大学生数学竞赛辅导材料.doc

浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7）
一． 计算题(每小题5分，共30分)
1． 求极限。
2． 求积分，。
3． 设是方程的一个解，求常数。
4． 设连续，且当时，，求。
5． 设，求。
6． 求积分。
2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题（2003.12.6）
一．计算题
7． 求。
8． 设，求。
9． 求。
10． 求。
浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题
1． 计算：。
2． 计算：。
3． 求函数在
上的最大、小值。
4． 计算：，其中。
5. 设，求。
天津市竞赛题
1.证明.
2. 设函数在闭区间上具有二阶导数,且 证明：存在一点使得.
3. （1）证明：当充分小时,不等式成立.
（2）设求
4. 计算。5. 设，求。
6. 对k的不同取值，分别讨论方程在区间内根的个数。
7. 设a，b均为常数且，，问a，b为何值时，有
。
8.设，，证明：存在并求其值。
9.设是区间上的函数，且，，证明：，。
北京市竞赛试题(2008、2007、2006)

2.

3.

4.

5.

6.

全国第一届预赛题

首届预赛

第一届决赛
一、填空题（20分）

第二届预赛

第二届决赛
第三届预赛

第三届决赛
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题：
(1)
(2)
(3) 设函数有二阶连续偏导数, 满足且,是由方程所确定的函数. 求
(4) 求不定积分
(5) 求曲面和所围立体的表面积
二、（本题13分）讨论的敛散性，其中是一个实常数.
三、（本题13分）设在上无穷次可微，并且满足:存在，使得，，,且，求证：在上，
四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）
设D为椭圆形，面密度为ρ的均质薄板；l为通过椭圆焦点 (其中)垂直于薄板的旋转轴.
1. 求薄板D绕l旋转的转动惯量J；
2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.
五、（本题12分）设连续可微函数由方程（其中有连续的偏导数）唯一确定, L为正向单位圆周. 试求：

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）
1.求极限.
2.证明广义积分不是绝对收敛的
3.设函数由确定，求的极值。
4.过曲线上的点A作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点A的坐标。
二、（满分12）计算定积分

专项练习题
一.求极限
1. 2.
3. 4.
5.
6. 10.
11.
12.
13 ， 14.
15
16.设均为正数,,求
17.设.求
18.设,求.
19. , 20., 21., 22., 23.， 24., 25.
二.求导数
1. 1. 2.
3.设,求
4. 求下列函数的阶导数:
1) 2) 3) 4) 5)
5、是否存在上的可导函数使得
，若存在，请举出一个例子；若不存在，请给出证明。
三. 不定积分
1)., 2)., 3), 4), 5)., 6),
7), 8), 9),
10), 11),
12) , 13), 14), 15), 16), 17), 18), 19), 20), 21), 22), 23),
24) 25), 26), 27) , 28).
四、求下列定积分的值:
1), 2),
3), 4),
5), 6),
7), 8),
9), 10)
11), 12),
13) , 14) .
15) 16)

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