山东省济南市济钢高中2015届高三上学期1月月考数学试卷(文科).doc

山东省济南市济钢高中2015届高三上学期1月月考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.版权所有
1．（5分）已知向量=（1，m），=（m，2），若⊥，则实数m的值为（）
A． B． C． D． 0

2．（5分）已知集合A={x∈R|0＜x＜1}，B={x∈R|（2x﹣1）（x+1）＞0}，则A∪B=（）
A． （0，） B． （﹣1，1） C． （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（，+∞）

3．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）
A． p为真 B． ￢q为假 C． p∧q为假 D． p∨q为真

4．（5分）已知P是圆x2+y2=1上的动点，则P点到直线的距离的最小值为（）
A． 1 B． C． 2 D．

5．（5分）已知+=1，（x＞0，y＞0），则x+y的最小值为（）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 8

6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

7．（5分）已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，=2，则△APQ的面积为（）
A． B． C． 1 D． 2

8．（5分）函数f（x）=的图象大致是（）
A． B． C． D．

9．（5分）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A． 9 B． 10 C． 11 D．

10．（5分）设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且x时，f（x）=﹣x2，则f（3）+f（﹣的值等于（）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）已知抛物线x2=4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是．

12．（5分）若，则的取值范围是．

13．（5分）观察下列不等式：①；②；③；…请写出第n个不等式．

14．（5分）对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k恰有三个零点，则实数k的取值范围是．

15．（5分）下列四个结论，正确的是：
①直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交；
②从总体中抽取的样本（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），若记，则回归直线 必过点；
③函数的零点所在的区间是；
④已知函数f（x）=2x+2﹣x，则y=f（x﹣2）的图象关于直线x=2对称．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．
16．（12分）已知向量=（sin（A﹣B），sin（﹣A）），=（1，2sinB），且•=﹣sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA+sinB=2sinC，且S△ABC=，求边c的长．

17．（12分）某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为正数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．

组号 分组 频数 频率
第1组 [50，60] 5 0.05
第2组 [60，70] a 0.35
第3组 [70，80] 30 b
第4组 [80，90] 20 0.20
第5组 [90，100] 10 0.10
合计 100 1.00

18．（12分）如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE=BC=2，AC=CD=3．
（Ⅰ）证明：EO∥平面ACD；
（Ⅱ）证明：平面ACD⊥平面BCDE；
（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABD的体积．

19．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）在直线上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn．

20．（13分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

21．（14分）已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当﹣3＜a＜﹣2时，若存在λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＜（m+ln3）a﹣2ln3成立，求m的取值范围．

山东省济南市济钢高中2015届高三上学期1月月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.版权所有
1．（5分）已知向量=（1，m），=（m，2），若⊥，则实数m的值为（）
A． B． C． D． 0

考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题： 平面向量及应用．
分析： 利用⇔=0，即可解出m．
解答： 解：∵，
∴=m+2m=0，解得m=0．
故选：D．
点评： 本题考查了非零向量⇔=0，属于基础题．

2．（5分）已知集合A={x∈R|0＜x＜1}，B={x∈R|（2x﹣1）（x+1）＞0}，则A∪B=（）
A． （0，） B． （﹣1，1） C． （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（，+∞）

考点： 并集及其运算．
专题： 阅读型．
分析： 先解出集合B，再利用数轴进行并集运算求解．
解答： 解：∵（2x﹣1）（x+1）＞0⇒x＞或x＜﹣1，
∴B={x|x＞或x＜﹣1}
∴A∪B={x|x＞0或x＜﹣1}．
故选C．
点评： 本题考查并集及其运算．

3．（5分）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）
A． p为真 B． ￢q为假 C． p∧q为假 D． p∨q为真

考点： 复合命题的真假；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性．
专题： 三角函数的图像与性质；简易逻辑．
分析： 由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．
解答： 解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题．
故选C．
点评： 本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于2015届高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大．

4．（5分）已知P是圆x2+y2=1上的动点，则P点到直线的距离的最小值为（）
A． 1 B． C． 2 D．

考点： 直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．
专题： 直线与圆．
分析： 先利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再用此距离减去半径，即得所求．
解答： 解：由于圆心O（0，0）到直线的距离d==2，且圆的半径等于1，
故圆上的点P到直线的最小距离为 d﹣r=2﹣1=1，
故选A．
点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．

5．（5分）已知+=1，（x＞0，y＞0），则x+y的最小值为（）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 8

考点： 基本不等式．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 将+=1代入x+y，展开后应用基本不等式即可．
解答： 解：∵x＞0，y＞0且+=1，
∴x+y=（x+y）•（+）=4++≥8（当且仅当x=y=2时取“=“）．
故选：D．
点评： 本题考查基本不等式，着重考查基本不等式的应用，基本知识的考查．

6．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

考点： 程序框图．
专题： 图表型．
分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
解答： 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
n x 是否继续循环
第一圈 2 2a+1 是
第二圈 3 4a+2+1 是
第三圈 4 8a+4+2+1 否
则输出的结果为8a+4+2+1=31，所以a=3．
故选D．
点评： 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．

7．（5分）已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，=2，则△APQ的面积为（）
A． B． C． 1 D． 2

考点： 向量在几何中的应用；三角形的面积公式．
专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： 画出△ABC，通过足，=2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．
解答： 解：由题意可知，P为AC的中点，=2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：
因为S△ABC==2．
所以S△APQ===．
故选B．

点评： 本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．

8．（5分）函数f（x）=的图象大致是（）
A． B． C． D．

考点： 函数的图象．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由于函数f（x）=为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C、D，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，从而得到答案A．
解答： 解：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
f（x）=，==f（x），
∴f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，．
∴其图象关于y轴对称，可排除C，D；
又当x→0时，cos（πx）→1，x2→0，
∴f（x）→+∞．故可排除B；
而A均满足以上分析．
故选A．
点评： 本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．

9．（5分）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A． 9 B． 10 C． 11 D．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，
截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．
解答： 解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，
截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥==1，
所以V=4×3﹣1=11．
故选：C
点评： 本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，运用体积公式．

10．（5分）设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且x时，f（x）=﹣x2，则f（3）+f（﹣的值等于（）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣

考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用奇函数的性质和对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），即可分别得到f（3）=f（0），．再利用x时，f（x）=﹣x2，即可得出答案．
解答： 解：∵定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），
∴f（3）=f（1﹣3）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣f（1﹣2）=f（1）=f（1﹣1）=f（0），
=．
∵x时，f（x）=﹣x2，∴f（0）=0，，
∴f（3）+f（﹣=0．
故选C．
点评： 熟练掌握函数的奇偶性和对称性是解题的关键．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）已知抛物线x2=4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是﹣4或4．

考点： 抛物线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 根据点P到焦点的距离为5利用抛物线的定义可推断出P到准线距离也为5．利用抛物线的方程求得准线方程，进而可求得P的坐标．
解答： 解：根据抛物线的定义可知P到焦点的距离为5，则其到准线距离也为5．
又∵抛物线的准线为y=﹣1，
∴P点的纵坐标为5﹣1=4．
将y=4 代入抛物线方程得：4×4=x2，解得x=﹣4或4
故答案为：﹣4或4．
点评： 活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．

12．（5分）若，则的取值范围是[，2]．

考点： 两角和与差的正弦函数．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 所求式子提取2表示后，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由θ的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围．
解答： 解：sinθ+cosθ=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），
∵0＜θ≤，∴＜θ+≤，
∴≤sin（θ+）≤1，即≤2sin（θ+）≤2，
则当0＜θ≤时，sinθ+cosθ的取值范围为[，2]．
故答案为：[，2]
点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．

13．（5分）观察下列不等式：①；②；③；…请写出第n个不等式．

考点： 归纳推理．
专题： 计算题；规律型．
分析： 通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第n个等式即可．
解答： 解：因为：：①；②；③；
不等式的左边分母中的数是n（n+1），右边是无理式公差为1的等差数列，
所以；
故答案为：．
点评： 本题考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键．

14．（5分）对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b=，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k恰有三个零点，则实数k的取值范围是﹣2≤k＜1．

考点： 函数零点的判定定理．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=﹣k的图象有3个交点，结合图象求得结果．．
解答： 解：当（x2﹣1）﹣（x+4）＜1时，f（x）=x2﹣1，（﹣2＜x＜3），
当（x2﹣1）﹣（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤﹣2），
函数y=f（x）=的图象如图所示：

由图象得：要使函数y=f（x）+k恰有三个零点，只要函数f（x）与y=﹣k的图形由三个交点即可，
所以﹣1＜k≤2，所以﹣2≤k＜1；
故答案为：﹣2≤k＜1．
点评： 本题主要考查数形结合解决函数的零点个数问题，关键是正确画图、识图；体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．

15．（5分）下列四个结论，正确的是②④：
①直线a，b为异面直线的充要条件是直线a，b不相交；
②从总体中抽取的样本（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），若记，则回归直线 必过点；
③函数的零点所在的区间是；
④已知函数f（x）=2x+2﹣x，则y=f（x﹣2）的图象关于直线x=2对称．

考点： 命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的零点；线性回归方程．
专题： 探究型．
分析： ①根据空间直线的位置关系判断．②根据回归直线的性质判断．③根据根的存在性定理判断．④利用函数奇偶性的性质以及函数平移关系判断．
解答： 解：①直线a，b为异面直线时，直线a，b不相交；若a，b平行时，满足不相交，但此时不是异面直线，所以①错误．
②根据回归直线的性质可知，回归直线必须过样本中心点，所以②正确．
③函数在（0，+∞）上单调递增，，f（1）=lg1﹣1=﹣1＜0，所以函数在区间内没有零点，所以③错误．
④函数f（x）=2x+2﹣x为偶函数，所以函数f（x）关于y轴对称，将f（x）向右平移2个单位得到f（x﹣2），所以f（x﹣2）关于x=2对称，所以④正确．
故答案为：②④
点评： 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，要求熟练掌握相应的求解方法．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．
16．（12分）已知向量=（sin（A﹣B），sin（﹣A）），=（1，2sinB），且•=﹣sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA+sinB=2sinC，且S△ABC=，求边c的长．

考点： 余弦定理；正弦定理．
专题： 三角函数的求值．
分析： （Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出角C的大小；
（Ⅱ）利用正弦定理化简已知等式，得到a+b=2c，再利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将sinC以及已知面积代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab，cosC的值代入即可求出c的值．
解答： 解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得•=sin（A﹣B）+2sinBsin（﹣A）
=sin（A﹣B）+2sinBcosA
=sinAcosB﹣cosAsinB+2sinBcosA
=sinAcosB+cosAsinB
=sin（A+B）
=sinC
=﹣sin2C
=﹣2sinCcosC，
∴cosC=﹣，
∴C=120°；
（Ⅱ）由题意得sinA+sinB=2sinC，
利用正弦定理化简得：a+b=2c，
∵S△ABC=absinC=ab=，即ab=4，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣ab，即3c2=ab=4，
解得：c=．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．

17．（12分）某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为正数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．

组号 分组 频数 频率
第1组 [50，60] 5 0.05
第2组 [60，70] a 0.35
第3组 [70，80] 30 b
第4组 [80，90] 20 0.20
第5组 [90，100] 10 0.10
合计 100 1.00

考点： 频率分布直方图．
分析： （Ⅰ）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值；
（Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．
解答： 解：（Ⅰ）由频率和等于1，所以b=1.00﹣（0.05+0.35+0.20+0.10）=0.30．
a=100×0.35=35；
（Ⅱ）因为第三、第四、第五组的学生数的比例是3：2：1，所以利用分层抽样从中选6人，
第三、第四、第五组选取的学生人数分别是3人，2人，1人．
设第三组选取的学生为1，2，3．第四组选取的学生为a，b．第五组选取的学生为c．
则从6人中任意选出2人的所有方法种数是：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（1，c），（2，3），
（2，a），（2，b），（2，c），（3，a），（3，b），（3，c），（a，b），（a，c），（b，c）共15种．
其中至少1人是第四组的方法种数是：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），（a，c），（b，c）共9种．
所以2人中至少有1人是第四组的概率是．
点评： 本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是正确求出事件总数和基本事件个数，是基础题．

18．（12分）如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE=BC=2，AC=CD=3．
（Ⅰ）证明：EO∥平面ACD；
（Ⅱ）证明：平面ACD⊥平面BCDE；
（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABD的体积．

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
专题： 证明题．
分析： （I）如图，取BC的中点M，连接O同、ME．在三角形ABC中，利用中位线定理得到OM∥AC，再证出四边形MCDE是平行四边形，结合面面平行的判定得到面EMO∥面ACD，最后利用面面平行的性质即可得出结论；
（II）根据AB是圆的直径，C点在圆上，得到直径所结的圆周角是直角，又平面BDCE⊥平面ABC，从而有AC⊥平面BDCE，最后利用面面垂直的判定即可得出平面ACD⊥平面BCDE；
（III）由（II）知AC⊥平面ABDE，可得AC是三棱锥A﹣BDE的高线，再将三棱锥E﹣ABD的体积转化为三棱锥A﹣BDE的体积求解即可．
解答： 解：（I）如图，取BC的中点M，连接O同、ME．
在三角形ABC中，O是AB的中点，M是BC的中点，
∴OM∥AC，
在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE=CM，
∴四边形MCDE是平行四边形，∴EM∥CD，
∴面EMO∥面ACD，
又∵EO⊂面EMO，
∴EO∥面ACD．（8分）
（II）∵AB是圆的直径，C点在圆上，
∴AC⊥BC，又∵平面BDCE⊥平面ABC，平面BDCE∩平面ABC=BC
∴AC⊥平面BDCE，∵AC⊂平面ACD，
∴平面ACD⊥平面BCDE；
（III）由（II）知AC⊥平面ABDE，可得AC是三棱锥A﹣BDE的高线，
∵Rt△BDE中，S△BDE=DE×CD=×2×3=3．
因此三棱锥E﹣ABD的体积=三棱锥A﹣BDE的体积=S△BDE×AC=×3×3=3．

点评： 本题给出一个特殊的几何体，通过求证线面垂直和求体积，着重考查了空间直线与平面平行、平面与平面垂直的判定和性质，考查了锥体体积公式，属于中档题．

19．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，点（an，Sn）在直线上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn．

考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性．
专题： 综合题；等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）由题设知，﹣1，得﹣1（n∈N*，n≥2），两式相减可得数列递推式，由此可判断数列{an}为等比数列，从而可得其通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得an+1，an，根据等差数列的通项公式可得dn，从而可得，令，，利用错位相减法即可求得Tn；
解答： 解：（Ⅰ）由题设知，﹣1，得﹣1（n∈N*，n≥2），
两式相减得：，即an=3an﹣1（n∈N*，n≥2），
又S1=得a1=2，
所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
因为an+1=an+（n+1）dn，所以，
所以=，
令，
则①，
②，
①﹣②得﹣
==，
∴；
点评： 本题考查数列的函数特性、由数列递推式求通项公式、等差数列及错位相减法求数列的前n项和，考查学生综合运用知识解决问题的能力，综合性较强，能力要求较高．

20．（13分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 计算题；压轴题．
分析： （Ⅰ）根据题意可求得b，进而根据离心率求得a和c，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立消去y，表示出x1+x2和x1x2，利用建立方程求得k．
（Ⅲ）先看当直线的斜率不存在时，可推断出x1=x2，y1=﹣y2，根据=0求得x1和y1的关系式，代入椭圆的方程求得|x1|和|y1|求得三角形的面积；再看当直线斜率存在时，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用=0求得2b2﹣k2=4，最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案．
解答： 解：（Ⅰ）2b=2．b=1，e=
椭圆的方程为
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+

由已知=0得：
=
，解得k=±
（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，
由=0，则
又A（x1，y1）在椭圆上，所以
S=
所以三角形的面积为定值
（2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b
得到x1+x2=
代入整理得：
2b2﹣k2=4
=
所以三角形的面积为定值
点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．设直线方程的时候，一定要考虑斜率不存在时的情况，以免有所遗漏．

21．（14分）已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当﹣3＜a＜﹣2时，若存在λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＜（m+ln3）a﹣2ln3成立，求m的取值范围．

考点： 函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）求出h′（x），进而得到f（x），当a=0时在定义域内解f′（x）=0，然后判断在该方程根的左右两边导数的符号，由极值定义可求；
（Ⅱ）求出f′（x），分﹣2＜a＜0，a=﹣2，a＜﹣2三种情况进行讨论：分别在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0可得单调区间；
（Ⅲ）∃λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＜（m+ln3）a﹣2ln3成立，等价于|f（λ1）﹣f（λ2）|max＜（m+ln3）a﹣2ln3，而|f（λ1）﹣f（λ2）|max=f（x）max﹣f（x）min，由（Ⅱ）利用单调性可求得f（x）的最大值、最小值，再根据a的范围即可求得m的范围；
解答： 解：（Ⅰ）依题意，h′（x）=+2ax，
∴f（x）=（2﹣a）lnx++2ax，其定义域为（0，+∞），
当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=，
令f′（x）=0，解得x=，
当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x＞时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；
∴x=时，f（x）有极小值为f（）=2﹣2ln2，无极大值；

（Ⅱ）f′（x）=+2a==，
当﹣2＜a＜0时，﹣，
令f′（x）＜0，得0＜x＜或x＞﹣，
令f′（x）＞0，得；
当a=﹣2时，f′（x）=﹣；
当a＜﹣2时，﹣，
令f′（x）＜0，得x＜﹣或x＞，
令f′（x）＞0，得﹣＜x＜；
综上所述：当﹣2＜a＜0时，f（x）的单调减区间为（0，），（﹣，+∞），单调增区间为（，﹣）；
当a=﹣2时，f（x）的单调减区间为（0，+∞）；当a＜﹣2时，f（x）的单调减区间为（0，﹣），（，+∞），单调增区间为（﹣，）；

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当﹣3＜a＜﹣2时，f（x）在[1，3]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=2a+1；f（x）min=f（3）=（2﹣a）ln3++6a，
∴|f（λ1）﹣f（λ2）|max=f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=，
∵存在λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＜（m+ln3）a﹣2ln3成立，
∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3，
整理得ma＞，
又a＜0，
∴m＜﹣4，
又∵﹣3＜a＜﹣2，
∴﹣，
∴﹣，
∴m≤．
点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值及恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力，具有一定的综合性．

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