初三数学复习-数与式(知识点讲解).doc

初三数学复习 数及式
第一课时 实数的有关概念
【知识要点】
（一）实数的有关概念
（1）实数的分类
当然还可以分为：正实数、零、负实数。
有理数还可以分为：正有理数，零，负有理数
（2）数轴：
数轴是研究实数的重要工具，是在数及式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素：原点、正方向与单位长度，实数及数轴上的点是一一对应的，我们还可以利用这种一、一对应关系来比较两个实数的大小。
（3）绝对值
绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。
（4）相反数、倒数
若a、b两个数为互为相反数，则0。
若m、n两个数互为倒数，则m·1。
¢（5）三种非负数：
“几个非负数的与等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。
（6）平方根、算术平方根、立方根的概念。
如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有
　 　　一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作 ．一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作 ．
¢（7）科学计数法、有效数字与近似值的概念。
1.近似数：　　一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．
2.有效数字：　　一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．
3.科学记数法：　　把一个数用 (1≤ ＜10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．
【典型例题：】
P2例1、(2012贵州六盘水，5，3分)数字，，，，，中无理数的个数是（ ▲ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
点评：此题主要考查了无理数的定义，其中：
（1）有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数．
（2）无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．
（3）有限小数与无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示；而无限不环小数不能化为分数，它是无理数．
P2例4、（2012·湖北省恩施市，题号16 分值 4）观察下表：
根据表中数的排列规律，.
例题补充、（2012河北省17,3分）17、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报，第2位同学报，…这样得到的20个数的积为.
第二课时：实数的运算及比较大小
【知识要点】
一、实数的运算
1.加法：　　同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．
2.减法：　　减去一个数等于加上这个数的相反数．
3.乘法：　　几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
4.除法：　　除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．
5.乘方及开方
(1)所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．
　(2)正数与0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数与0都可以开立方．
　(3)零指数及负指数
二、实数大小的比较
　　1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.
　　2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.
　　3.对于实数a、b，若＞0 a＞b；　　0 ；　　　＜0 a＜b.
　　4.对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c.
　　5.无理数的比较大小：
　　　利用平方转化为有理数：如果 a＞b＞0，a2＞b2 则 a＞b ；
　　　或利用倒数转化：如比较 及 .
三、实数运算顺序
　　加与减是一级运算，乘与除是二级运算，乘方与开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．
四、实数的运算律
　　加法交换律：
　　加法结合律：()()
　　乘法交换律：
　　乘法结合律：()()
　　乘法分配律：()
【典型例题：】
P3例3（2012山东省聊城，10，3分）如右图所示的数轴上，点B及点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是与-1，则点C所对应的实数是（ ）
A. 1+ B. 2+ C. 2-1 D. 2+1
P4例 4(2012广东汕头，21，7分)观察下列等式：
第1个等式：a1×（1﹣）；
第2个等式：a2×（﹣）；
第3个等式：a3×（﹣）；
第4个等式：a4×（﹣）；
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5=　　=　　；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：　　=　　（n为正整数）；
（3）求a1234+…100的值．
分析：
（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们及式子序号之间的关系为 序号的2倍减1与序号的2倍加1．（3）运用变化规律计算．
第三课时：整式及因式分解
（一） ：【整式知识梳理】
代数式的分类
1.整式有关概念
（1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。单项式中叫做这个单项式的系数；单项式中叫做这个单项式的次数；
（2）多项式：几个 的与，叫做多项式。 叫做常数项。
多项式中的次数，就是这个多项式的次数。多项式中的个数，就是这个多项式的项数。
2.同类项、合并同类项
（1）同类项： 叫做同类项；
（2）合并同类项： 叫做合并同类项；
（3）合并同类项法则：
（4）去括号法则：括号前是“＋”号，
括号前是“－”号，
（5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；括号前是“－”号，括到括号里的各项的符号都 。
3.整式的运算
（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。
（2）整式的乘除法：
4.幂的运算：
同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。即：（,都是正整数）。
幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：（,都是正整数）。
积的乘方等于每一个因数乘方的积。即：（是正整数）
同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：（ ）， ，（）
5、整式的乘法：
（1）单项式及单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
（2）单项式乘以多项式： 。
（3）乘法公式：
平方差： 。
完全平方公式： 。
6.整式的除法：（1）单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。
（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
7.代数式的化简求值
含有绝对值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性；整式的化简求值常常要灵活运用配方法、换元法、整体代换思想与构造思想；分式的化简求值一般可对分子、分母的多项式因式分解、约分。再运用分式的性质化简计算；二次根式的化简求值一般应先考虑能否利用二次根式的性质，配方法、乘法公式等化简计算。
（二） 【因式分解知识梳理】
1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
2．分解困式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：平方差公式: ；
完全平方公式: ；
3．分解因式的步骤：
（1）分解 因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法 分解．
（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
【典型例题：】
P6例4、分解因式（1）2-2（1）+1的结果是（　　）
A．（1）（2） B．x2 C．（1）2 D．（2）2
P6例5( 2012年浙江省宁波市,20,6)同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
第4个
第3个
第2个
第1个

（1） 第5个图形有多少颗黑色棋子？
（2） 第几个图形有2013颗棋子？说明理由。
第四课时 分式
【整式知识梳理】
1．分式有关概念
（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：
①当时分式有意义。②当时分式没有意义。③只有在同时满足，且这两个条件时，分式的值才是零。
（2）最简分式：一个分式的分子及分母时，叫做最简分式。
（3）约分：把一个分式的分子及分母的约去，叫做分式的约分。将一个分式约分的主要步骤是：把分式的分子及分母，然后约去分子及分母的。
（4）通分：把几个异分母的分式分别化成及相等的的分式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的 。
（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。
2．分式性质：
（1）基本性质：分式的分子及分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值 ．
（2）符号法则： 、 及的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。即：
3.分式的运算：
注意：为运算简便， ①若分式的分子及分母的各项系数是分数或小数时，一般要化为整数。
②若分式的分子及分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。
（1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行计算
（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用做积的分子，做积的分母，公式：；分式除以分式，把除式的分子、分母后，及被除式相乘，公式： ；
（3）分式乘方是，公式。
4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。
5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．
【典型例题：】
类型一：分式的基本性质
例2、（2012浙江省义乌市，8，3分）下列计算错误的是( )
A B C D
类型二：分式化简求值
例、2012广东肇庆，20，7）先化简，后求值：，其中4．
第五课时 数的开方及二次根式
【知识梳理】
1.二次根式：形如（a≥0）的式子叫做二次根式。
注意：（1）在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
（2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（3）二次根式（a≥0）的非负性（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，（a≥0）是一个非负数，即0（a≥0）。
2.、最简二次根式：同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；
②被开方数中含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。
3.、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。
4.、二次根式的性质
（1）（a≥0）
描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注意：二次根式的性质公式（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若a≥0，则，如：，。
（2）
描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注意：、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数,即；
k、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
ƒ、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
（3）及的异同点
不同点：及表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但及都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，（a≥0） ，而k、相同点：当被开方数都是非负数，即a≥0时，=；a＜0时，无意义，而。
5、二次根式的运算
（1）因式的外移与内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数与的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
【典型例题：】
类型一：二次根式概念
类型二：二次根式的计算
类型三：二次根式的比较大小
类型四：二次根式的非负性
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