导数及其应用[1].板块四.导数与其它知识综合1-函数.学生版.doc

板块四.导数与其它知识综合

知识内容

1．导数与函数的性质、基本初等函数的结合，这是导数的最主要的考查内容；
常常涉及到函数与方程的知识，有时需要结合函数图象求解；
2．导数与数列的结合，要注意数列作为函数的特殊性；
3．导数与三角函数的结合；
4．导数在不等式的证明中的运用，经常需要构造函数，利用导数去求单调性，证明不等式．

典例分析

题型一：导数与函数综合

方程的根的问题
【例1】 若方程有三个不同实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

【例2】 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
⑴若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
⑵若函数有且仅有一个零点，求的值，并求出相应的零点．
⑶如何取值时，函数存在零点，并求出零点．

【例3】 已知函数为奇函数，
⑴求的解析式；
⑵求的单调区间．
⑶若有三个不同的实根，求的取值范围．

【例4】 设函数，已知是奇函数．
⑴求、的值．⑵求的单调区间与极值．
⑶若有三个不同的实根，求的取值范围．

【例5】 设函数．
⑴对于任意实数，恒成立，求的最大值；
⑵若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．

【例6】 已知函数的极小值为，其导函数的图象经过点，如图所示．
⑴ 求的解析式；
⑵ 若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围．

【例7】 已知二次函数满足：①在时有极值；②图象过点，且在该点处的切线与直线平行．
⑴ 求的解析式；
⑵ 求函数的单调递增区间．
⑶求在上的最大值与最小值．
⑷关于的方程最多有几个解?并求出此时的取值范围．

【例8】 设函数，其中常数为整数．
⑴当为何值时，；
⑵定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使．（注：此定理在新课标的必修一中已经给出了）
试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根．

【例9】 已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．
⑴求的解析式；
⑵是否存在自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【例10】 设为实数，函数，
⑴求的单调区间与极值；
⑵当在什么范围内取值时，方程仅有一个根．

【例11】 已知函数在处有极值．
⑴ 求函数的单调区间；
⑵ 若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围．

【例12】 已知函数．
⑴若，函数的图象能否总在直线的下方？说明理由？
⑵若函数在上是增函数，求的取值范围．
⑶设为方程的三个根，且，，，求证：．

图象的交点问题
【例13】 已知直线与曲线有交点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．0

【例14】 直线（为自然对数的底数）与两个函数，的图象至多有一个公共点，则实数的取值范围是__________．

【例15】 已知函数
⑴ 求的单调区间；
⑵ 若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．

【例16】 已知函数，其中是的导函数．
⑴对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；
⑵设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点．

【例17】 已知函数．
⑴ 当时，求函数的单调区间；
⑵ 若函数的图象与直线只有一个公共点，求实数的取值范围．

【例18】 已知函数，且．
⑴ 试用含的代数式表示；
⑵ 求的单调区间；
⑶ 令，设函数在处取得极值，记点，，
证明：线段与曲线存在异于的公共点．

【例19】 ，其中．
⑴若，求的单调区间；
⑵在⑴的条件下，当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围；
⑶设，问是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【例20】 已知函数．
⑴求在区间上的最大值；
⑵是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【例21】 已知是函数的一个极值点．
⑴ 求；
⑵ 求函数的单调区间；
⑶ 若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围．

【例22】 已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
⑴求的值；
⑵是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有个交点，若存在，求出实数的值；若不存在，试说明理由．

其它
【例23】 已知，函数定义域中任意的，有如下结论：
①；②；
③；④．
上述结论中正确结论的序号是．

【例24】 已知二次函数的图象经过原点、点和点（，且）．
⑴求函数的解析式；
⑵设（），若，，求证：．
⑶在例题⑵的条件下，若，则过原点与曲线相切的两条直线能否互相垂直？若能，请给出证明；若不能，请说明理由．

【例25】 设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知．
⑴若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值；
⑵若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值．

【例26】 已知函数的图象在上连续不断，定义：
，．
其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．
⑴若，，试写出，的表达式；
⑵已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
⑶已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围．

【例27】 设是定义在区间上的函数，其导函数为．如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质．
⑴设函数，其中为实数，
（ⅰ）求证：函数具有性质；
（ⅱ）求函数的单调区间．
⑵已知函数具有性质．给定，，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围．

【例28】 已知函数，，
⑴已知函数，如果是增函数，且的导函数存在正零点，求的值；
⑵设，且在上单调递增，求实数的取值范围．
⑶试求实数的个数，使得对于每个，关于的方程都有满足的偶数根．

【例29】 定义在区间上的函数，如果满足：对，常数，都有成立，则称函数在区间上有下界，其中称为函数的下界．
⑴试判断函数在上是否有下界？并说明理由；
⑵又具有下图特征的函数称为在区间上有上界．

请你类比函数有下界的定义，给出函数在区间上有上界的定义，并判断⑴中的函数在上是否有上界？并说明理由；
⑶若函数在区间上既有上界又有下界，则称函数在区间上有界，函数叫做有界函数．试探究函数（是常数）是否是（，，、是常数）上的有界函数？

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