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直角三角形全等判定
要点一、判定直角三角形全等的一般方法
“AAS〞，“ASA〞或“SAS〞判定定理.
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔可以简写成“斜边、直角边〞或“HL〞〕.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
要点诠释：〔1〕“HL〞从顺序上讲是“边边角〞对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
〔2〕判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
〔3〕应用“斜边、直角边〞判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt〞.
【典型例题】
类型一、直角三角形全等的判定——“HL〞
1、 ：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．
求证：〔1〕AB＝CD：
〔2〕AD∥BC．

【思路点拨】先由“HL〞证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.
【答案与解析】
证明：〔1〕∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°
在Rt△ABD 和Rt△CDB中，

∴Rt△ABD≌Rt△CDB〔HL〕
∴AB＝CD〔全等三角形对应边相等〕
〔2〕由∠ADB＝∠CBD
∴AD∥BC .
【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
【变式】：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．
求证：ED⊥AC．

【答案】
证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DAE＝∠CBA＝90°
在Rt△DAE 与Rt△CBA中，

∴Rt△DAE≌Rt△CBA 〔HL〕
∴∠E＝∠CAB
∵∠CAB＋∠EAF＝90°，
∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°
即ED⊥AC．
2、 判断满足以下条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×〞，全等的注明理由：
〔1〕一个锐角和这个角的对边对应相等；〔 〕
〔2〕一个锐角和斜边对应相等； 〔 〕
〔3〕两直角边对应相等； 〔 〕
〔4〕一条直角边和斜边对应相等． 〔 〕
【答案】〔1〕全等，“AAS〞；〔2〕全等，“AAS〞；〔3〕全等，“SAS〞；〔4〕全等，“HL〞.
【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.
【变式】以下说法中，正确的画“√〞；错误的画“×〞，并举出反例画出图形.
〔1〕一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．〔 〕
〔2〕有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．〔 〕
〔3〕有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．〔 〕
【答案】〔1〕√；
〔2〕×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一边上的高，AE＝DF

〔3〕×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高，

3、：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．
求证：AD＝BC；

【答案与解析】
证明：连接DC
∵AD⊥AC，BC⊥BD
∴∠DAC＝∠CBD＝90°
在Rt△ADC与Rt△BCD中，

∴Rt△ADC≌Rt△BCD〔HL〕
∴AD＝BC .〔全等三角形对应边相等〕
【变式】，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90° .
求证：OC＝OD.

【答案】∵∠C＝∠D＝90°
　　　　∴△ABD、△ACB为直角三角形
　　　　在Rt△ABD和Rt△BAC中

　　　　∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)
　　　　∴AD＝BC
　　　　在△AOD和△BOC中

　　　　　∴△AOD≌△BOC(AAS)
　　　　　∴OD＝OC．
4、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.

【答案与解析】
解：全等三角形为：△ACD≌△CBE.
证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE
在△ACD与△CBE中，

∴△ACD≌△CBE〔AAS〕.
【总结升华】此题考察三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，假设有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
【稳固练习】
一、选择题
1．以下说法正确的选项是 〔 〕
A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．斜边相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．一边长相等的两等腰直角三角形全等
2．如图，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有〔 〕对全等三角形．
A．3 B．4 C．5 D．6

3. 能使两个直角三角形全等的条件是( )

4. 在Rt△ABC与Rt△中, ∠C ＝ ∠ ＝ 90°, ÐA ＝ ∠, AB ＝, 则以下结论中正确的选项是( )
A. AC ＝ B.BC ＝ C. AC ＝ D. ∠A ＝ ∠
5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是〔　　〕
A．形状一样　　　B．周长相等　　　C．面积相等　　　D．全等
6. 在两个直角三角形中，假设有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形〔 〕

二、填空题
7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“______〞．

8. ，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，则△ABC≌_______.

9. 如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则AC＝_________.

10. 如图，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，假设DE＝2，AB＝4，则DB＝______.

11．有两个长度一样的滑梯，即BC＝EF，左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝________．

12. 如图，AD是△
∠BAD＝_______.

三、解答题
13. 如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处翻开，墙壁厚是35，B点与O点的铅直距离AB长是20，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35，画CD⊥OC，使CD＝20，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．
13.【解析】
解：在Rt△AOB与Rt△COD中，
∴Rt△AOB≌Rt△COD〔ASA〕 ∴AB＝CD＝20
14. 如图，AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC＝DF. 求证：AC＝EF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
证明：由EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，AC和DF相交，可得：
　　　　　∠F＋∠FED＝∠C＋∠FED＝90°
即 ∠C＝∠F〔同角或等角的余角相等〕，
　　　　　在Rt△ABC与Rt△EDF中

　　　　　∴△ABC≌△EDF〔ASA〕，
　　　　　∴AC＝EF〔全等三角形的对应边相等〕.
15. 如图，AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.
求证：∠1＝∠2.

证明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，
∴△AEC、△AFB为直角三角形
在Rt△AEC与Rt△AFB中

∴Rt△AEC≌Rt△AFB〔HL〕
∴∠EAC＝∠FAB
∴∠EAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，即∠1＝∠2.
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C； 【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS定理证明全等.
2. 【答案】D；
【解析】△ABD≌△ACD；△ABF≌△ACF；△ABE≌△ACE；△EBF≌△ECF；
△EBD≌△ECD；△FBD≌△FCD.
3. 【答案】D；
4. 【答案】C；
【解析】注意看清对应顶点，A对应，B对应.
5. 【答案】C；
【解析】等底等高的两个三角形面积相等.
6. 【答案】C；
【解析】如果这对角不是直角，则全等，如果这对角是直角，则不全等.
二、填空题
7. 【答案】HL；
8. 【答案】△DFE
9. 【答案】CD；
【解析】通过HL证Rt△ABC≌Rt△CDE.
10.【答案】6；
【解析】DB＝DC＋CB＝AB＋ED＝4＋2＝6；
11.【答案】90°；
【解析】通过HL证Rt△ABC≌Rt△DEF，∠BCA＝∠DFE.
12.【答案】45°；
【解析】证△ADC与△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形.