由基1，到基的过渡矩阵。
证 1）设 ，将代入上式 ，得
，
于是＝0。同理，将分别代入，可得
，
所以线性无关。而P[x]是n维的，故是P[x]的一组基。
2）取为全体单位根则
，
，
...........................................................
，
故所求过渡矩阵为。
2．设是n维线性空间V的一组基，A是一个n×s矩阵，且，
证明：的维数等于A的秩。
证 只需证的极大线性无关组所含向量的个数等于A的秩。设，
且。不失一般性，可设A的前r列是极大线性无关组，由条件得，
可证构成，的一个极大线性方程组。事实上，设，
于是得，
因为线性无关，所以，
该方程组的系数矩阵秩为故方程组只有零解，于是
线性无关。
其次可证：任意添一个向量后，向量组，一定线性相关。事实上，
设，于是，
其系数矩阵的秩为r<r+1，所以方程组有非零解 即，线性相关。因此，是的极大线性无关组。从而的维数等于A的秩，即等于。
3. 设是一秩为n的二次型，证明：有的一个维子空间
（其中为符号差），使对任一，有＝0。
证 设的正惯性指数为p，负惯性指数为q，则p+q=n。于是存在可逆矩阵，C，Y＝CX，使，
由＝＝。
下面仅对 p<q证明（pq时类似可证）。
将Y=CX展开，有方程组，
任取，
则线性无关，将分别代入方程组，可解得，使得
，且线性无关。
下面证明p维子空间（）即为所要求得。事实上，对任意
（），设，代入得故 即证=（）。
4.设，是线性空间的两个非平凡的子空间，证明：在中存在，使
同时成立。
证 因为，非平凡的子空间，故存在，如果，则命题已证。设
则一定存在，若，则命题也得证。下设，于是有及
，， 因而必有。事实上，若，又
，则由是子空间，必有，这和假设矛盾，即证，同理可证
，证毕。
5． 设是线性空间V的s个非平凡的子空间，证明V中至少有一向量不属于中的任何一个。
证 采用数学归纳法。当n=2时，由上题已证命题成立。
现归纳假设命题对s-1个非平凡的子空间也成立，即在V中至少存在一个向量不属于
中任意一个，如果，则命题已证。
若，对向量，且对P中s不同的数对应的s个
向量中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间换句话说，上述S个向量中至少有一个向量不属于任意一个非平凡子空间，记为，易见也不属于。即证命题对s个非平凡的子空间也成立。即证。
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