湖北省随州市2016-2017学年高一数学下学期期末试卷文(含解析).doc

2016-2017学年湖北省随州市高一（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1． 已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（　　）
　 A．第一或第二象限角 B． 第二或第三象限角
　 C．第三或第四象限角 D． 第一或第四象限角
考点： 象限角、轴线角．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 根据cosθ•tanθ＜0和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断角θ所在的象限．
解答： 解：∵cosθ•tanθ=sinθ＜0，
∴角θ是第三或第四象限角，
故选C．
点评： 本题的考点是三角函数值的符号判断，本题化简后能比较直接得出答案，一般此类题需要利用题中三角函数的不等式和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”对角的终边位置进行判断．

2． （2015春•随州期末）下表表示y是x的函数，则函数的值域是（　　）
x 0＜x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x≤20
y 2 3 4 5
　 A． [2，5] B． N C． （0，20] D． {2，3，4，5}
考点： 函数的值域．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 由表示函数的方法表格法可直接得到函数的值域．
解答： 解：由图表可知，，
∴函数的值域为{2，3，4，5}．
故选：D．
点评： 本题考查了函数的表示法，考查了函数的值域，是基础题．

3． （2015春•随州期末）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 平面图形的直观图．
专题： 作图题；空间位置关系与距离．
分析： 根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，
由此得出原来的图形是什么．
解答： 解：根据斜二测画法知，
平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，
∵O′C′=1，O′A′=，
∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；
由此得出原来的图形是A．
故选：A．
点评： 本题考查了平面图形的斜二测画法应用问题，是基础题目．

4． （2011•未央区校级模拟）据科学记算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是（　　）
　 A． 10秒钟 B． 13秒钟 C． 15秒钟 D． 20秒钟
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 应用题；综合题．
分析： 设出每一秒钟的路程为一数列，由题意可知此数列为等差数列，然后根据等差数列的前n项和的公式表示出离地面的高度，让高度等于240列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．
解答： 解：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，
则数列{an}是首项a1=2，公差d=2的等差数列，
由求和公式有na1+=240，即2n+n（n﹣1）=240，
解得n=15，
故选C．
点评： 此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式解决实际问题，是一道综合题．

5． （2010•广东）若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（　　）
　 A． f（x）与g（x）均为偶函数 B． f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
　 C． f（x）与g（x）均为奇函数 D． f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
考点： 函数奇偶性的判断．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 首先应了解奇函数偶函数的性质，即偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．然后在判断定义域对称性后，把函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x代入验证．即可得到答案．
解答： 解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．
对函数f（x）=3x+3﹣x有f（﹣x）=3﹣x+3x满足公式f（﹣x）=f（x）所以为偶函数．
对函数g（x）=3x﹣3﹣x有g（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣g（x）．满足公式g（﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数．
所以答案应选择D．
点评： 此题主要考查函数奇偶性的判断，对于偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）做到理解并记忆，以便更容易的判断奇偶性．

6． （2015春•随州期末）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（　　）
①a+b＜ab
②|a|＞|b|
③a＜b
④+＞2．
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 基本不等式．
分析： 由已知条件可得b＜a＜0，利用不等式的性质，逐一分析各选项，从而确定正确答案．
解答： 解：∵＜＜0，∴b＜a＜0．
∴a+b＜0，ab＞0，|b|＞|a|，故①正确，②③错误．
∵a、b同号且a≠b，∴、均为正．
∴+＞2=2．
故④正确．
∴正确的不等式有2个．
故选B．
点评： 依据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等式或有关的结论是否成立，是高考考查的重点内容，需熟练掌握．

7． （2015春•随州期末）如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的表面积为（　　）

　 A． 14 B． 6+ C． 12+2 D． 16+2
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，高为2，底面正三角形的一边上的高为．据此即可计算出其表面积．
解答： 解：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，高为2，底面正三角形的一边上的高为．
∴底面正三角形的边长为2．
该几何体的表面积S=2××22+3×2×2=12+2．
故选：C
点评： 本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．

8． （2015春•随州期末）在△ABC中，∠C=120°，，则tanAtanB的值为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 两角和与差的正切函数．
分析： 根据A+B=180°﹣C=60°，先求出tan（A+B）的值，再求tanAtanB．
解答： 解：，
故，即．
故选B．
点评： 本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．

9． （2012•陕西）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 余弦定理．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．
解答： 解：因为a2+b2=2c2，
所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，
cosC==．
故选C．
点评： 本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力．

10． （2012•山东）若，，则sinθ=（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．
专题： 三角函数的求值．
分析： 结合角的范围，通过平方关系求出二倍角的余弦函数值，通过二倍角公式求解即可．
解答： 解：因为，，
所以cos2θ=﹣=﹣，
所以1﹣2sin2θ=﹣，
所以sin2θ=，，
所以sinθ=．
故选D．
点评： 本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系，注意角的范围，考查计算能力．

11． （2015•合肥校级模拟）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（　　）
　 A． 有最大值e B． 有最大值 C． 有最小值e D． 有最小值
考点： 等比数列的性质；对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析： 先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．
解答： 解：依题意•lny=
∴lnx•lny=
∴lnxy=lnx+lny≥2=1
xy≥e
故选C
点评： 本题主要考查了等比中项的性质．即若a，b，c成等比数列，则有b2=ac．

12． （2015春•随州期末）定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知正数数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn=，则+++…+的值为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 通过正数数列{an}的前n项的“均倒数”为，可知an=4n﹣1，进而bn=n，通过裂项可得=﹣，并项相加即可．
解答： 解：∵正数数列{an}的前n项的“均倒数”为，
∴正数数列{an}的前n项和为n（2n+1）=2n2+n，
∴正数数列{an}的前n+1项和为（n+1）[2（n+1）+1]=2n2+5n+3，
∴an+1=（2n2+5n+3）﹣（2n2+n）=4（n+1）﹣1，
又∵=，即a1=3满足上式，
∴an=4n﹣1，
∴bn===n，
∴==﹣，
∴+++…+
=+…+﹣
=1﹣
=，
故选：D．
点评： 本题考查数列的前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13． （2012•茂名二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为　　．

考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 计算题．
分析： 利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的表面积即可．
解答： 解：由三视图可知几何体下部是四棱柱，底面边长为：1的正方形；高为2；
上部是四棱锥，底面边长为2的正方形，高为1；
所以所求几何体的体积为：V=V柱+V锥==．
故答案为：．
点评： 本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．

14． （2015春•随州期末）若x＞0，则的最大值是　﹣2　．
考点： 基本不等式．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 利用基本不等式的性质即可得出．
解答： 解：∵x＞0，∴，当且仅当x=2时取等号，
∴≤2﹣4=﹣2，∴的最大值是﹣2．
故答案为﹣2．
点评： 熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．

15． （2014•福建模拟）已知sin（+α）=，则cos（）=　﹣　．
考点： 二倍角的余弦；诱导公式的作用．
专题： 三角函数的求值．
分析： 因为 cos（﹣α）=sin（+α）=，利用二倍角公式求得 cos（）的值．
解答： 解：因为 cos（﹣α）=sin（+α）=，
∴cos（）=2﹣1=2×﹣1=﹣，
故答案为﹣．
点评： 该题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，还要求学生能够感受到 cos（﹣α） 与sin（+α） 中的角之间的余角关系，属于中档题．

16． （2015春•随州期末）若函数f（x）的自变量x在区间I上，恒有f（x）＜0（或f（x）＞0），则称f（x）是区间I上的“负任性函数”（或“正任性函数”）．已知g（x）=x﹣，函数f（x）=mg（x）+g（mx）是区间[1，+∞）上的“负任性函数”，则实数m的取值范围是　（﹣∞，﹣1）　．
考点： 函数的最值及其几何意义．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 通过化简可知当x∈[1，+∞）f（x）=2mx﹣＜0，当m＞0时即解不等式2m2x2＜m2+1，当m＞0时即解不等式2m2x2＞m2+1，计算即得结论．
解答： 解：∵g（x）=x﹣，
∴f（x）=mg（x）+g（mx）
=m（x﹣）+mx﹣
=2mx﹣，
∵函数f（x）是区间[1，+∞）上的“负任性函数”，
∴当x∈[1，+∞），f（x）=2mx﹣＜0，
下面对m的正负进行讨论：
①当m＞0时，2mx﹣＜0，即2m2x2＜m2+1，
∴，
∵x∈[1，+∞），
∴2x2﹣1∈[1，+∞），∈（0，1]，
∴m2＜0，无解；
②当m＞0时，2mx﹣＜0，即2m2x2＞m2+1，
∴m2＞，
∵x∈[1，+∞），
∴2x2﹣1∈[1，+∞），∈（0，1]，
∴m2＞1，
∴m＜﹣1或m＞1（舍）；
综上所述：m＜﹣1，
故答案为：（﹣∞，﹣1）．
点评： 本题考查函数的最值，涉及解不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分．）
17．（10分）（2015春•随州期末）已知△ABC的面积为2且
（1）求tanA的值；
（2）求的值．
考点： 二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．
专题： 综合题；三角函数的图像与性质．
分析： （1）由题意可得，，，两式联立可求得tanA；
（2）逆用倍角公式、同角三角函数间的商数关系可把原式变为关于tanA的表达式；
解答： 解：（1）∵=2，①
又∵，
∴②，
由①②得，tanA=2；
（2）
=
==；
点评： 本题考查二倍角的余弦、两角和与差的正弦、余弦，考查学生的运算求解能力，属中档题．

18．（12分）（2015春•随州期末）已知函数f（x）=3x2+bx+c，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．
（Ⅰ） 求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ） 已知函数g（x）=f（x）+mx﹣2在（2，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围．
考点： 二次函数的性质；一元二次不等式的解法．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （Ⅰ）根据题意判断出：﹣2和0是方程3x2+bx+c=0的两个实根，代入列出方程，求出b和c的值；
（Ⅱ）由（1）求出g（x）的解析式，再求出对称轴方程，根据条件和二次函数的单调性，列出不等式，求出m的范围
解答： 解：（Ⅰ）∵不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．
∴，…（2分）
解得，
∴f（x）=3x2+6x；…
（Ⅱ） 由（Ⅰ） 知，f（x）=3x2+6x，
∵g（x）=f（x）+mx﹣2，
∴g（x）=3x2+6x+mx﹣2，
=3[x+（1+）]2﹣2﹣3×+（1+）2，（9分）
∵函数g（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴﹣（1+）≤2，
∴m≥﹣18；…（12分）
∴实数m的取值范围为m≥﹣18…（13分）
点评： 本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次方程与不等式的关系，属于中档题．

19．（12分）（2015春•随州期末）随州市某处有如图所示的A、B、C、D四个景点，目前AD、AB、DC之间已修建公路，市政府为了更好发展随州的旅游产业，决定新修建两条公路用以连接B、D两景点和B、C两景点．现测得AD=5km，AB=7km，∠ADB=60°，∠ADC=105°，∠CBD=15°
（Ⅰ）求公路BD的长度；
（Ⅱ）求公路BC的长度．

考点： 解三角形的实际应用．
专题： 解三角形．
分析： （1）利用余弦定理只要解三角形ABD即可；
（2）利用正弦定理解三角形BCD．
解答： 解：（Ⅰ）在△ABD中，设BD=x，则AB2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠BDA，
即72=52+x2﹣10xcos60°，整理得到x2﹣5x﹣24=0，解得x=8，x=﹣3（舍去），
所以公路BD的长度为8km；
（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理得到，其中BD=8，∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=105°﹣60°=45°，∠BCD=180°﹣∠CBD﹣∠BDC=180°﹣15°﹣45°=120°，
所以，所以BC=，所以公路BC的长度为km．
点评： 本题考查了解三角形的实际应用；关键是将所求转化为解三角形的问题解答．

20．（12分）（2015春•随州期末）已知数列{an}的前n项和Sn=n2+，数列{bn}满足b1=2且bn=2bn﹣1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记cn=a，数列{cn}的前n项和为Sn，集合A={n∈N*|Sn＞6•2n+n2﹣8n}，求集合A．
考点： 数列的求和；数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）通过Sn=n2+，当n≥2时利用an=Sn﹣Sn﹣1可知an=3n﹣1，且当n=1时也成立，从而an=3n﹣1；通过b1=2、bn=2bn﹣1可知；
（Ⅱ）通过an=3n﹣1、可知cn=3•2n﹣1，进而Sn=3•2n+1﹣n﹣6，从而问题转为求不等式3•2n+1﹣n﹣6＞6•2n+n2﹣8n的整数解，计算即可．
解答： 解：（Ⅰ）∵Sn=n2+，
∴当n=1时，a1=S1=+=2，
当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2+，
∴an=Sn﹣Sn﹣1
=（n2+）﹣[（n﹣1）2+]
=3n﹣1，
又∵a1=2满足an=3n﹣1，
∴数列{an}的通项an=3n﹣1；
∵b1=2、bn=2bn﹣1，
∴数列{bn}的通项；
（Ⅱ）∵an=3n﹣1，，
∴cn==3•2n﹣1，
∴Sn=3•﹣n=3•2n+1﹣n﹣6，
∵Sn＞6•2n+n2﹣8n，
即3•2n+1﹣n﹣6＞6•2n+n2﹣8n，
化简得：n2﹣7n+6＜0，
解得1＜n＜6，（n∈N*）
∴A={2，3，4，5}．
点评： 本题考查数列的通项和前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

21．（12分）（2015春•随州期末）已知向量=（2cosx+2sinx，1），向量=（cosx，﹣y），且⊥．
（Ⅰ）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知A，B，C分别为△ABC的三个内角，若f（）=3，且sinBsinC=，试判断△ABC的形状．
考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
专题： 三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．
分析： （Ⅰ）由平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为：f（x）=2sin（2x+）+1，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可解得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f（）=3可得sin（A+）=1，结合A范围可求A，C=﹣B，由sinBsinC=利用三角函数中的恒等变换应用可得sin（2B﹣）=1，又由﹣＜2B﹣，可得2B﹣=，从而得解B，C的值，可得△ABC为等边三角形．
解答： （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由⊥，可得•=0，可得2cos2x+2sinxcosx﹣y=0，即有：f（x）=2sin（2x+）+1，
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间为：[k，k]，k∈Z…6分
（Ⅱ）∵f（）=3，
∴2sin（A+）+1=3，即sin（A+）=1，
又∵0＜A＜π，∴可求A=，
∵A+B+C=π，
∴C=﹣B，
由sinBsinC=，
⇒sinBsin（﹣B）=，
⇒sinB（sincosB﹣cossinB）=，
⇒B，
⇒sin2B+，
⇒sin2B﹣cos2B=1
⇒sin（2B﹣）=1
又∵﹣＜2B﹣，
∴2B﹣=，
∴B=，C=，△ABC为等边三角形…12分
点评： 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．

22．（12分）（2015春•随州期末）已知函数f （x）=（x﹣1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列（q∈R，q≠1，q≠0）．若a1=f（d﹣1），a3=f （d+1），b1=f （q﹣1），b3=f （q+1），
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若数列{an}的前n项和为Sn，
①求证：对任意的n≥2，（n∈N*）时
②设数列{cn}对任意的自然数n均有成立，求c1+c2+c3+…+cn的值．
考点： 数列的求和；等差数列与一次函数的关系；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．
专题： 综合题；等差数列与等比数列．
分析： （1）用d表示出a1，a3，由a3﹣a1=2d可得关于d的方程，解出d可得an，用q表示出b1，b3，由可得q的方程，解出q可得bn；
（2）①由（1）可得Sn，利用裂项相消法可求得+…+，由结果可作出证明；②由+++…+=Sn+1，得+++…+=Sn（n≥2），两式相减可求得cn，注意验证n=1也适合，利用错位相减法可求得c1+c2+c3+…+cn的值．
解答： 解：（1），，
∴a3﹣a1=2d，即d2﹣（d﹣2）2=2d，解得d=2，
∴a1=0，an=2（n﹣1），
又b1=f（q﹣1）=（q﹣2）2，b3=f （q+1）=q2，，
∴，
∵q≠1，∴；
（2）①证明：∵Sn=n（n﹣1），
∴=﹣（n≥2），
则+…+=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣＜1；
②由+++…+=Sn+1，得
+++…+=Sn（n≥2），
两式相减得=Sn+1﹣Sn=an+1=2n，n=1也符合，
∴cn=2n•bn=2n•3n﹣1=，
令，
利用错位相减法可得
∴c1+c2+c3+…+cn==．
点评： 本题考查等差数列等比数列的通项公式、数列求和、数列与不等式的综合，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，对能力要求较高．