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大学高等数学知识点整理
公式，用法合集
极限与连续
一. 数列函数:
1. 类型:
(1)数列: *; *
(2)初等函数:
(3)分段函数: *; *;*
(4)复合(含)函数:
(5)隐式(方程):
(6)参式(数一,二):
(7)变限积分函数:
(8)级数和函数(数一,三):
2. 特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别); (单调定号)
(2)奇偶性与周期性(应用).
3. 反函数与直接函数:
二. 极限性质:
1. 类型: *; *(含); *(含)
2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):
3. 未定型:
4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性
三. 常用结论:
, , ,
, , , ,
,
四. 必备公式:
1. 等价无穷小: 当时,
; ; ;
; ; ;
;
2. 泰勒公式:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
五. 常规方法:
前提: (1)准确判断(其它如:); (2)变量代换(如:)
1. 抓大弃小,
2. 无穷小与有界量乘积 () (注:)
3. 处理(其它如:)
4. 左右极限(包括):
(1); (2); ; (3)分段函数: , ,
5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)
6. 洛必达法则
(1)先”处理”,后法则(最后方法); (注意对比: 与)
(2)幂指型处理: (如: )
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小
8. 极限函数: (分段函数)
六. 非常手段
1. 收敛准则:
(1)
(2)双边夹: *, *
(3)单边挤: * * *
2. 导数定义(洛必达?):
3. 积分和: ,
4. 中值定理:
5. 级数和(数一三):
(1)收敛, (如) (2),
(3)与同敛散
七. 常见应用:
1. 无穷小比较(等价,阶): *
(1)
(2)
2. 渐近线(含斜):
(1)
(2),()
3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, 连续性)
八. 上连续函数性质
1. 连通性: (注:, “平均”值:)
2. 介值定理: (附: 达布定理)
(1)零点存在定理: (根的个数);
(2).
第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)
一. 基本概念:
1. 差商与导数: ;
(1) (注:连续))
(2)左右导: ;
(3)可导与连续; (在处, 连续不可导; 可导)
2. 微分与导数:
(1)可微可导; (2)比较与的大小比较(图示);
二. 求导准备:
1. 基本初等函数求导公式; (注: )
2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数
三. 各类求导(方法步骤):
1. 定义导: (1)与; (2)分段函数左右导; (3)
(注: , 求:及的连续性)
2. 初等导(公式加法则):
(1), 求:(图形题);
(2), 求: (注: )
(3),求及 (待定系数)
3. 隐式()导:
(1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性).
(3)对数求导法.
4. 参式导(数一,二): , 求:
5. 高阶导公式:
; ;
;

注: 与泰勒展式:
四. 各类应用:
1. 斜率与切线(法线); (区别: 上点和过点的切线)
2. 物理: (相对)变化率速度;
3. 曲率(数一二): (曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)
4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润)
五. 单调性与极值(必求导)
1. 判别(驻点):
(1) ; ;
(2)分段函数的单调性
(3)零点唯一; 驻点唯一(必为极值,最值).
2. 极值点:
(1)表格(变号); (由的特点)
(2)二阶导()
注(1)与的匹配(图形中包含的信息);
(2)实例: 由确定点“”的特点.
(3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)
3. 不等式证明()
(1)区别: *单变量与双变量? *与?
(2)类型: *; *
*; *
(3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如: )
4. 函数的零点个数: 单调介值

六. 凹凸与拐点(必求导!):
1. 表格; ()
2. 应用: (1)泰勒估计; (2)单调; (3)凹凸.
七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)
1. 结论:
2. 辅助函数构造实例:
(1)
(2)
(3)
(4);
3. 有个零点有个零点
4. 特例: 证明的常规方法:令有个零点(待定)
5. 注: 含时,分家!(柯西定理)
6. 附(达布定理): 在可导,,,使:
八. 拉格朗日中值定理
1. 结论: ; ()
2. 估计:
九. 泰勒公式(连接之间的桥梁)
1. 结论: ;
2. 应用: 在已知或值时进行积分估计
十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用]
第三讲: 一元积分学
一. 基本概念:
1. 原函数:
(1); (2); (3)
注(1)(连续不一定可导);
(2) (连续)
2. 不定积分性质:
(1);
(2);
二. 不定积分常规方法
1. 熟悉基本积分公式

2. 基本方法: 拆(线性性)

3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活()
如:

4. 变量代换:
(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):
(2)作用与引伸(化简):
5. 分部积分(巧用):
(1)含需求导的被积函数(如);
(2)“反对幂三指”:
(3)特别: (*已知的原函数为; *已知)
6. 特例: (1); (2)快速法; (3)
三. 定积分:
1. 概念性质:
(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续)
(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)
*; *
(3)附: , )
(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重

2: 变限积分的处理(重点)
(1)可积连续, 连续可导
(2); ;
(3)由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题

3. 公式: (在上必须连续!)
注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性
(2)有理式, 三角式, 根式
(3)含的方程.
4. 变量代换:
(1),
(2) (如:)
(3),
(4); ,
(5),

5. 分部积分
(1)准备时“凑常数”
(2)已知或时, 求
6. 附: 三角函数系的正交性:

四. 反常积分:
1. 类型: (1) (连续)
(2): (在处为无穷间断)
2. 敛散;
3. 计算: 积分法公式极限(可换元与分部)
4. 特例: (1); (2)
五. 应用: (柱体侧面积除外)
1. 面积,
(1) (2);
(3); (4)侧面积:
2. 体积:
(1); (2)
(3)与
3. 弧长:
(1)
(2)
(3):
4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,

5. 平均值(中值定理):
(1);
(2), (以为周期:)
第四讲: 微分方程
一. 基本概念
1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)
2. 变换方程:
(1)令(如欧拉方程)
(2)令(如伯努利方程)
3. 建立方程(应用题)的能力
二. 一阶方程:
1. 形式: (1); (2); (3)
2. 变量分离型:
(1)解法:
(2)“偏”微分方程: ;
3. 一阶线性(重点):
(1)解法(积分因子法):
(2)变化: ;
(3)推广: 伯努利(数一)
4. 齐次方程:
(1)解法:
(2)特例:
5. 全微分方程(数一): 且

6. 一阶差分方程(数三):
三. 二阶降阶方程
1. :
2. : 令
3. : 令
四. 高阶线性方程:
1. 通解结构:
(1)齐次解:
(2)非齐次特解:
2. 常系数方程:
(1)特征方程与特征根:
(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: 的算子法)
(3)由已知解反求方程.
3. 欧拉方程(数一): , 令
五. 应用(注意初始条件):
1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积);
注: 切线和法线的截距
2. 积分等式变方程(含变限积分);
可设
3. 导数定义立方程:
含双变量条件的方程
4. 变化率(速度)
5.
6. 路径无关得方程(数一):
7. 级数与方程:
(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:
8. 弹性问题(数三)
第五讲: 多元微分与二重积分
一. 二元微分学概念
1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件),
(1)
(2)
(3) (判别可微性)
注: 点处的偏导数与全微分的极限定义:

2. 特例:
(1): 点处可导不连续;
(2): 点处连续可导不可微;
二. 偏导数与全微分的计算:
1. 显函数一,二阶偏导:
注: (1)型; (2); (3)含变限积分
2. 复合函数的一,二阶偏导(重点):
熟练掌握记号的准确使用
3. 隐函数(由方程或方程组确定):
(1)形式: *; * (存在定理)
(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): (要求: 二阶导)
(3)注: 与的及时代入
(4)会变换方程.
三. 二元极值(定义?);
1. 二元极值(显式或隐式):
(1)必要条件(驻点);
(2)充分条件(判别)
2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)
(1)目标函数与约束条件: , (或: 多条件)
(2)求解步骤: , 求驻点即可.
3. 有界闭域上最值(重点).
(1)
(2)实例: 距离问题

四. 二重积分计算:
1. 概念与性质(“积”前工作):
(1),
(2)对称性(熟练掌握): *域轴对称; *奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标;
(3)“分块”积分: *; *分片定义; *奇偶
2. 计算(化二次积分):
(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“”为主;
(2)交换积分次序(熟练掌握).
3. 极坐标使用(转换):
附: ; ;
双纽线
4. 特例:
(1)单变量: 或
(2)利用重心求积分: 要求: 题型, 且已知的面积与重心
5. 无界域上的反常二重积分(数三)
五: 一类积分的应用():
1. “尺寸”: (1); (2)曲面面积(除柱体侧面);
2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;
3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.

第六讲: 无穷级数(数一,三)
一. 级数概念
1. 定义: (1), (2); (3) (如)
注: (1); (2)(或); (3)“伸缩”级数:收敛收敛.
2. 性质: (1)收敛的必要条件: ;
(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论);
(3);
二. 正项级数
1. 正项级数: (1)定义: ; (2)特征: ; (3)收敛(有界)
2. 标准级数: (1), (2), (3)
3. 审敛方法: (注:,)
(1)比较法(原理):(估计), 如;
(2)比值与根值: * * (应用: 幂级数收敛半径计算)
三. 交错级数(含一般项): ()
1. “审”前考察: (1) (2); (3)绝对(条件)收敛?
注: 若,则发散
2. 标准级数: (1); (2); (3)
3. 莱布尼兹审敛法(收敛?)
(1)前提: 发散; (2)条件: ; (3)结论: 条件收敛.
4. 补充方法:
(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2).
5. 注意事项: 对比 ; ; ; 之间的敛散关系
四. 幂级数:
1. 常见形式:
(1), (2), (3)
2. 阿贝尔定理:
(1)结论: 敛; 散
(2)注: 当条件收敛时
3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)
注(1)与同收敛半径
(2)与之间的转换
4. 幂级数展开法:
(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)

;
;

(2)分解: (注:中心移动) (特别: )
(3)考察导函数:
(4)考察原函数:

5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换):
(1)
(2),(注意首项变化)
(3),
(4)的微分方程
(5)应用:.
6. 方程的幂级数解法

7. 经济应用(数三):
(1)复利: ; (2)现值:

五. 傅里叶级数(数一): ()
1. 傅氏级数(三角级数):
2. 充分条件(收敛定理):
(1)由(和函数)
(2)
3. 系数公式:
4. 题型: (注: )
(1)且(分段表示)
(2)或
(3)正弦或余弦
*(4)()
*5.
6. 附产品:

第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)
一. 向量基本运算
1. ; (平行)
2. ; (单位向量(方向余弦) )
3. ; (投影:; 垂直:; 夹角:)
4. ; (法向:; 面积:)
二. 平面与直线
1.平面
(1)特征(基本量):
(2)方程(点法式):
(3)其它: *截距式; *三点式

2.直线
(1)特征(基本量):
(2)方程(点向式):
(3)一般方程(交面式):
(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段的参数表示:)
3. 实用方法:
(1)平面束方程:
(2)距离公式: 如点到平面的距离
(3)对称问题;

(4)投影问题.
三. 曲面与空间曲线(准备)
1. 曲面
(1)形式: 或; (注: 柱面)
(2)法向 (或)

2. 曲线
(1)形式, 或;
(2)切向: (或)

3. 应用
(1)交线, 投影柱面与投影曲线;

(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;

(3)锥面计算.

四. 常用二次曲面
1. 圆柱面:
2. 球面:
变形: , ,
,
3. 锥面:
变形: ,
4. 抛物面: ,
变形: ,
5. 双曲面:
6. 马鞍面: , 或

五. 偏导几何应用
1. 曲面
(1)法向: , 注:
(2)切平面与法线:

2. 曲线
(1)切向:
(2)切线与法平面

3. 综合: ,

六. 方向导与梯度(重点)
1. 方向导(方向斜率):
(1)定义(条件):
(2)计算(充分条件:可微):
附:
(3)附:

2. 梯度(取得最大斜率值的方向) :
(1)计算:
;

(2)结论
;
取为最大变化率方向;
为最大方向导数值.

第八讲: 三重积分与线面积分(数一)
一. 三重积分()
1. 域的特征(不涉及复杂空间域):
(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心
(2)投影法:
(3)截面法:
(4)其它: 长方体, 四面体, 椭球
2. 的特征:
(1)单变量, (2), (3), (4)
3. 选择最适合方法:
(1)“积”前: *; *利用对称性(重点)
(2)截面法(旋转体): (细腰或中空, , )
(3)投影法(直柱体):
(4)球坐标(球或锥体): ,
(5)重心法():
4. 应用问题:
(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力
(2)公式
二. 第一类线积分()
1. “积”前准备:
(1); (2)对称性; (3)代入“”表达式
2. 计算公式:
3. 补充说明:
(1)重心法: ;
(2)与第二类互换:
4. 应用范围
(1)第一类积分
(2)柱体侧面积
三. 第一类面积分()
1. “积”前工作(重点):
(1); (代入)
(2)对称性(如: 字母轮换, 重心)
(3)分片
2. 计算公式:
(1)
(2)与第二类互换:
四: 第二类曲线积分(1): (其中有向)
1. 直接计算: ,
常见(1)水平线与垂直线; (2)
2. Green公式:
(1);
(2): *换路径; *围路径
(3)(但内有奇点) (变形)
3. 推广(路径无关性):
(1)(微分方程)(道路变形原理)
(2)与路径无关(待定): 微分方程.
4. 应用
功(环流量): (有向,,)
五. 第二类曲面积分:
1. 定义: , 或 (其中含侧)
2. 计算:
(1)定向投影(单项): , 其中(特别:水平面);
注: 垂直侧面, 双层分隔
(2)合一投影(多项,单层):

(3)化第一类(不投影):

3. 公式及其应用:
(1)散度计算:
(2)公式: 封闭外侧, 内无奇点

(3)注: *补充“盖”平面:; *封闭曲面变形(含奇点)
4. 通量与积分:
(有向,,)

六: 第二类曲线积分(2):
1. 参数式曲线: 直接计算(代入)
注(1)当时, 可任选路径; (2)功(环流量):
2. Stokes公式: (要求: 为交面式(有向), 所张曲面含侧)
(1)旋度计算:
(2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 同侧法向或;
(3)Stokes公式(选择):
()化为; ()化为; ()化为
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