高三一轮教学案第七章立体几何.doc

宁阳四中高三数学一体化教学案 执教人： 执教日期： 编制人：范满 审核人：董海霞
教学内容
第七章 第1节 空间几何体的结构及其三视图和直观图
总第　　　课时

考
纲
要
求
1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2. 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.
3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
学习过程
课堂笔记

1．写出下列简单多面体的结构特征，并简单画出示意图。
(1)棱柱 (2)棱锥 (3)棱台

2． 圆柱、圆锥、圆台、球各是由什么图形，怎么旋转得到的？

3.空间几何体的三视图分别是从哪个方向观察得到的呢？如何画三视图？

4．如何画空间几何体的直观图？

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　)
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝90°.(　　)

图7­1­1

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　　)
2．(教材改编)如图7­1­1，长方体ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　)
A．棱台　　　B.四棱柱 C．五棱柱 D.简单组合体
3．(2014·全国卷Ⅰ)如图7­1­2，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)
A. 三棱 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱

图7­1­2
题后总结
4．(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图7­1­3所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)

图7­1­3
5． 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________。

空间几何体的结构特征
　(1)下列说法正确的是(　　)
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
规律总结
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
(2)以下命题：
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确的命题为　 　
[变式训练1]　下列结论正确的是(　　)
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

空间几何体的三视图
☞角度1　由空间几何体的直观图判断三视图
　一几何体的直观图如图7­1­4，下列给出的四个俯视图中正确的是
(　　)
规律总结

A　 B　　 C　　　D
图7­1­4
　(1)某四棱锥的三视图如图7­1­5所示，该四棱锥最长棱棱长为
(　　)
图7­1­5 A．1 B. C. D.2
(2)(2016·全国卷Ⅱ)如图7­1­6是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)
A．20π B．24π
C．28π D．32π
图7­1­6

空间几何体的直观图
　(2017·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
规律总结
A.a2　　 B.a2 C.a2　　 D.a2
[变式训练2]　(2017·邯郸三次联考)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图7­1­7所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．

图7­1­7

课堂小结：

巩固练习：课时分层（三十八）
知识框架

教学内容
第七章 第2节 空间几何体的表面积与体积
总第　　　课时
考纲要求
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
学习过程
课堂笔记

知识框架

1． 什么是多面体的侧面积和表面积？

2．画出圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，并写出圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式。

3.如何求柱、锥、台和球的表面积和体积？写出公式。

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)
(2)球的体积之比等于半径比的平方．(　　)
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　　)
2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm　　　B.2 cm C．3 cm D. cm
3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7­2­1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
题后总结

A．14斛 B.22斛
C．36斛 D.66斛

图7­2­1

4．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．12π B.π C．8π D.4π
5．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图7­2­2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm3.

空间几何体的表面积
图7­2­2

　　(1)某三棱锥的三视图如图7­2­3所示，则该三棱锥的表面积是(　　)
A．2＋　　 B.4＋　
C.2＋2　　 D.5 D.5

图7­2­3

规律总结
(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图7­2­4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)
A．17π B.18π
C．20π D.28π

图7­2­4
[变式训练1]　(2016·全国卷Ⅲ)如图7­2­5，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)
A．18＋36 B.54＋18
C．9 0 D.81

图7­2­5

空间几何体的体积
规律总结
　 (1)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)
A. B. C. D.2π
(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7­2­6所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
图7­2­6
[变式训练2]　一个几何体的三视图如图7­2­7所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
图7­2­7

多面体与球的切、接问题
规律总结
　(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A．4π B. C.6π D.
[迁移探究1]　若本例中的条件变为“直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．

[迁移探究2]　若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．

[变式训练3]　(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)
A．36π B.64π C．144π D.256π

课堂小结：

当堂检测：课时分层（三十九）

教学内容
第七章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
总第　　　课时
考纲要求

1理解空间直线、平面位置关系的定义.
2.了解可以作为推理依据的公理和定理.
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

学习过程
课堂笔记

1．平面的基本性质有哪些？（写出公理1、2、3的内容）
(1)公理1：
(2)公理2：
(3)公理3：

2．空间点、直线、平面之间的位置关系有哪些？请用图形语言和符号语言加以阐释。

3.写出平行公理(公理4)和等角定理的内容。
平行公理：
等角定理：
4． 什么是异面直线所成的角？范围是？

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　)

图7­3­1
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(　　)
2．(教材改编)如图7­3­1所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)
A．30°　　　B.45° C．60° D.90°
3．在下列命题中，不是公理的是(　　)
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
题后总结
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
4．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．

平面的基本性质

如图7­3­2，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求

图7­3­2

证：
（1）E，C，D1，F四点共面； （2）CE，D1F，DA三线共点．

图7­3­3

[变式训练1]　如图7­3­3所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC平行且等于AD，BE平行且等于FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

规律总结

空间直线的位置关系
　(1)(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2)(2017·郑州模拟)在图7­3­4中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
规律总结

①　　　　　②　　　　③　　　　④ 图7­3­4
[变式训练2]　(2017·烟台质检)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为(　　)
A．①④　　　　　　B.②③ C．③④ D.①②

图7-3-5
异面直线所成的角

A.　　 B. 　C.　 D.
　(1)如图7­3­5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

规律总结

(2)(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.

图7­3­6

[变式训练3]　如图7­3­6，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．

课堂小结：

当堂检测：课时分层（四十）
知识框架

教学内容
第七章 第4节 直线、平面平行的判定及其性质
总第　　　课时
考纲要求
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
学习过程
课堂笔记
知识框架

1．直线与平面平行如何定义的？怎么判定？有何性质？（画示意图阐述）

2.面面平行怎么定义的？如何判定？有什么性质？用图形语言和符号语言描述。

3.与垂直相关的平行的判定的依据有哪些？用符号语言表达。

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　)
(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(　　)
(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．(　　)
2．(教材改编)下列命题中，正确的是(　　)
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
3．(2015·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β ”是“α∥β ”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．
5．(2017·河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n； ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中是真命题的是________(填上序号)．

方法总结
与线、面平行相关命题真假的判断
　(2015·安徽高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
[变式训练1]　(2017·唐山模拟)若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

图7­4­1

直线与平面平行的判定与性质
　(2016·南通模拟)如图7­4­1所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
规律总结
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．

(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P­ABD的体积V＝，
求A到平面PBC的距离．

图7­4­2

[变式训练2]　(2014·全国卷Ⅱ)如图7­4­2，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

图7­4­3

平面与平面平行的判定与性质
(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.

　如图7­4­3所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

规律总结

[迁移探究]　在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.

图7­4­4

[变式训练3]　(2016·山东高考)在如图7­4­4所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB. (1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC.

课堂小结：

当堂检测：课时分层（四十一）

题后总结

教学内容
第七章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质
总第　　　课时
考纲要求

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
学习过程
课堂笔记

1．直线与平面垂直如何定义的？有何判定定理与推论？有什么性质呢？
(1)定义：
(2)判定定理：

(3) 推论：

(4) 直线和平面垂直的性质：
①
②
③
2． 什么是直线和平面所成的角？

3．什么是二面角？什么是二面角的平面角？
(1) 叫做二面角．
(2) 叫做二面角的平面角．
4．平面与平面垂直如何定义的？有哪些判断定理和性质定理？

题后总结

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)
(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(　　)
(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)
2．(教改)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.(　　)
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足 m∥α，n⊥β，则(　　)

图7­5­1

A．m∥l　　　　　B.m∥n C．n⊥l D.m⊥n
4．如图7­5­1，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为_____。

线面垂直的判定与性质
(1)求证：CD⊥平面ABD；
(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A­MBC的体积．

图7­5­2

　如图7­5­2，在三棱锥A­BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.

图7­5­3

[变式训练1]　如图7­5­3所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.
求证：PA⊥CD.

图7­5­4

面面垂直的判定与性质
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.

　(2017·郑州调研)如图7­5­4，三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

规律总结

图7-5-6

平行与垂直的综合问题
　(2016·江苏高考)如图7­5­6，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

　(2017·秦皇岛调研)如图7­5­7(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图7­5­7(2)所示．

(1)　　　　　(2)
图7­5­7
(1)求证：A1F⊥BE；
(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？并说明理由.

图7­5­8

线面角的求法与应用
(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

　(2016·浙江高考)如图7­5­8，在三棱台ABC­DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.

(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD.

图7­5­9
[变式训练3]　如图7­5­9，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

课堂小结：

当堂检测：课时分层（四十二）
知识框架

教学内容
第七章 第6节 空间向量及其运算
总第　　　课时
考纲要求
1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
学习过程
课堂笔记

1．写出下列空间向量的有关概念。
名称
定义
空间向量

相等向量

相反向量

共线向量(或平行向量)

共面向量

2.写出下列空间向量的有关定理内容。
(1)共线向量定理：

(2) 共面向量定理：

(3) 空间向量基本定理：

3．空间两个非零向量的数量积如何定义的？有什么运算律？

4.请按要求填写下表。设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示
坐标表示
数量积
a·b

共线
a＝λb
(b≠0，λ∈R)

垂直
a·b＝0
(a≠0，b≠0)

模
|a|

夹角
cos〈a，b〉
(a≠0，b≠0)

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
题后总结
(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)
(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　)
(3)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角．(　　)
(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)
2．(教材改编)如图7­6­1所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A． －a＋b＋c B.a＋b＋c
B． C．－a－b＋c D.a－b＋c

图7­6­1
3． O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
4．(2014·广东高考)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)
A．(－1,1,0)　　　B.(1，－1,0) C．(0，－1,1) D.(－1,0,1)
5．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．

图7-6-2
空间向量的线性运算
　如图7­6­2所示，在空间几何体ABCD­A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
规律总结
(1) ；(2)＋.

[变式训练1]　

图7­6­3

如图7­6­3所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.

共线向量与共面向量定理的应用

图7­6­4

　(1)(2017·佛山模拟)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，且a与b反向，则λ＋μ＝________.
(2)如图7­6­4所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．
①向量是否与向量，共面？
②直线MN是否与平面ABB1A1平行？

[变式训练2]　已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)． (1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．

图7­6­5

空间向量数量积及其应用
　如图7­6­5所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．

规律总结

(1)求AC1的长；
(2)求AC与BD1夹角的余弦值．

[变式训练3]　如图7­6­6，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.

图7­6­6

课堂小结：

当堂检测：课时分层（四十三）
知识框架

教学内容
第七章 第7节 立体几何中的向量方法
总第　　　课时
考纲要求
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量.
2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.
3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理).
4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
学习过程
课堂笔记

1．什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？
(1)直线的方向向量：
(2)平面的法向量：
2．根据提示写出下列空间位置关系的向量表示。

3.如何求两条异面直线所成的角？

4． 如何求直线与平面所成的角？

5．如何求二面角的大小？

题后总结
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　)
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　)
(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．
2．(教材改编)设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(　　)
A．3　　　B.4　　 C.5　　　 D.6
3．(2014·全国卷Ⅱ)直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)

图7­7­3

A. B. C. D.
4．如图7­7­3所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．
5．(2017·唐山模拟)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．

利用向量证明平行与垂直问题

图7­7­4

　如图7­7­4所示，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.

图7­7­5

[变式训练1]　(2017·北京房山一模)如图7­7­5，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.

线面角与异面直线所求的角
　将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成的角为(　　)
A.　　　　　B. C. D.

图7­7­6

　(2015·全国卷Ⅱ)如图7­7­6所示，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
规律总结
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．

利用空间向量求二面角

图7­7­7

　(2016·全国卷Ⅰ)如图7­7­7，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D­AF­E与二面角C­BE­F都是60°.
(1) 证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E­BC­A的余弦值．

图7­7­10

[变式训练3]　如图7­7­10，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
规律总结
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

课堂小结：

当堂检测：课时分层（四十四）
知识框架

教学内容
第七章 第8节 立体几何中的高考热点问题
总第　　　课时
命题解读
1.立体几何是高考的重要内容，每年基本上都是一个解答题，两个选择题或填空题．客观题主要考查空间概念，点、线、面位置关系的判定、三视图．解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算.2.立体几何重点考查学生的空间想象能力、数学运算和逻辑推理论证能力．考查的热点是以几何体为载体的平行与垂直的证明、二面角的计算，平面图形的翻折，探索存在性问题，突出了转化化归思想与数形结合的思想方法．
学习过程
课堂笔记
热点1　空间点、线、面间的位置关系
　如图1所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E­ABC的体积．

图2

[对点训练1]　
(2017·天津联考)如图2，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，CD＝BC＝AB＝1，点P为CE的中点．
(1)求证：AB⊥DE；
(2)求DE与平面ABCD所成角的大小；
(3)求三棱锥D­ABP的体积．

热点2　平面图形折叠成空间几何体
方法总结
　(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅱ)如图3，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.
图3
(1)证明：D′H⊥平面ABCD；
(2)求二面角B­D′A­C的正弦值．

方法总结
[对点训练2]　(2017·西安调研)如图4①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝