区间分析在中的应用非线性系统模型参数估计图文.doc

第29卷第4期增刊 2008年4月
仪 器 仪 表 学 报
Chinese Journal of Scientific lnstrument
V01.29No.4 Apr.2008
区间分析在非线性系统模型参数估计中的应用
杨卫锋曾芳玲
(解放军电子工程学院合肥230037
摘要在未知但有界(UB曲误差假设下,把非线性系统模型参数估计看成是一个集合逆变换问题,利用基于区间分析的SIVIA 算法可以得到参数成员集的近似但可靠的集估计,进一步计算便可得到待估参数的点估计.通过对谷氨酸菌体生长模型参数 估计进行仿真,验证了该方法的有效性:通过与其他算法相比较,结果显示该方法还具有较强的鲁棒性和一定的适用性.
关键词区间分析非线性系统参数估计未知但有界(UBB有界误差估计
Application of Interval Analysis for Parameter Estimationof
NonlinearSystem
Model
Yang Weifeng Zeng Fangling
(Electronic Engineering Institute P翻Hefei 230037China
Abstract The problem of the parameter estimation of nonlinear sy’stem modeI iS viewed鹌one of set inversion in the unknown・-but・-bounded(UBBcontext,and the approximate set of the membership set can be obtained by using the SIVIA(Set Inverter Via Interval Analysisalgorithm which is based 01"1interval analysis.After further computation,the point estimation of the parameters to be estimated can also be obtained.The effectiveness of the SIVIA algorithm is tested by parameter estimation of glutamic acid bacterium growth model.It also shows that the approach is of a stronger robustness and a determinate applicability by comparing with the other methods. Key words interval analysis nonlinear system parameter estimation unknown・・but--bounded(UBB bounded.error estimation
1引言
在系统模型的参数估计中,经典的基于统计特 性的参数估计方法都是假设系统中的不确定性(或 误差服从一定的概率模型,然后根据不同的假设 条件,相应的采用最大后验概率估计、最大似然估 计、最小二乘估计等方法对参数进行估计.当系统 误差的统计特性已知时,这种成熟的参数估计方法 无疑是最好的选择,但实际上,由于观测误差、模型 结构误差以及随机噪声等各种不确定因素的存在, 使得这种假设一般很难得以满足,另外,基于统计 特性的参数估计方法还会受到其他因素困扰111,特 别是当模型输出相对于参数是非线性时【21,这就使 得这种经典的参数估计方法也还存在着一定的不 足。
系统模型中,误差的界限通常比其统计特性更 容易获得,且在某些情况下对数据的表示也更加合 理.因此,基于未知但有界(unknown-but-bounded, UBB误差假设的有界误差估计或称为集员辨识【3'4】 的方法则可以在某种程度上较好的弥补统计方法 的不足.在UBB误差情况下,对非线性系统模型进 行参数估计可以看成是一个集合逆变换(set
第4期增刊 杨卫锋等:区间分析在非线性系统模型参数估计中的应用
inversion问题,借助基于区间分析(Interval Analysis, IA16,9]的SIVIA(Set Inverter Via Interval Analysis算 法12,6-101,我们就可以得到待估参数的近似但可靠的 估计集,经过进一步计算,即可得到待估参数的点 估计。
当既可以得到误差的概率统计特性,又知道误 差界限,我们可以把参数估计的统计估计方法和有 界误差估计方法结合起来,各取所长,以得到更理 想的参数估计结果。
2有界误差估计
在UBB误差背景下,设实际观测数据 J,(f∈R‘,系统模型的未知参数向量P∈R”,模型 的理论输出%(Bf∈R‘,输出误差为 e(p,,=Y(t--Ym(P,f,若设曼(,和虿(f分别为 已知的可接受输出误差的下界和上界,则当且仅当 P(p,f∈E={P(rI兰O≤e(t≤虿O>时,我们称 P是可行的.设所有可行值P的集合即成员集为S, 用下式表示
S=伽∈R“Iy(‘一Ym(P,‘ ,,、 ∈【旦(‘,虿(‘】,f=1,2,…,七
著 著
=n{,∈gnk(弘‘∈陟以】}-n瓯(2 i=l i=l
式中:眇(ff】=【y(,f一万(t,y(t一旦(,j】,y(‘ 为‘时刻的观测值,ym(p,‘为‘时刻的输出.由 (2式可以看出,随着样本容量的增多,S的包含范 围将逐步缩小,当样本容量足够多时,S将收敛到 系统模型的真实参数.
表示S的方法很多,但多数的算法都是针对于 线性参数系统的情况,即虼(弘f是P的线性函数, 这时S通常对应于一个比较简单的凸集,如超平行 体、椭球体等,我们可以比较准确地表示它,但当 ym(p,,是P的非线性函数时,S可能是非凸集, 并且有可能是由若干个不连通的部分所构成的一 个集合,此时,我们想要可靠地表示S,情况就要复 杂的多.但不管J,,(p,,是,的线性函数与否,区 间分析都可以为估计S的一个近似但可靠的集合 提供有力的工具支持12声1∞.
61
在集合意义上,假设此(p,f的反函数为 虼叫(,,f,则S也可用下式表示:
S=儿_1(y(f一E=J■卅(y (3 其中Y=J,(f一曰为模型输出的先验可行 集,(3显然是一个集合逆变换问题.在UBB误差情 况下,把非线性系统模型参数估计看成是一个集合 逆变换问题,利用基于区间分析的SIVIA算法,就可 以得到待估参数的近似但可靠的估计集了。
3集合逆变换的区间分析方法
使用区间分析进行非线性参数估计有两种方 法:一是使用基于区间分析的区间全局优化算法【9l 优化某一目标函数来寻找最优参数:二是在UBB误 差情况下,寻找所有与误差相容的不确定参数集 12,6-m1.本文利用L.Jaulin和E.Walter等人提出的 SIVIA算法进行非线性系统模型参数估计(使用区 间分析进行线性系统模型参数估计详见文献 [11].
对于(3式所示的集合逆变换问题。利用 SIVIA算法总可以得到两个正规的子块石面路集 (regular subpavingtgl墨,S使得:
S—cScS (4 i霞SIVIA算法的先验搜索域【鳓13S(为了保 证【风】∈肛”肯定包含S,【风】可能非常大,模型 输出的先验可行集l厂,用户预设的容差参数靠(当 所考查的区间向量的宽度比晶小时,搜索结束,这 样就可以防止算法无休止的搜索下去,SIVIA算法 不同于传统的随机搜索方法,它采用二分法,递归 地全面而系统地搜索【风】,在搜索的过程中,进行 以下测试判断:
・ 如果眇】。(【纠,fc Y,那么肯定有【P】c S, 这时【p】是可行的,把【p】存放到墨和S中:・ 如果眇】。(【纠,tNY=a,那么肯定有 【p]ns=o,这时【p】是不可行的,则把【纠 删除:
・ 此外,【P】是不确定的,即它可能是可行的也可 能是不可行的,此时,若它的宽度w(【p】比%
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大,那么对其二分,并对所产生的新区问向量 重新进行测试判断,若w(【p】比岛小,那么就 认为【p】满足要求,并把它存放到S中.
由此,则基于区间分析的SIVIA算法可概括如 下(初始化S#a,S:=g:
SIVIA(in:Ym,Y,[p】,Co;inout:签,S
l if【J,】。([p】nl,=g return;
2if【y】。(咖】cy,then{蓬≥sU【,】;
S:=S U[p】;return;};
3if以咖】<岛then{S:=SU[p】;return;}; 4SIVIA(in:%,Y,L【纠,So,s,S;
SIVIA(in:虼,Y,R[p】,60,s,S.
其中:
L[p】=【Pl,磊】×…×【pi,(pi+歹;/2】
X…×【P。,瓦】,
RIp】=【Pl,死】×…×【(pj+死/2,歹j】
×…×【P。,A】.
有限次递推后,就可以得到ScScS,这就 意味着未知集合S被包含在两个已知集合S和j 之中了,所以,只要我们求得S和露,也就可以近似 得到S了.
属于S但不属于S的所有区间向量所组成的 子块石面路集称为不确定层,用心口j\S表示. 丛的宽度越窄,S逼近真实成员集的效果越好,反 之就差.
值得指出的是,利用SIVIA算法对非线性系统 模型进行参数估计时,都是假设参数与误差是相容 的,由于过于乐观地估计误差的界限或因为传感器 在给定时间点故障以致假设不相容时,由(2式可 以看出,利用SIVIA所得到的结果可能是个空集.这 种情况下,为了得到问题的解集,可利用稳健非线 性估计方法【ado]对其进行估计.由于用于估计的信 息减少了,所以,对相同问题的估计结果,所得估计 集的体积较前要稍大一点.当参数空间的维数比较 高时,可将收缩算子(contractor191应用于SIVIA算 法以减少计算的时间复杂度和空间复杂度,提高算 法的速度和效率.
62 4仿真试验
本文以谷氨酸菌体生长模型参数估计为例,验 证SIVIA算法的有效性.
菌体种子接入发酵罐后,就在罐内按自然规律 生长繁殖,在整个发酵期间,若无杂菌和噬菌体的 侵袭,罐内外没有大规模菌体迁移,菌体在发酵罐 内的自然生长繁殖过程可以用Verhulst方程来描述 【12.15l:
dYm(t/dt=%(f(1一ym(t/k,%(O=%o. 在工业生产的实际过程中,鉴于接入发酵罐中 的菌体有一个适应环境的过程,菌体的增殖有一段 时间的滞后‘,为此,将上式改写成:
lYm(t=Ymo,0≤f≤『l
【dyAt/dt=砜◇(1一虼(f/尼
对上述的微分方程进行求解可得:
虼(r=k/(1+exp(a-rxt,%o=k/(1+e8(5 式(5即可作为菌体在发酵罐内的生长模型.
4.1仿真条件
非线性系统模型虼(f=k/(1+exp(a-rx f, 其中k、a、r分别为待估计的模型参数,ym(t为模 型输出,观测值,(f如表1所利协151.
设实际观测数据与模型输出之间的误差 P(f:』如.Ym(t∈[-o.1,n1】,脚,...’7,待 ~ly(f一%(f∈【--0.05,0.05】,t=8,…,21~。 估参数k、a、r的先验可行集为:
【P。】=【o,6]x[O,6】×【O,5】,
用户预设精度:‰=0.01.
表1实际观测数据
y(tt y(tt y(t O’32
O|35
O.36
0.4
O.58
0.64
0.74
9O.78
10082
1l O.85
120.86
130.87
140.87
150.89
1609
17O,9
180,9
190.9
200.9
210.9
4.2仿真结果
利用SIVIA算法在3.1节仿真条件下进行仿真, 可得【蓬】c【S】c【S】(其中【墨】,【S】,【S】分别表
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示S,S,S的区间壳(interval hull19J,其中:
『跚=【0.317149763903071,0.44951915020967刀 ×f1.574,2.012]×『O.859614208190967,0.9584]陋1=『0.28334198857887,0.47961
xfl.32629442032995,2.5351×f0.853436360543557,0.959414236903773]
表2参数估计结果(1
表2参数估计结果(2
理论上我们应取晦】的中心即S的切比雪夫 中心(UBB误差情况下经典的点估计做为待估参 数的估计值.由于我们无法得到精确的【S】,又由于 不确定层丛中的数据可能是可行的也可能是不可 行的,所以,本例为讨论简便和保险起见,不妨保守 一点,选S做为参数集S的近似估计,取【S】的中 心做为待估参数的估计值,并将所得结果与微粒群 优化(PSO算法【12】、人工神经网络(ANNlbl、标准 遗传算法(SGA【14】及改进遗传算法(IGA‘”J所得结 果进行比较,如表2所示.
4.3仿真结果分析
将表2中估计值分别作为模型参数,以表1中的 实际观测数据作为检验样本,进行模型拟合度的比 较.采用和文献112J相同的分析方法,使用剩余标准 差(RSM作为评价指标,如式(6所示.
RSM:y
J,一
I--l
(6 其中:只为实际观测值,允为模型拟合值,刀为用于 模型参数估计的样本个数.实际观测值与模型拟合 63 值的比较如表3所示(为简便,这里仅给出本文方法 所得的拟合值,其他方法所得拟合值详见文献 [12].利用式(6,得本文方法所得的模型剩余标 准差为RSWIA-0.08554,其他几种方法所得的模型剩 余标准差分别为【121:
RSWpso---O.08672,RSWAhaq=0.08828,
RSWSGA=0.08721.RSWIGA=0.090387.
由此可以看出,本例中,基于区间分析的参数估计 精度略高于其他几种方法.
表3实际观测数据与模型拟合值的比较
yi yj yi yI yt yi
0.320.24460.78
0.350.31870.82
0.360.40150.85
0.40.48790.86
0.580.57180.87
0.640.64770.87
0.740.71220.89
0.76400.90.8936
0.80380.90.8972
0.83350.90.8996
0.85490.90.9013
O.87020.90.9024
O.88lO O.90.9032
0.8884
5结论
由第4部分的仿真试验结果以及评价指标之间 的比较,我们可以得出以下结论:基于区间分析的 非线性系统模型参数估计的结果不再只是待估参 数的一个点估计,而是肯定包含待估参数真值的一 个集估计:计算出所得估计集的切比雪夫中心,即 可得待估参数的点估计.基于区间分析的非线性参 数估计的这种特性,为我们可以更准确地估计和评 价所得结果提供了一定的依据.由于该方法可以把 系统模型中所有因素引起的不确定性看作是一个 有界误差来进行处理,只需知道有界误差的上界和 下界,而不必知道系统模型参数的概率统计,因此, 该方法具有较强的鲁棒性和一定的适用性.
参考文献
【l】E.Walter,H.Piet-Lahanier.Guaranteed linear and nonlinear parameter estimation from bounded-error data: a survey【A】.1993IEEE International Symposium on Circuits and Systems【C】. Chicago, IL,May 1993:774-777.
【21L.Jaulin,E.Walter.Guaranteed nonlinear pm'anlclcr estimation via interval computations【J】.Interval Computation,1993:61-75.
第29卷 仪 器 仪 表 学 报
【3】3Fogel E.System identification via membership set 【9】9L.Jaulin,M.Kieffer,O.Didrit,E.Walter,Applied constraints with energy conswaiued noise阴.IEEE Interval Analysis IM].London.U.K.:S州nger-Verlag, Transactions Oil Automatic Control,1979,AC_24:2001:3—186.
752-758.
【4】 Fogel E,Huang YF.On the value of information in system
identification-bounded noise case田.Automatic, 1982,18(2:229-238.
【5】R.E.Moore.Interval Arithmetic and Automatic Error analysis in digital computing【D】.Stanford:Stanford University,1962:1-134.
【6】L.Jaulin,E.Walter.Guaranteed nonlinear parameter estimation from bounded-error data via interval analysis 四. Mathematics and Computers in Simulation, 1993.5:123--137.
【7】L.Jaulin,E.Walter.Set inversion via interval analysis for nonlinear bounded-error estimation【J】.Automatica, 1993.29(4:1053・1064。
【8】L.Jaulin,E.Walter,O.Didrit Guaranteed robust nonlinearparameter bounding【A】.In Proe.CESA’96 IMACS Multiconference(Symposium On Modelling, Analysis and Simulation【C】.Lille,July 9-12, 1996:l 156.1161. 【10]M.Kieffer,E.Walter.Interval analysis for guaranteed non-linear parameter and state estimation 【J1. Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems.June 2005,11(2:171-181.
王晓军,邱志平.线性时不变系统集员辨识的区闻算 法[刀.力学学报,2005,37(6:713-718.
【111苏成利,徐志成,王树青.PS0算法在非线性系统模型参 数估计中的应用[J]. 信息与控 制,2005,34(1:123-125.
【12】蔡煜东,陈常庆,周斌等.用人工神经网络辨识发酵 动力学模型参数[J]. 生物数学学报。 1994.9(4:103-107.
【13】蔡煜东,陈常庆.用遗传算法辨识发酵动力学模型参 数[J],化工学报,1995,46(3:338—342.
【141郑启富,徐明仙.运用改进的遗传算法估计发酵动力 学模型参数[J].天津化工,2003,17(1:56-57.
区间分析在非线性系统模型参数估计中的应用 作者： 作者单位： 杨卫锋， 曾芳玲 解放军电子工程学院 合肥 230037 相似文献(10条 1.期刊论文 王凌.李令莱.郑大钟 非线性系统参数估计的一类有效搜索策略 -自动化学报2003,29(6 结合模拟退火的随机概率突跳性搜索和单纯形法的凸多面体几何搜索,提出了非线性系统参数估计的一类有效搜索策略.通过对多种非线性定常系统 的多维参数估计和非线性时变水箱系统的参数与时滞在线联合估计的仿真研究,验证了该方法的可行性、有效性及其一定的抗噪声能力. 2.期刊论文 董亚丽.王彦刚 一类非线性系统的自适应反步控制 -系统科学与数学2009,29(8 研究一类带有未知常数参量的非线性系统的镇定及自适应控制器设计问题,提出了一类非线性系统参数估计器设计及自适应反步控制器设计的新方法 .构造出Lyapunov函数,并给出闭环系统全局渐近稳定的新的充分条件.例子表明了所获方法的有效性. 3.期刊论文 贺利.黄正良.He Li.Huang Zhengliang 采用多项式逼近非线性系统的指定精度参数估计法 -西南科技 大学学报2002,17(4 提出了一种采用多项式逼近非线性系统的指定精度参数估计法.此方法避免了传统方法对多项式阶数的经验估计,可以根据实际需要的精度确定多项 式的阶数,同时获得多项式的参数估计.仿真结果说明了该方法的有效性. 4.学位论文 周淑秋 一类非线性系统的建模预报方法及其在航母运动极短期预报中的应用 1996 在实际中存在着大量的非线性系统,因此研究非线性系统的建模预报方法有很重要的意义.该论文研究带外输的非线性多项式自回归滑动平均 (PNARMAX模型的建模预报方法及 其在航母运动极短期预报中的应用. 5.期刊论文 侯忠生.于百胜.黄文虎.HOU Zhong-sheng.YU Bai-sheng.HUANG Wen-hu 非线性系统参数估计的投影算 法 -哈尔滨工业大学学报2000,32(3 研究了非线性系统的时变参数估计问题，给出了基于新的估计准则的非线性系统投影算法——梯度投影算法的改进形式，证明了算法的收敛性，并 讨论了算法的优缺点.最后给出一个仿真算例，验证了所给算法的有效性 6.学位论文 于丽 多新息随机梯度型辨识方法 2008 常规辨识方法，如最小二乘、卡尔曼滤波和最小均方算法都是采用单新息修正技术的辨识方法.多新息辨识方法拓宽了新息辨识的概念，它是单新息 辨识算法的推广，它具有良好的收敛性能和克服坏数据的能力，具有较强的鲁棒性，所以对它的研究既具有重要的理论意义，又具有潜在的应用价值.论 文基于国家自然科学基金项目《一类非线性系统辨识建模理论与方法的研究》，拟定了多新息随机梯度型辨识方法研究课题，选题属于应用基础研究 ，具有理论意义和实用价值。作者在查阅了相关文献的基础上，对有色噪声干扰系统和输入非线性系统的多新息辨识问题进行了研究，并对提出的部分 参数辨识方法收敛性进行了分析，取得了下列研究成果。 线性模型的多新息随机梯度型辨识方法： 1.带(噪声或有色噪声干扰的线性模型最小二乘类辨识算法、随机梯度型辨识算法的研究相当成熟.但最小二乘辨识算法计算量大，随机梯度辨识算 法的收敛速度较慢.为了提高随机梯度型辨识算法的收敛速率，论文首先针对线性受控AR模型(CAR模型，提出了CAR模型的多新息随机梯度辨识算法，推 导了有色噪声干扰受控ARMA线性模型(CARMA模型的多新息增广随机梯度算法，运用随机过程理论和鞅理论详细的分析CARMA模型的多新息增广随机梯度 算法的收敛性，并用仿真例子说明提出的多新息随机梯度算法比经典的随机梯度算法有更快的收敛速度. 2.进一步将多新息辨识方法推广到更为复杂线性模型的辨识，如动态调节模型(CARAR模型和一般随机系统模型(CARARMA模型，提出了动态调节模 型和CAR_ARMA模型多新息广义随机梯度算法和多新息广义增广随机梯度算法，给出了计算参数估计的数学表达式和详细计算步骤，利用数字仿真例子对 算法辨识效果进行了验证.输入非线性模型的多新息随机梯度型辨识方法： 1.在研究了线性CAR和CARMA模型的多新息(增广随机梯度辨识方法基础上，将该方法推广用于输入非线性CAR模型的辨识，提出了输入非线性CAR模 型的多新息随机梯度辨识算法，给出算法计算参数估计的步骤.推导出输入非线性CAR模型的多新息随机梯度算法参数估计误差界，分析了该辨识算法在 持续激励条件下参数估计误差满足的条件，数字仿真结果也证明了算法的良好性能. 2.针对有色噪声干扰的输入非线性模型，给出了输入非线性有色噪声干扰CARMA模型的多新息增广随机梯度辨识算法、输入非线性动态调节模型 (CARAR模型的多新息广义随机梯度辨识方法、输入非线性CARARMA模型的多新息广义增广随机梯度辨识算法，也用仿真例子说明了算法的辨识效果。数 字仿真表明：多新息随机梯度型辨识方法可以大大提高参数估计的收敛速度和精度. 论文最后给出了一个总结和展望，并对多新息随机梯度型辨识方法问题的研究所面临的一些困难和尚值得继续深入研究的方向作了简单介绍. 7.期刊论文 吕佳.LUI Jia 大变异遗传算法在非线性系统参数估计中的应用 -重庆师范大学学报(自然科学版 2004,21(4 针对传统非线性系统模型参数估计方法的局限性及基本遗传算法存在的"早熟收敛"问题,本文提出了基于大变异操作的改进遗传算法来进行非线性系 统参数的辨识,并将其应用到活性污泥动态模型的参数估计中,取得了较好的效果. 8.会议论文 杨艳梅.杨超.尹滨 带有一类随机输入扰动的非线性系统的参数估计 1997 该文研究了一类带有随机时变输入扰动非线性ＡＲＭＡＸ模型参数估计的多项式逼近方法。给出了当输入受到随机时变干扰时系统结构的形式，并 基于自校正Ｋａｌｍａｎ滤波器导出了相应的自适应参数估计算法。 9.学位论文 许杰 时变系统的实时辨识研究 1994 论文对导弹时变系统的辨识方法进行了应用基础性研究.在分析现有时变参数辨识方法的基础上,研究确定了时变参数的辨识方法.用现有较好的快速 时变参数辨识方法对导弹的控制系统进行了参数辨识.验证了不同的辨识方法在不同条件下对导弹控制系统具有较好的辨识结果.同时在原有文献的基础 上,提出了一种重置协方差阵的递推新算法.这种方法主要是改进了协方差阵的设置,以适应导弹控制系统这种快速时变系统的参数估计要求.通过对两种 型号的导弹控制系统的快速时变系统的参数进行的计算机仿真表明,这种辨识方法对导弹时变系统有较好的辨识结果.最后,论文对非线性系统的辨识方法 在理论上进行了探索性研究. 10.会议论文 郑会永.杨秉政 非线性系统参数估计的一种新方法——光顺样条滤波方法 1994 本文链接： 授权使用：蔡福瑞(wfjxlgdx，授权号：6a9c3bf8-1376-4624-9b5d-9e3900cd64da
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