勾股定理单元复习试题.doc

《勾股定理》单元复习试题（一）

一、选择题：
1．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
2．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12　③1，2，3；④9，40，41；⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（　　）组　
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（　 ）
A．5，4，3 B．13，12，5 　 C．10，8，6 D．26，24，10
4．在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（ ）
A．108cm2 　　　B．90cm2 　　　C．180cm2 　　　D．54cm2
5．在直角坐标系中，点P（2，3）到原点的距离是（ ）
A． 　　 B． 　　　C． 　　　D．2
6． 在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
A．a2+b2=c2 　　　B．b2+c2=a2 　　　　C． 　　　D．
7．如图1，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形式面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 （ ）
图3
A
B
C
D
E
A．13 B．19 C．25 D．169
A
B
C
图2

图1

8．如图2，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆．设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（ ）
A．S1＝S2 　　 B．S1＜S2 　　C．S1＞S2 D．无法确定
9．如图3所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE＝（ ）
A．1 　 B． 　 C． 　 D．2
10．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长是连续自然数，则周长为（ ）
A．182 　　 B．183 　　　 C．184 　　　 D．185

二、填空题：
图5
11．一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是 。
12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
13．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
14．如图5，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有____米．
15．如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是______．
16．在△ABC中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90°，则AC的长必为______cm．
17．如图6是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 。
A
B
C
（图6）

三、解答题：
S2
S1
S3
18．（8分）三个半圆的面积分别为S1=4.5，S2=8，S3=12.5，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由。

A
B
C
D
19．（12分）求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB =3m，BC =12m，CD =13m，DA= 4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

A
B
C
F
E
D
20．（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。

A
B
小河
东
北
牧童
小屋

21．（9分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

22．（8分）观察下列各式，你有什么发现？
32=4+5，52=12+13，72=24+25 92=40+41……
这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？
（1）填空：132= +
（2）请写出你发现的规律。
（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。

《勾股定理》单元复习试题（二）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 在中，，则的长是（　　）
A．5 B．10 C．4 D．大于1且小于7
2． 下列三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三角形三边分别是9，40，41； B．三角形三内角之比为；
C．三角形三内角中有两个互余； D．三角形三边之比为．
3． 满足下列条件的，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
4． 已知中，，则下列结论无法判断的是（　　）
A．是直角三角形，且为斜边 B．是直角三角形，且
C．的面积为60 D．是直角三角形，且
5． 将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（　　）
A．仍是直角三角形 B．可能是锐角三角形
C．可能是钝角三角形 D．不可能是直角三角形
6． 是中边上一点，若，那么下列各式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7． 如果的三边分别为，则下列结论正确的是（　）
A．是直角三角形，且斜边的长为
B．是直角三角形，且斜边的长为
C．是直角三角形，且斜边的长需由的大小确定
D．无法判定是否是直角三角形
8． 在中，，则下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
9． 如下图，一块直角三角形的纸片，两直角边．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
10． 一个直角三角形两直角边长分别为5cm、12cm，其斜边上的高为（　　）
A．6cm B．8cm C．cm D．cm
D
B
C
A
第16题图
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
D
B
E
A

二、填空题：把答案填写在题中横线上．
11． 中，，中线，则　　　　．
12． 如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形的面积　　　　　　．
13． 有一个三角形的两边长是3和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是　　　　　．
14． 满足的三个正整数，称为 。
15． 如果的三边长满足关系式，则的三边分别为　　　　　，　　　　　，　　　　　，的形状是　　　　　　　．
16． 在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________________米。
17． 如图7，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C／处，BC／交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为　　　　　　　。
A
B
C
D
E

（第17题图）

1
2
3

（第18题图）
18． 在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 　　　　　　．

三、解答题（本大题的解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）：
19． （本小题9分） 已知三边满足，请你判断的形状，并说明理由．

A
C
D
O
B
20． （本小题9分） 已知：如图，四边形中，，与相交于，且，则之间一定有关系式：，请说明理由．

c
a
b
第21题图
21． （本小题9分）如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b。利用这个图试说明勾股定理?

22． （本小题10分）如图，正方形，边上有一点，在上有一点，使为最短．
D
A
B
C
E
求：最短距离．

D
A
B
E
C
x
23． （本小题10分）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB = 25km，CA = 15 km，DB = 10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等。

24． （本小题10分） 已知：如图，观察图形回答下面问题。
（1）此图形的名称为　　　　　；
（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿处剪开，铺在桌面上，研究一下它的侧面展开是一个　　　　　　形；
（3）如果点是的中点，在处有蜗牛想吃到的食品，恰好在处有一只蜗牛，但它又不能直接爬到处，只能沿圆锥曲面爬行，你能画出蜗牛爬行的最短路程的图形吗？
S
C
A
B
（4）圆锥的母线长为10cm，侧面展开图的夹角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．

四、解答题（解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）：
25． （10分）如图所示，△ABC中，。求：AC的长。
A
B
C

26． （本小题12分）如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：
（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由；
D
A
B
C
F
H
P
（2）再次移动三角板的位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。

《勾股定理》单元复习试题（三）
一、选择题：
1． 已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则它的三条边之比为（ ）　
A．1∶1∶ B．1∶∶2 C．1∶∶ D．1∶4∶1
2． 已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）　
A． 　　 B．3 　C．+2 　 D．
3． 直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（ 　 ）　
A．96 B．49 C．24 D．48
4． 三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（　　）
A． 6 B． 4．5 C． 2．4 D． 8
5． 三角形的三边长为（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是（　　）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
6． 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　　）
A．5 B．25 C． D．5或
7． 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　 ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
8． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
9． 直角三角形的三边为a－b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）
A．61　　　　　 B．71　　　　　 C．81　　　　　 D．91
10． 如图2，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边……依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第2012个正方形的边长a2012为（ ）
A．a2012＝4 B． a2012＝2C． a2012＝4 D． a2012＝2
1
2
3
4
5
10题图
…
11． 如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
12． 将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．5≤h≤12 B．5≤h≤24
C．11≤h≤12 　D．12≤h≤24
第11题图

A
B
C
D
第14题图
第13题图
A
B
C
D
E
F

13． 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
14． 已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．36， B．22 C．18 D．12
二、填空题：
A
B
C
D
P
第18题图
A
B
C
D
7cm
a
b
c
d
x
y
第16题图
15． 如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是 。

（15题图）

16． 如图4，所示图形中，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形边长为7cm．则正方形A、B、C、D的面积和是________。
17． 一个三角形的三边长分别是m2－1，2m，m2+1，则三角形中最大角是_______。
18． 如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则∠APB=_______。
19． 如图，是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与重合，如果AP＝3，那么。
20． 如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以直角边为边，分别向外作正方形②和③′，……，依此类推，若正方形①的边长为64，则正方形⑦的边长为 ．
①
②
②
③
③
第20题图

A
B
C
P

第19题图

A
B
C
D
E
第21题图

21． 如图，△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下面等式错误的是（ ）
A． B．
C． D．

三、解答题（本大题的解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）：
22． （2008年荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13， 小孔到图中边AB距离为1，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h，则h的最小值大约为_________．（精确到个位，参考数据：）
A
B
10
5
6
吸管

23． （10分） 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？
A
B
E
C
D

D
A
B
F
C
E
24． （12分）已知：如图正方形ABCD，E是BC的中点，F在AB上，且BF＝，猜想EF与DE的位置关系，并说明理由．

25． （10分）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
A
B
E
C
D

26． 咖菲尔德（Garfeild，1881年任美国第二十届总统）利用下图证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现在请你尝试他的证明过程。∠B和∠D为直角。
A
B
C
D
E
a
b
c
c
a
b

A
B
C
5
15
27． 如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B与点C相距5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

A
B
C
D
28． 如图，A、B两点与建筑物底部D在一直线上，从建筑物顶部C点测得A、B两点的俯角分别是30°、60°，且AB=20，求建筑物CD的高。

A
B
C
29． 如图，海中有一小岛A，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西45º的B处，往东航行20海里后达到该岛南偏西30º的C处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由。

A
M
D
C
B
30． 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：；（8分）

31． 如图，在△ABC中，AB=AC（12分）
（1）P为BC上的中点，求证：AB2－AP2=PB·PC；
（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系。
A
B
C

32． 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P是△ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC。
A
C
B
P
（10分）

33． （12分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向240千米的B处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿此偏东30°的方向往C移动，如图所示，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．
（1）该城市是否受台风的影响？请说明理由
A
B
D
C
E
（2）若会受到台风影响，那么台风影响城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

34． 阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图10，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则∠APB＝ ，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌ 这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数。
A
B
C
P

图10
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图11，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2．
图11
F
E
C
B
A

B
A
C
D
P
E
F
图2
35． 已知，如图2，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点，于E，于F，如果AB=3，AD= 4，求的值。

36． 如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，求BC的长．

A
B
C
D

37． 如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积。

A
D
C
B

38． （10分）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10 千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．
（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

B
A
F
东
北

2012年全国各地中考数学汇编——勾股定理

1． （2012广州市，7， 3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C． D．
2． （2012安徽，10，4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）
A．10 B． C． 10或 D．10或
A
B
C
（第3题图）
D
2
3
4
（第2题图）
A
B
D
C
（第1题图）

3． (2012四川省南充市，14，4分) 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是_____________cm．
4． （2012山东省荷泽市，16（2）,6）（2）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标．
A
B
C
D
（第6题图）
B
A
C
E
D
F
（第5题图）
A
C
B
蚂蚁
蜂蜜
（第8题图）
D
A
B
C
E
x
y
O
（第4题图）

5． （2012贵州贵阳，8，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长（ ）
A．3 B．2　 C． 　　D．1
6． （2012浙江省湖州市，5，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ）
A．20 B．10 C．5 D．
7． （2012年四川省巴中市，15，3）已知、、是的三边长，且满足关系，则的形状为 。
8． （2012山东省青岛市，14，3）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
9． （2012，黔东南州，6）如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（） C．（） D．（）
10． （2012陕西 16，3分）如图，从点发出的一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过路径的长为 ．
11． （2012贵州黔西南州，18，3分）如图6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为______________．
A

B
C
D
x
y
O
（第10题图）

A
B
C
E
D
（第11题图）

-1
0
1
2
A
B
C
M
D
（第9题图）

12． （2012贵州六盘水，23，12分）如图12，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD；小丽沿河岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°。请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度。

A·
B
D
图12

18 / 18