二次根式知识点总结和习题教师用.doc

二次根式的知识点汇总
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1.    二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.    二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：
因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
知识点五：二次根式的性质

知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
知识点七：二次根式的运算
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
【例题精选】
二次根式有意义的条件：
例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。

解：（1）要使有意义，必须，由得，
当时，式子在实数范围内有意义。
（2）要使有意义，为任意实数均可，
当x取任意实数时均有意义。
（3）要使有意义，必须
的范围内。
当时，式子在实数范围内有意义。
小练习：（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？
（2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？②
（3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
（4）当时，有意义。

2. 使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
3．已知y=++5，求的值．
4．若+有意义，则=_______．
5. 若有意义，则的取值范围是 。
最简二次根式
例2：把下列各根式化为最简二次根式：

分析：依据最简二次根式的概念进行化简，
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
解：

同类根式：
例3：判断下列各组根式是否是同类根式：

分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。
解：

分母有理化：
例4：把下列各式的分母有理化：

分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，均为有理化因式。
解：

求值：
例5：计算：

分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。
解： （1）原式

化简：
例6：化简：

分析：应注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。

解：

例7：化简练习：
解：

化简求值：
例8：已知： 求：的值。
分析：如果把a，b的值直接代入计算的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到互为有理化因子可计算，然后将求值式子化为的形式。
解：

小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。

例9：在实数范围内因式分解： [来源:学*科*网Z*X*X*K]
2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】 2（x＋）（x－）．．x4－2x2－3．
【提示】先将x2看成整体，利用x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，ab＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋）（x－）．
例10、综合应用：
如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

【专项训练】：
一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。

1、成立的条件是：
A． B． C． D．
2、把化成最简二次根式，结果为：
A． B． C． D．
3、下列根式中，最简二次根式为：
A． B． C． D．
4、已知t<1，化简得：
A． B． C．2 D．0
5、下列各式中，正确的是：
A． B．
C． D．
6、下列命题中假命题是：
A．设 B．设
C．设 D．设
7、与是同类根式的是：
A． B． C． D．
8、下列各式中正确的是：
A． B．
C． D．

三、
1、化简

2、已知： 求：

【答案】：一、选择题：
1、B 2、C 3、B 4、D 5、B
6、C 7、D 8、D 9、C 10、B 二、计算：三、
拓展训练
一、 分式，平方根，绝对值；
1. 成立的条件是_______________
2． 当a________时，；当a________时，。
3． 若，则__________；若，则__________。
4． 把根号外的因式移入根号内，结果为________。
5． 把-3根号外的因式移到根号内，结果为________。
6． x＜y，那么化简为________
10.若与是同类二次根式，则a=____，b=_____。

11.求使为实数的实数的值为____。
二、根式，绝对值的和为0；
1. 若=0，则=__________。

2. 如果求的算术平方根。

6.在ΔABC中，a，b，c为三角形的三边，则=_______。

7.已知

8.如果，则=_______。

三、分式的有理化
1、已知x= ,y= ，求x2－y2的值。

5.已知，求下列各式的值；
① ；
② ；
③ ;

四、整数部分与小数部分
1.的整数部分是_________，小数部分是________。
4.已知，的整数部分为，小数部分为，求的值。

五、 根式，分式的倒数；
1.已知x＋=4,求x－的值。

3. 若的值；

六、转换完全平方公式；
1.已知，求的值

3.已知x，y是实数，，若axy-3x=y，求a的值；

5、已知0 ＜x＜1，化简：－

6、化简：
1、 ； 2、；
七、技巧性运算
1.

2、计算的结果是_________
4、已知，，那么的值是__________
5、已知那么的值是__________

6、已知，求的值