无穷大与无穷小教案.doc

高等数学1 教 案
编 号：4
课时安排： 2 学时
教学课型：理论课√ 实验课□ 习题课□ 其它□
题目（教学章、节或主题）：
§1.4无穷小与无穷大
教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：
1. 掌握无穷小、无穷大的概念及其与极限的关系，
2.掌握无穷小与无穷大的关系
3.了解简单函数渐近线的求法
教学重点、难点：
重点：无穷小、无穷大的概念
难点：无穷小、无穷大与极限的关系
教学方式、手段、媒介：
讲授，交流讨论
教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）
复习
函数极限的定义及其性质.
新课
一、无穷小
定义1如果函数f(x)当x®x0(或x®¥)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x®x0(或x®¥)时的无穷小.
特别地, 以零为极限的数列{xn}称为n®¥时的无穷小.
例如,
因为, 所以函数为当x®¥时的无穷小.
因为, 所以函数为x-1当x®1时的无穷小.
因为, 所以数列{}为当n®¥时的无穷小.
讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？
提示: 无穷小是这样的函数, 在x®x0(或x®¥)的过程中, 极限为零. 很小很小的数只要它不是零, 作为常数函数在自变量的任何变化过程中, 其极限就是这个常数本身, 不会为零.
无穷小与函数极限的关系:
定理1 在自变量的同一变化过程x®x0(或x®¥)中, 函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+a, 其中a是无穷小.

类似地可证明x®¥时的情形.
例如, 因为, 而, 所以.
二、无穷大
如果当x®x0(或x®¥)时, 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大, 就称函数 f(x)为当x®x0(或x®¥)时的无穷大. 记为

(或).
应注意的问题: 当x®x0(或x®¥)时为无穷大的函数f(x), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作
(或).

讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?
提示: Û"M>0, $d >0, 当0<|x-|<d 时, 有|f(x)|>M.
正无穷大与负无穷大:
, .
例2 证明.
铅直渐近线:
如果, 则称直线是函数y=f(x)的图形的铅直渐近线.
例如, 直线x=1是函数的图形的铅直渐近线.

定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)在自变量的同一变化过程中, 如果f(x)为无穷大, 则为无穷小; 反之, 如果f(x)为无穷小, 且f(x)¹0, 则为无穷大.
讨论、思考题、作业：
讨论与思考：
1、用语言描述自变量的各种变化趋势下，函数极限或无穷大的定义。
2、函数在某区间上无界与其在自变量的某个变化过程中是无穷大的关系？
作业：
习题1-4 4，5，8
教学总结：