福建省福州市20162017学年高一数学上学期期末考试试题.doc

福建省福州市2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
一、选择题(本大题为单选题，共12个小题，每小题5分，共60分)
1．直线 y + 3 = 0的倾斜角是（ ）
（A）0° （B）45° （C）90° （D）不存在
2．过点（3，1）且及直线x﹣2y﹣3=0垂直的直线方程是（ ）
A．2x+y﹣7=0 B．x+2y﹣5=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0
3．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知则的面积为（ ）
A. B. C. D.
4．若点N在直线a上，直线a又在平面α内，则点N，直线a及平面α之间的关系可记作（ ）
A．N∈a∈α B．N∈a⊆α C．N⊆a⊆α D．N⊆a∈α
5．若表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．在正方体-中，求直线与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
8．在直线2x-3y+5=0上求点P,使P点到A(2,3)的距离为,则P点坐标是(　　)
A.(5,5)                       B.(-1,1)
C.(5,5)或(-1,1)                   D.(5,5)或(1,-1)
9．方程表示的圆（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称
10．圆与的位置关系为（ ）
A． 外切 B．内切 C．外离 D．内含
11．圆及圆的公共弦长为（ ）
A． B． C．2 D．2
12．一直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
．
13．在轴上的截距为2且斜率为1的直线方程为 ．
14．经过，且及圆相切的直线的方程为 .
15．已知直线平行，则k的值是
16．在正方体中，点在面对角线上运动，给出下列四个命题：
①∥平面； ② ；
③平面⊥平面；④三棱锥的体积不变.
则其中所有正确的命题的序号是 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ．
17．（本小题满分10分）
已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3），M是BC边上的中点．
（1）求AB边所在的直线方程；
（2）求中线AM的长．
18．.(本题满分12分) 已知直线过直线与的交点，
（1）若及直线平行，求直线的方程;
（2）若及圆相交弦长为2，求直线的方程.
19．（本小题满分12分）正方体，，E为棱的中点．
(Ⅰ) 求证：
(Ⅱ) 求证：平面；
(Ⅲ）求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）已知圆：关于直线对称，圆心在第四象限，半径为.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线及圆相切，且在轴上的截距是y轴上的截距的倍？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E点作EF⊥PB交PB于点F．
求证：
（1）PA∥平面EDB；
（2）PB⊥平面EFD；
（3）求三棱锥E-BCD的体积.
22（本小题满分12分）．已知圆，直线过定点A(1，0)．
（1）若及圆相切，求的方程；
（2）若及圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又及的交点为N，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．
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参考答案
1．A
【解析】因为直线及y+3=0平行，所以倾斜角为.
2．A
【解析】解：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=﹣2
所求直线的方程为y﹣1=﹣2（x﹣3）即2x+y﹣7=0
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是利用垂直关系求解出直线的斜率．
3．A
【解析】
试题分析：直观图三角形面积为
考点：斜二测画法
4．B
【解析】
试题分析：点N在直线a上，记作N∈a；直线a又在平面α内，记作a⊆α．
解：∵点N在直线a上，直线a又在平面α内，
∴点N，直线a及平面α之间的关系可记作：
N∈a⊆α．
故选：B．
考点：平面的基本性质及推论．
5．B
【解析】
试题分析：本题以数学符号语言为载体，判断命题的真假．若则或相交或异面，故A错；若，，由直线与平面垂直的定义知，，故B正确；若，，则或，故C错；若，，则及位置关系不确定，故D错．故选B．
考点：命题的判断．
6．C．
【解析】
试题分析：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，∴其体积为，故选C．
考点：空间几何体体积计算．
7．B
【解析】
试题分析：直接求在平面的投影比较困难，但是可利用等体积法，求得点到平面的距离，再利用三角函数求角．在正方体-中，设棱长为，则正方体，，，假设点到平面的距离为，则，，所以，又，则直线与平面所成的角的正弦值为，所以直线与平面所成的角为（只取锐角，舍去钝角），所以本题的正确选项为B．
考点：等体积法求线面角．
8．C
【解析】设P(x,y),则.
由得,
即(x-2)2=9.解得x=-1或x=5.
当x=-1时,y=1,当x=5时,y=5,
∴P(-1,1)或P(5,5).
9．D
【解析】
试题分析：由题意得：，圆心在直线上，因此圆关于直线对称，选D.
考点：圆的对称性
10．A
【解析】
试题分析：即，圆心距等于两半径之与，所以圆与的位置关系为外切，选A。
考点：本题主要考查圆及圆的位置关系。
点评：简单题，可以利用“几何法”与“代数法”两种思路。
11．C
【解析】
试题分析：两圆的公共弦所在直线为，圆心到直线的距离为，所以弦长为
考点：两圆相交的弦长问题
12．A
【解析】
试题分析：球的半径满足
考点：外接球
【方法点睛】涉及球及棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）及该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.
13．
【解析】直线在轴上的截距为2，则直线经过点，所以直线方程为，即
14．
【解析】
15．k=3或k=5
【解析】两直线平行，对应系数成比例（系数不为零），注意验证系数是否为0.得k=3或k=5。
16．①③④.
【解析】
试题分析：可以以D为原点，以DA，DC，为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算可以证明（1），（3）成立；对于（4）如右图,三棱锥的底面△面积为定值，高BP也为定值，所以三棱锥的体积不变.
考点：（1）空间垂直平行的证明；（2）三棱锥的体积公式.
17．（1）6x﹣y+11=0；（2）
【解析】
试题分析：（1）已知A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1），根据两点式写直线的方法化简得到AB所在的直线方程；
（2）根据中点坐标公式求出M的坐标，然后利用两点间的距离公式求出AM即可．
解：（1）由两点式写方程得，
即6x﹣y+11=0
或直线AB的斜率为
直线AB的方程为y﹣5=6（x+1）
即6x﹣y+11=0
（2）设M的坐标为（x0，y0），则由中点坐标公式得
故M（1，1）
考点：直线的一般式方程；中点坐标公式．
18. 解：（1） 直线与的交点坐标为
若及直线平行，则
直线的方程为.
（2）① 当直线的斜率不存在时 ，不合题意
② 当直线的斜率存在时
设直线的方程为 即，
圆化为标准方程
其圆心A,半径5
及圆A相交弦长为2
点A到直线的距离为d ，d==2
又
解得 或 ……（1分）
由点斜式得直线的方程为，即 或 分）
因此，综上所述，所求的直线方程为 或
19．(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)见解析（Ⅲ）
【解析】
试题分析：(Ⅰ)要证明结论需要先证明线面垂直面，可以得到，即证明 ．
（Ⅱ）由面面平行得到线面平行的方法，根据面面平行的判定证明平面面． 又AC在平面内证明结论成立
（Ⅲ）根据等体积法转换定点根据体积公式得到体积。
试题解析：(Ⅰ)证明：连结，则//，
∵是正方形，∴．∵面，∴．
又，∴面． ∵面，∴，∴．
（Ⅱ）证明：作的中点F，连结．
∵是的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴ ．
∵是的中点，∴，又，∴．
∴四边形是平行四边形，//，
∵，，∴平面面．
又平面，∴面．
（3）．
考点：立体几何点线面的位置关系。
20．（Ⅰ）圆的方程为；
（Ⅱ）存在四条直线满足题意，其方程为或.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据题意知圆心坐标与半径，利用圆心在直线上，半径为，列方程组，求得圆的方程. （Ⅱ）设直线在轴、轴上的截距分别为，进一步按与进行分类讨论，利用圆心到直线的距离为半径，分别求得直线方程得到结果.
试题解析：（Ⅰ）由得：
∴圆心C，半径，从而
解之得，.
∴圆的方程为. 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心，设直线在轴、轴上的截距分别为.
当时，设直线的方程为，则,解得，此时直线的方程为.
当时，设直线的方程为即
则 ∴ 此时直线的方程为.
综上，存在四条直线满足题意，其方程为或. 10分
考点：1.圆的标准方程；2.解方程组；3.直线与圆相切.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由为中位线可知，由直线及平面平行的判定定理，可得结论；（2）由题意可得平面，得,直线及平面垂直的判定定理可得结论；（3）因为是的中点，所以点到面的距离是的一半,很容易得结论．
试题解析：（1）如图所示，连接，交于点，连接．
∵底面是正方形，∴点是的中点．
在中，是中位线，．
面，面
面．
（2），又是斜边的中点，．①
由底面，得．
∵底面是正方形，．又，平面．
又平面，．② 由①与②推得平面．
而平面，． 又，且，
平面．
（3）因为E是PC的中点，所以点E到面BCD的距离是PD的一半，
所以.
考点：直线及平面平行的判定定理；直线及平面垂直的判定定理；几何体的体积．
22．（1）直线方程是，（2）6
【解析】（1）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意．
②若直线斜率存在，设直线为，即．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，即： ，
解之得 。
所求直线方程是，。
（2）直线及圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为
由 得．
又直线CM及垂直，
由 得．
为定值。
故是定值，且为6。