离散数学屈婉玲版第一章部分习题.doc

第一章习题
1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.
(1) √2是无理数.
是命题,简单命题:√2是无理数.真值:1
(2) 5能被2整除.
是命题,简单命题:5能被2整除.真值:0
(3) 现在在开会吗?
不是命题.
(4) 5>0.
不是命题.
(5) 这朵花真好看呀!
不是命题.
(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.
是命题,复合命题:2是素数:三角形有3条边«q真值:1
(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.
是命题,复合命题:雪是黑色的:太阳从东方升起. p«q真值:0
(8) 2008年10月1日天气晴好.
是命题,简单命题:2008年10月1日天气晴好.真值唯一.
(9) 太阳系以外的星球上有生物.
是命题,简单命题:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.
(10) 小李在宿舍里.
是命题,简单命题:小李在宿舍里.真值唯一.
(11) 全体起立!
不是命题.
(12) 4是2的倍数或是3的倍数.
是命题,复合命题:4是2的倍数:4是3的倍数∨q真值:1
(13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题:4是偶数:4是奇数∧q真值:0
(14) 李明和王华是同学.
是命题,简单命题: 李明和王华是同学.真值唯一.
(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.
是命题,简单命题: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1
1.3 判断下列各命题的真值.
(1)若 2+2=4,则 3+3=6.
(2)若 2+2=4,则 3+3≠6.
(3)若 2+2≠4,则 3+3=6.
(4)若 2+2≠4,则 3+3≠6.
(5)2+2=4当且仅当3+3=6.
(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.
(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.
(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.
答案:
设p:2+2=4:3+3=6,则都是真命题.
(1)p→q,真值为1.
(2)p→┐q,真值为0.
(3)┐p→q,真值为1.
(4)┐p→┐q,真值为1.
(5)p«q,真值为1.
(6)p«┐q,真值为0.
(7)┐p«q,真值为0.
(8)┐p«┐q,真值为1.
1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。
（1）如果今天是1号，则明天是2号。
p:今天是1号。
q:明天是2号。
符号化为：p®q
真值为：1
（2）如果今天是1号，则明天是3号。
p:今天是1号。
q:明天是3号。
符号化为：p®q
真值为：0
1.5将下列命题符号化。
（1）2是偶数又是素数。
（2）小王不但聪明而且用功。
（3）虽然天气很冷，老王还是来了。
（4）他一边吃饭，一边看电视。
（5）如果天下雨，他就乘公共汽车上班。
（6）只有天下雨，他才乘公共汽车上班。
（7）除非天下雨，否则他不乘公共汽车上班。(意思为：如果他乘公共汽车上班，则天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽车上班)
（8）不经一事，不长一智。
答案：（1）设p：2是偶数，q：2是素数。符号化为：p∧q
（2）设p：小王聪明，q：小王用功。符号化为：p∧q
（3）设p：天气很冷，q：老王来了。符号化为：p∧q
（4）设p：他吃饭：他看电视。符号化为：p∧q
（5）设p：天下雨，q：他乘公共汽车。符号化为：p→q
（6）设p：天下雨，q：他乘公共汽上班。符号化为：q→p
（7）设p：天下雨，q：他乘公共汽车上班。符号化为：q→p或Øq→Øp
（8）设p：经一事，q：长一智。符号化为：Øp→Øq
1.6设的真值为0；的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1） p∨(q∧r)
（2） (p↔r)∧(¬p∨s)
（3） (p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
（4） ¬(p∨(q→(r∧¬p)) → (r∨¬s)
解：（1） p∨(q∧r)
p
q
r
q∧r
p∨(q∧r)
0
0
1
0
0
(2) (p↔r)∧(¬p∨s)
p
q
r
s
p«r
¬p

¬p∨s

(p«r)∧(¬p∨s)

0
0
1
1
0
1
1
0

(3)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
p
q
r
s
q∨r
p∧(q∨r)
p∨q
r∧s
(p∨q)∧(r∧s)
(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)

0
0
1

1
1
0
0
1
0
1
(4) ¬(p∨(q→(r∧¬p)) → (r∨¬s)
p

q
r
s
¬p
r∧¬p
q→(r∧¬p)
(p∨(q→(r∧¬p))
(r∨¬s)
¬(p∨(q→(r∧¬p))→ (r∨¬s)
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1

1．7 判断下列命题公式的类型。
（1）p®(pÚqÚr)
解：
p
q
r
pÚq
pÚqÚr
p®(pÚqÚr)
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1

由真值表可知，该命题公式为重言式。
（2）（p →┑p）→┑ p
p
┑p
p →┑p
（p →┑p）→┑p
0
1
1
1
1
0
0
1

由真值知命题公式的类型是：重言式
（3）┐(q→p)∧p
p
q
q→p
┐（q→p）
┐(q→p)∧p
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
此命题公式是矛盾式。
(4)(p→q)→(﹁q→﹁p)
解:
其真值表为:
p
q
﹁p
﹁q
p→q
﹁q→﹁p
(p→q)→(﹁q→﹁p)
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
由真值表观察,此命题为重言式.
(5)( ﹁p→q) →(q→﹁p)
解:
其真值表为:
p
q
﹁p
﹁p→q
q→﹁p
(﹁p→q)→(q→﹁p)
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式.
（7）（p∨p）→((q∧q) ∧r)
解：
p
q
r
p∨p
q∧q
r
(q∧q)∧r
（p∨p）→((q∧q)∧r)
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0

1
1
1
1
0
0
0

结论：此命题为矛盾式
1.7(8)
(p«q)→﹁(p∨q).
p q
(p«q)
(p∨q)
﹁(p∨q)
(p«q)→﹁(p∨q)
0 0
1
0
1
1
0 1
0
1
0
1
1 0
0
1
0
1
1 1
1
1
0
0
由此可以知道，上式为非重言式的可满足式.
(9) ((ｐ→ｑ)∧(ｑ→ｒ))→(ｐ→ｒ)
解:

p
ｑ
ｒ
ｐ→ｑ
ｑ→ｒ
（ｐ→ｑ）∧（ｑ→ｒ）
ｐ→ｒ
A
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
该命题为永真式
（10）（（p∨q）→r）s

解：
p
q
r
s
p∨q
（p∨q）→r
（p∨q）→r）s
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1

结论：此命题为非重言式可满足式
1.8 用等值演算法证明下列等值式
（1）（p∧q）∨(p∧﹁q) p
证明：
（p∧q）∨(p∧﹁q) （分配律）
p∧(q∨﹁q) （排中律）
p∧1 (同一律)
p

（3）Ø（p « q）Û ( ( p Ú q ) ÙØ ( p Ù q ) )

证明：Ø（p « q）
ÛØ ( ( p ® q ) Ù (q ® p ) )
ÛØ ( (Ø p Ú q ) Ù (Ø q Ú p ) )
ÛØ (Ø p Ú q ) ÚØ ( Øq Ú p )
Û ( p ÙØ q ) Ú ( q ÙØ p )
Û ( ( p ÙØ q ) Ú q ) Ù ( (p ÙØ q ) ÚØ p )
Û ( ( p Ú q ) Ù ( Ø q Ú q ) ) Ù ( ( p ÚØ p ) Ù ( Ø q ÚØ p) )
Û (( p Ú q ) Ù1) Ù (1 Ù ( Ø q ÚØ p) )
Û ( p Ú q ) Ù ( Ø q ÚØ p)
Û ( p Ú q ) ÙØ ( p Ù q )

1.9 用等值演算法判断下列公式的类型。
（1）Ø（（pÙq）®p）.
解：（1）Ø（（pÙq）®p）
ÛØ（Ø（pÙq）Úp）蕴含等值式
ÛØ（Ø（pÙq））ÙØp 德·摩根律
ÛpÙqÙØp 双重否定律
Û pÙØpÙq 交换律
Û0Ùq 矛盾律
Û0 零律
即原式为矛盾式.
(2) ((p®q)Ù (q®p))«(p«q)
解：((p®q)Ù (q®p))«(p«q)
Û(p«q) «(p«q)
Û((p«q) ® (p«q)) Ù((p«q) ® (p«q))
Û(P«q) ® (p«q)
ÛØ(p«q) Ú(p«q))
Û1
即((p®q)Ù (q®p))«(p«q)是重言式。

(3) (Øp→q)→(q→Øp).
解：(Øp→q)→(q→Øp)
ÛØ ((p∨q)) ∨ (Øq∨Øp)
Û (Øp∧Øq) ∨(Øq∨Øp)
Û (Øp∨(Øp∧Øq)) ∧(Øq∨(Øq∨Øp))
Û ( (Øp∨Øp)∨Øq) ∧((Øq∨Øq)∨Øp]
Û (Øp∨Øq) ∧(Øp∨Øq)
Û (Øp∨Øq)
或 (Øp→q)→(q→Øp)
ÛØ ((p∨q)) ∨ (Øq∨Øp)
Û (Øp∧Øq)∨(Øq∨Øp)
Û（ (Øp∧Øq)∨Øq）∨Øp结合律
ÛØp∨Øq 吸收律
结论：该公式为可满足式。
1.12(1)求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）
Û¬(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)
Û (¬p∧(¬q∨¬r)) ∨(p∧q∧r)
Û (¬p∧¬q) ∨(¬p∧¬r)∨(p∧q∧r)
Û ((¬p∧¬q)∧(r∨¬r)) ∨((¬p∧¬r)∧(q∨¬q)) ∨(p∧q∧r)
Û (¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧¬r) ∨(¬p∧q∧¬r) ∨(p∧q∧r)
Û (¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r) ∨(¬p∧q∧¬r) ∨(p∧q∧r)
Û ((¬p∧¬q∧¬r) ∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r) ∨(p∧q∧r)
Ûm0∨m1∨m2∨m7
Û∑(0,1,2,7)
故其主析取范式为
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）Û∑(0,1,2,7)
由最小项定义可知道原命题的成真赋值为
(0,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)
成假赋值为(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)
由主析取范式和主合取范式的关系即可知道主合取范式为
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）Û∏(3,4,5,6)
（3）Ø（p®q）ÙqÙ r
解：Ø（p®q）ÙqÙ r
ÛØ（ØpÚq）ÙqÙr
ÛpÙØqÙqÙr
Û0
既Ø（p®q）ÙqÙ r是矛盾式。Ø（p®q）ÙqÙ r的主合取范式为M0 Ù M1 Ù M2Ù M3 Ù M4 Ù M5 Ù M6 Ù M7， 成假赋值为：000，001，010，011，100，101，111．
13.通过求主析取范式判断下列各组命题公式是否等值。ÚÚÙ
（1）①p→(q→r);② q→(p→r).
解：p→(q→r) Û﹁pÚ (q→r)
Û﹁pÚ (﹁qÚr)
Û﹁pÚ﹁qÚr
Û (﹁pÙ(qÚ﹁q)Ù(rÚ﹁r))Ú((pÚ﹁p)Ù﹁qÙ(rÚ﹁r))Ú((pÚ﹁p)Ù(qÚ﹁q) Ùr)
Û (﹁pÙqÙr)Ú (﹁pÙqÙ﹁r)Ú (﹁pÙ﹁qÙr)Ú (﹁pÙ﹁qÙ﹁r)Ú (pÙ﹁qÙr)Ú (pÙ﹁qÙ﹁r)Ú (﹁pÙq Ùr)
Û∑(0,1,2,3,4,5,7)
q→(p→r)Û﹁qÚ (﹁pÚr)
Û ﹁pÚ﹁qÚr
Û∑(0,1,2,3,4,5,7)
所以两式等值。
（2）① p­q
Û¬(p∧q)
Û(p∧(q∨¬q))∨(q∧(p∨¬p))
Û (p∧q)∨(¬p∧¬q) ∨(¬q∧p) ∨(¬p∧¬q)
Û (¬p∧q) ∨(¬p∧¬q) ∨(p∧¬q)
Ûm1∨m0∨m2
Û∑(0,1,2)
(p∧¬q)处原为(¬q∧p)，不是极小项
②令A = p­q
¬(p∧q)
(¬p∧q) ∨(¬p∧¬q) ∨(p∧¬q)
D = p↓q
则B*=¬(p∨q) ? p↓
且A?B?C
所以D?A*?C*
C* = (¬p∨q)∧(¬p∨¬q)∧(p∨¬q)
?∏（0，1，2）?∑(3)
所以①!?②

1.15某勘探队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人判断如下：
甲说：这不是铁，也不是铜；
乙说：这不是铁，是锡；
丙说：这不是锡，是铁；
经实验室鉴定后发现，其中一人两个判断都正确，一个人判对一半，另一个人全错了。根据以上情况判断矿样的种类。
解：p：是铁 q：是铜 r：是锡
由题意可得共有6种情况：
1)甲全对，乙对一半，丙全错：(﹁p∧﹁q)∧ ((﹁p∧﹁r)∨(p∧r)) ∧(r∧﹁p) ①
2)甲全对，丙对一半，乙全错：(﹁p∧﹁q)∧（（﹁r∧﹁p）∨(r∧p)）∧(p∧﹁r) ②
3)乙全对，甲对一半，丙全错：（﹁p∧r）∧((﹁p∧q) ∨(﹁q∧p)) ∧(r∧﹁p) ③
4)乙全对，丙对一半，甲全错：（﹁p∧r）∧((﹁r∧﹁p) ∨(r∧p)) ∧(p∧q) ④
5)丙全对，甲对一半，乙全错：(﹁r∧p) ∧( (﹁p∧q)∨(p∧﹁q)) ∧(p∧﹁r) ⑤
6)丙全对，乙对一半，甲全错：(﹁r∧p) ∧((﹁p∧﹁r)∨(p∧r)) ∧(p∧q) ⑥
则①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥Û1
①Û(﹁p∧﹁q∧﹁p∧﹁r∧r∧﹁p) ∨(﹁p∧﹁q∧p∧r∧r∧﹁p) Û0∨0Û0
②Û(﹁p∧﹁q∧﹁r∧﹁p∧p∧﹁r)∨(﹁p∧﹁q∧r∧p∧p∧﹁r) Û0∨0Û0
③Û(﹁p∧r∧﹁p∧q∧r∧﹁p) ∨（﹁p∧r∧﹁q∧p∧r∧﹁p）Û (﹁p∧q∧r) ∨0Û﹁p∧q∧r
④Û（﹁p∧r∧﹁r∧﹁p∧p∧q）∨（﹁p∧r∧r∧p∧p∧q）Û0∨0Û0

⑤Û(﹁r∧p∧﹁p∧q∧p∧﹁r) ∨ (﹁r∧p∧p∧﹁q∧p∧﹁r)Û0∨(p∧﹁q∧﹁r)Û p∧﹁q∧﹁r
⑥Û(﹁r∧p∧﹁p∧﹁r∧p∧q) ∨ (﹁r∧p ∧p∧r∧p∧q)Û0∨0Û0
所以①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥Û（﹁p∧q∧r）∨（p∧﹁q∧﹁r）
而这块矿石不可能既是铜又是锡，所以只能是
1.16判断下列推理是否正确，先将命题符号化，再写出前提和结论，让后进行判断。
3 如果今天是1号，则明天是5号。今天是1号，所以明天是5号。
p：今天是1号 q：明天是5号
解：前提：p→q
结论：q
推理的形式结构为：((p→q)∧p)→q
证明：①p→q 前提引入
② p 前提引入　
③ q 假言推理
　　　　此命题是正确命题　
1.16（2）
判断下列推理是否正确，先将命题符号化再写出前提和结论，然后进行判断
如果今天是1号，则明天是5号。明天是5号，所以今天是1号。
解设p: 今天是1号: 明天是5号,则该推理可以写为
( (p→q)∧q)→p
前提 p→q，q
结论 p
判断
证明
( (p→q)∧q)→p Û¬( (p→q)∧q)∨p
Û¬( p→q)∨¬q∨p
Û¬( ¬p∨q) ∨¬q∨p
Û (p∧¬q) ∨¬q∨p
Û¬q∨p
此式子为非重言式的可满足式，故不可以判断其正确性
所以此推理不正确
1.16（3）如果今天是1号，则明天是5号，明天不是5号，所以今天不是1号。
解：p:今天1号.
q:明天是5号.
((p→q)∧¬q)→¬p
前提→q,¬q.
结论: ¬p.
证明:①p→q 前提引入
②¬q 前提引入
③¬p ①②拒取式
推理正确
1.17(1)前提：﹁（p∧﹁q）,﹁q∨r,﹁r
结论：﹁p.
证明：①﹁q∨r 前提引入
②﹁r 前提引入
③﹁q ①②析取三段论
④﹁(p∧﹁q) 前提引入
⑤﹁p∨q ④置换
⑥﹁p ③⑤析取三段论
即推理正确。
（2）前提：p→(q→s), p∨﹁r
结论：r →s.
证明：①p∨﹁r 前提引入
②r 附加前提引入
③ p 析取三段论
④p→(q→s) 前提引入
⑤ q→s 假言推理
⑥ q 前提引入
⑦ s 假言推理
由附加前提证明法可知，结论正确。
(3): 前提: p→q.
结论: p→(p∧q).
证明: ①p→q. 前提引入
②p 附加前提引入
③q ①②假言推理
④p∧q ②③合取引入规则
（4）前提：q®««Ùr.
结论：pÙqÙsÙr.
证明：1) tÙr；前提引入
2) t ；1)的化简
3) s«t；前提引入
4)（s®t）Ù(t®s); 3)的置换
5) t®s 4)的化简
6) s； 2),5)的假言推理
7) q«s；前提引入
8) (q®s)Ù(s®q)；7)置换
9) s®q 8)的化简
10) q；6),9)的假言推理
11) q®p；前提引入
12) p；10),11)的假言推理
13）r 1)的化简
14) pÙqÙsÙr 6),10),12),13)的合取
所以推理正确。
1．18 如果他是理科学生，他必学好数学。如果他不是文科学生，他必是理科学生。他没学好数学。所以它是文科学生。
判断上面推理是否正确，并证明你的结论。
解：p:他是理科学生 q:他学好数学 r:他是文科学生
前提：p→q ，┐r→p ，┐q
结论：r
①┐p 前提引入
② p→q 前提引入
③┐p ①②拒取式
④┐r→p 前提引入
⑤ r ③④拒取式
1.19 给定命题公式如下：pÚ(qÙØr)。
求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
解： pÚ(qÙØr)
Û(( pÙ(qÚØq))Ù(rÚØr))Ú((qÙØr)Ù(pÚØp))
Û(pÙqÙr)Ú(pÙqÙØr)Ú(pÙØqÙr)Ú(pÙØqÙØr)Ú(pÙqÙØr)Ú(ØpÙqÙØr)
Ûm7Úm6Úm54Úm6Úm2
Ûm7Úm6Úm54Úm2
Ûå(2、4、5、6、7)
∴pÚ(qÙØr) ÛÕ(0、1、3)
既010、100、101、110、111是成真赋值，
000、001、011是成假赋值
1.20 给定命题公式如下：Ø（pÙq）®r。
求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
解： Ø（pÙq）®r
Û(pÙq)Úr
Û((pÙq)Ù(rÚØr))Ú((pÚØp)Ù(qÚØq)Ùr)
Û(pÙqÙr)Ú(pÙqÙØr)Ú(pÙqÙr)Ú(pÙØqÙr)Ú(ØpÙqÙr)Ú(ØpÙØqÙr)
Ûm7Úm6Úm7Úm5Úm3Úm1
Û m7Úm6Úm5Úm3Úm1
Ûå(1、3、5、6、7)
∴Ø（pÙq）®r ÛÕ(0、2、4)
既001、011、101、110、111是成真赋值，
000、010、100是成假赋值。
例题
例1.25 给定命题公式如下，用等值演算判断公式类型
(1)(p∧q) →(p∨q)
解：Û ﹁(p∧q) ∨ (p∨q)
Û ﹁p∨﹁q∨ p∨q
Û (﹁p∨p) ∨(﹁q∨q)
Û 1∨1
Û1
所以为重言式
（2）(p↔q) ↔ ((p→q)∧(q→p))
解：(p↔q) ↔ ((p→q)∧(q→p))
Û (p↔q) ↔ (↔q)
Û ((p↔q)→(p↔q))∧((p↔q)→(p↔q))
Û (p↔q)→(p↔q)
Û¬(p↔q) ∨(p↔q)
Û¬((p→q) ∧(q→p)) ∨((p→q) ∧(q→p))
Û ((¬(p→q) ∨¬ (q→p)) ∨(p→q)) ∧(¬(p→q) ∨¬ (q→p)) ∨(q→p))
Û (1∨¬ (q→p))∧(1∨(q→p))
Û1 ∧1
Û1
所以此式是重言式(红色字体部分可删去)
（3）Ø (p→q)∧q
解：Ø (p→q)∧qÛØ(Øp∨q)∧qÛ (p∧Øq)∧q
Ûp∧(Øq∧q) Ûp∧0Û0
由上使等值演算结果可知：此式为矛盾式。
(4) (pÙØp)«q
Û0«q
Û(0®q)Ù(q®0)
Û(Ø0Úq)Ù(ØqÚ0)
Û1ÙØq
ÛØq
由此结果可得此式为：非重言式的可满足式
（5）p®(pÚq);
解：p®(pÚq)
ÛØpÚ( pÚq)
Û（ØpÚ p）Úq
Û1Úq
Û1
所以该命题公式是重言式。
（6）（p∨﹁p）→((q∧﹁q)∧r)
Û1→（0∧r）
Û1→0
Û﹁1∨0
Û0
所以为矛盾式
(7)((p→q)→p)?p
解: ((p→q)→p) ?p
?(Ø（p→q）∨p) ?p
?(Ø(Øp∨q) ∨p) ?p
?(p∧Øq) ∨p?p
?p?p
?(p→p)∧(p→p) 等价等值式
?p→p 等幂律
?Øp∨p 蕴涵等值式
?1
所以该式为重言式
例1.25 第（8）题
（p∧q）∨(p∧﹁q)
Û((p∧q)∨p)∧(（p∧q）∨﹁q)
Û (p∨p)∧(q∨p)∧(p∨﹁q)∧(q∨﹁q)
Ûp∧(p∨q)∧(p∨﹁q)
Ûp∧(p∨﹁q)
Ûp
或（p∧q）∨(p∧﹁q)
Ûp∧(q∨﹁q)
Ûp∧1
Ûp
为可满足式
(9) Ø(p∨q∨r) ?(Øp∧Øq∧Ør)
?Ø((p∨q) ∨r) ?(Øp∧Øq∧Ør)
?Ø(p∨q)∧Ør) ?(Øp∧Øq∧Ør)
?(Øp∧Øq∧Ør) ?(Øp∧Øq∧Ør)
?((Øp∧Øq∧Ør)→(Øp∧Øq∧Ør))∧((Øp∧Øq∧Ør)→(Øp∧Øq∧Ør))
?(Øp∧Øq∧Ør)→(Øp∧Øq∧Ør)
?Ø(Øp∧Øq∧Ør)∨(Øp∧Øq∧Ør)
?1
所以该式为重言式
（10）（p∧q）∧r
解：是非重言式的可满足式，因为000是其成假赋值，111是其成真赋值。