整式的乘除讲义-整章.doc

一 整式的乘除
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一、同底数幂的乘法
1．同底数幂的乘法法则
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：（m，n都是正整数）。
这个公式的特点是：左边是两个或两个以上的同底数幂相乘，右边是一个幂，指数相加。
注意：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.
（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.

公式拓展：
= 。
【典型例题】
例1：计算：（1）； （2）； （3）

例2：计算：（1） （2）

（3） （4）

总结

例3、计算：

例4：已知，用含m的代数式表示。

【变式练习】

(1) –ｘ2·(-ｘ3) (2) –ａ·(-ａ)2·ａ3

(3) –ｂ2·(-ｂ)2·(-ｂ)3 (4) ｘ·(-ｘ2)·(-ｘ)2·(-ｘ3)·(-ｘ)3

(5) (6)x4－m ·x4+m·(-x)

(7) x6·(-x)5-(-x)8 ·(-x)3 (8) -ａ3·(-ａ)4·(-ａ)5

2 逆用同底数幂的法则
逆用法则为：（m、n都是正整数）
【典型例题】
1．（1）已知xm=3，xn=5，求xm+n。 （2）：已知xm=3，xn=5，求x2m+n；

（3）：已知xm=3，x2m+n=36，求xn。

【变式练习】
1、已知， ，试求的值。

2、已知，则，
3、若为正整数，且求的值。

二．幂的乘方（重点）
幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如是三个相乘，读作a的五次幂的三次方。
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即（m，n都是正整数）。
【典型例题】
例1、填空：
例2、计算：

例3、已知则
例4、
例5、，则，，
例6、将化成指数相同的幂的形式，并比较它们的大小。

若，试利用上述方法比较大小

例7、已知，试求的值。

例8、已知

【变式练习】
1、 填空：

2、 若，则
3、 ，则
4、 计算：

5、 试比较的大小。

三．积的乘方（重点）
1.积的乘方的意义：指底数是乘积形式的乘方。如：

积的乘方法则：积的乘方，等于把积得每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。如：
注：法则中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式；
运用该法则时，注意系数为-1时的“-”号的确定；
三个或三个以上因式的乘方，也具有这一性质；
该法则可逆用，即 ，逆向运用可将算式灵活性变形或简化计算。
法则的推导

【典型例题】
例1、填空：
例2、计算：

2. 逆用公式和推广
（1）公式可以逆用，，（m，n是正整数），
例如：
（2）底数为三个或三个以上的因数时，也可以运用此法则，即（n是正整数）
（3）当运用积的乘方法则计算时，若底数互为倒数，则可适当变形。

【典型例题】
例3、已知，求的值

例4、计算：

例5、已知

例6、计算：

【变式练习】

1：计算
（1）； （2）； （3）

2：已知，求的值。

3：计算 （1）； （2）

四．单项式与单项式相乘（重点）
法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式例含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：
1.单项式与单项式相乘时，要先把各个单项式的系数相乘，作为积的系数，要注意系数的符号
2.相同字母相乘时，实际上就是按照同底数幂的乘法法则进行，即底数不变，指数相加
3.对于只在一个单项式里含有的字母，一定要把它连同指数写在积中，作为积的因式，切记不要将它漏掉
4.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用
5.单项式乘单项式的结果仍然是单项式

【典型例题】
例1：计算
（1）; (2) ;

(3)

【变式练习】
1. 计算：
（1） （2）4y（－2xy2）；

（3）．（2m2n）2+（－mn）（－m3n） （4）.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b2)

（5）.(2×105)2·(4×103) （6）.(-4xy)·(-x2y2)·(1/2y3)

（7） .(-1/2ab2c)2·(-1/3ab3c2)3·(12a3b)

（8）.(-2xn+1yn)·(-3xy)·(-1/2x2z)
（9） x2y·（－3xy2z）·（－2xy2）

（10）（－x3）2·（－3xy）·（2y2）3

五.单项式与多项式相乘（重点）
法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示为（m，a，b，c都是单项式）。
注意：1.法则中的每一项的含义是不重不漏的
2.在运算过程中，要注意各项的符号，尤其是负号的情形
3.非零单项式与多项式相乘的结果仍是一个多项式，积的项数与因式中多项式的项数相同
【典型例题】
例1.计算 （1） （2）

（3）

例2.化简

例3.已知：，求代数式的值.

例4.已知：，求m.

【变式练习】
1.(1)(3a5b-4a2b3-6ab4)·； (2) ；

（3）(3x2myn-3-5xmy2n+1)·(-4xm-2y5)；

2．化简求值：-ab·（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2。

6；多项式乘多项式
　（1）多项式乘以多项式的法则是由单项式乘以多项式的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可。例如(a+b)(c+d)可以将(a+b)看成单项式转化为单项式乘以多项式法则去计算。
　　如： =(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd。
　　（2）为避免丢项，也可以用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在没有合并同类项之前，积的项数等于这两个多项式项数之积。
　　如： =ac+bc+ad+bd。项数为2×2=4项。
　　（3）对于型如(x+a)(x+b)的积要注意它的特殊性，即(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab, 这就是说，含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式。
注意：1.必须做到不重不漏，计算时按一定的顺序
2.应确定积中每一项的符号
3.多项式与多项式相乘时，如有同类项要合并

【典型例题】
例1． 计算：( a- b)( a+ b)

例2．化简求值：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x2-5x+17) ，其中 x=5 .

　例3．当(x2+mx+8)(x2-3x+n)展开后，如果不含x2和x3的项，求出(-m)3n的值。

　 例4．计算：(3x3-2-5x)(6-7x+2x2)

【变式练习】
1.计算：
(1) ； (2)；

(3)； 　　 (4) ；

(5)； (6) .

2．先化简，再求值：，其中

3.某同学在计算一个多项式乘以-3x2时，因抄错符号，算成了加上-3x2，得到的答案是x2-0.5x+1，那么正确的计算结果是多少？

4.已知：，且 异号，是绝对值最小的负整数，，求3A·B-A·C的值.

5．若（x2+mx+8）（x2-3x+n）的展开式中不含x3和x2项，求m和n的值

二、乘法公式
1．平方差公式（重点）
平方差公式：
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
这个公式叫做平方差公式。
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：
① 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 ② 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2
③ 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 ④ 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2
⑤ 换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)] ⑥ 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)
=(xy)2-(z+m)2 =(x-y)2-z2
=x2y2-(z+m)(z+m) =(x-y)(x-y)-z2
=x2y2-(z2+zm+zm+m2) =x2-xy-xy+y2-z2
=x2y2-z2-2zm-m2 =x2-2xy+y2-z2

⑦ 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2) ⑧ 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2
=(x2-y2)(x2+y2) = [(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]
=x4-y4 =2x(-2y+2z)
=-4xy+4xz

一、：平方差公式及其逆用——
【典型例题】
1：求解下列各式.
（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） 6(7+1)(7+1)(7+1)(7+1)+1 （8）

（9）

例题2：1949²-1950²+1951²-1952²+……+1999²-2000²

【变式练习】
1 计算:
(1)； (2)；

(3)； (4) ；

(5) ； (6) ；

7） （8） ；

(9) 402398； (10) 79.980.1.

2.如果，且，则=

2．完全平方公式（重点）
完全平方公式
即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积得2倍。这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式

1：完全平方公式其逆用
【典型例题】
例题1：求解下列各式.
（1）位置变化： （2）符号变化：

（3）数字变化： （4）方向变化：
（

5）项数变化： （6）公式变化

2完全平方公式的运用
例题4：已知：，求：①； ②； ③

例题5

例题6已知=0， ①求的值； ②求的值.

例题7若，则 .

【变式练习】
1

2

3

4

5

6

3逆用
1、若，则.
2、若是关于的完全平方式，则.
3、多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .
4、已知， 求的值.
5、已知，求的值

4配方法
例题1：已知：x²+y²+4x-2y+5=0，求x+y的值.

【变式练习】
1.已知x²+y²-6x-2y+10=0，求的值.

2.已知x²+y²+6x+8y+25=0，求x²-y²的值.

3.已知：x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z的值.

4.已知：x²+y²+=2x+y,求：的值.
5解方程

6如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b的值.

7已知：，求：的值.

考点连接
题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用
解方程：

题型二：应用完全平方公式求值
设m+n=10，mn=24，求的值。　　　　　　　

题型三：巧用乘法公式简算
计算：（1）； （2）

题型四：利用乘法公式证明
对任意整数n，整式是不是10的倍数？为什么？

题型五：乘法公式在几何中的应用
已知△ABC的三边长a，b，c满足，试判断△ABC的形状。

整式的除法

1.同底数幂的除法法则: 同底数幂相除,底数 ,指数 .
即 (a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n)
零指数幂: 任何不等于0的数的0次幂都等于 .
即 ，其中要求a不能为 。
【经典例题】
（1）. . .

. 若，则x= .

（2）. （3）. （4）.

（5）. （6）

2.若，，求。　

2单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商式的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
　注：①系数先相除，所得的结果作为商的系数，特别注意系数包括前面的性质符号．
　　　②被除式里单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏．
　　　③要注意运算的顺序，有乘方先算乘方，有括号先算括号里．特别是同级运算一定要从左至右，

【经典例题】
(1)14a3÷2a （2)-8ab3÷2ab2 (3)-16a3c÷4a3

(4)-2a2b2c 3÷（-3ab）2 (5)（6×106) ÷（2×104） (6)

【变式练习】
(1) (2)(-0.5a2bx2) 3÷(-ax2) 2；

(3)(4×109)÷(-2×103) (4)

3.多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

注：①多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同．
　　 ②用多项式的每一项除以单项式时，商中的每一项的符号由多项式中的每项的符号与单项 式的符号共同确定．

【经典例题】
（1） (2)

（3）[（2x＋y）－8x]÷2x

【变式练习】
(1)(8a3b-16a2b2)÷4ab； (2) (y3-7xy2+y5)÷y2

(3) (25x2+15x3y-20x4)÷(-5x2)； （4）