专题复习(六)-求最短路径问题.doc

专题复习(六)　求最短路径问题

最短路径问题在四川省的中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切．

类型1　利用“垂线段最短”求最短路径问题

　如图所示，是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C，D作的垂线，垂足分别为E，F，沿，铺设管道；方案二：连接交于点P，沿、铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？

【思路点拨】　方案一管道长为＋，方案二管道长为＋，利用垂线段最短即可比较出大小．
【解答】　按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：
∵⊥，⊥，而与不垂直，
∴根据“垂线段最短”，可知
＜，＜，
∴＋＜＋，
∴沿、铺设管道更节省材料．

本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．

1．(2015·保定一模)如图，点A的坐标为(－1，0)，点B(a，a)，当线段最短时，点B的坐标为( )

A．(0，0)
B．(，－)
C．(－，－)
D．(－，－)
2．(2015·杭州模拟)在直角坐标系中，点P落在直线x－2y＋6＝0上，O为坐标原点，则的最小值为( )
B．3
3．(2013·内江)在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y＝－3k＋4与⊙O交于B、C两点，则弦的长的最小值为．

4．(2015·碑林区期中)如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；

(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

类型2　利用“两点之间线段最短”求最短路径问题
　(2015·乐陵模拟)(1)如图1，直线同侧有两点A，B，在直线上求一点C，使它到A、B之和最小；(保留作图痕迹不写作法)
(2)知识拓展：如图2，点P在∠内部，试在、上分别找出两点E、F，使△周长最短；(保留作图痕迹不写作法)
(3)解决问题：①如图3，在五边形中，在，上分别找一点M，N，使得△周长最小；(保留作图痕迹不写作法)
②若∠＝125°，∠B＝∠E＝90°，＝，＝，∠＋∠的度数为．

【思路点拨】　(1)根据两点之间线段最短，作A关于直线的对称点E，连接交直线于C，即可解决；
(2)作P关于、的对称点C、D，连接交、于E、F，此时△周长有最小值；
(3)①取点A关于的对称点P，关于的对称点Q，连接与相交于点M，与相交于点N，的长度即为△的周长最小值；
②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．
【解答】　(1)作A关于直线的对称点E，连接交直线于C，连接，，则此时C点符合要求．

　　　　　图1　　　　　　　　　　　　图2 图3
(2)作图如图．
(3)①作图如图．
②∵∠＝125°，
∴∠P＋∠Q＝180°－125°＝55°.
∵∠＝∠P＋∠＝2∠P，∠＝∠Q＋∠＝2∠Q，
∴∠＋∠＝2(∠P＋∠Q)＝2×55°＝110°.

“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．

1．(2015·内江)如图，正方形的面积为12，△是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使＋最小，则这个最小值为( )

B．2 C．2

2．(2015·遵义)如图，在四边形中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是、上的点，当△的周长最小时，∠的度数为( )

A．50° B．60° C．70° D．80°
3．(2015·攀枝花)如图，在边长为2的等边△中，D为的中点，E是边上一点，则＋的最小值为．

4．(2015·鄂州)如图，∠＝30°，点M、N分别是射线、上的动点，平分∠，且＝6，当△的周长取最小值时，四边形的面积为．

5．(2015·凉山)菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠＝60°，点P是对角线上一个动点，E(0，－1)，当＋最短时，点P的坐标为．

6．(2015·广元改编)如图，已知抛物线y＝－(x＋2)(x－m)(m＞0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．

(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；

(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使＋最小，并求出点H的坐标．

7．(2015·成都改编)如图，一次函数y＝－x＋4的图象与反比例y＝(k为常数，且k≠0)的图象交于A，B两点．在x轴上找一点P，使＋的值最小，求满足条件的点P的坐标．

8．如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是的中点，P是直径上的一动点，⊙O的半径为1，请问：P在上什么位置时，＋的值最小？并给出＋的最小值．

9．(2015·达州)如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在y轴的正半轴上，在x轴的正半轴上，∠的平分线交于点D，E为的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数y＝x2＋＋c的图象抛物线经过A，C两点．
(1)求该二次函数的表达式；

(2)F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形，求四边形周长的最小值；

(3)抛物线上是否在点P，使△的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
类型1　利用“垂线段最短”求最短路径问题
1．D　2　
3.24　提示：∵直线y＝－3k＋4必过点D(3，4)，
∴当过点D且⊥时最小．
∵点D的坐标是(3，4)，∴＝5.∵＝＝13，
∴根据勾股定理可得＝12.∴的长的最小值为24.　
4.(1)∵两点之间线段最短，∴连接，交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．
(2)过H作⊥，垂足为G.则沿开渠最短，根据垂线段最短．

类型2　利用“两点之间线段最短”求最短路径问题
1．B　2　3　提示：作B关于的对称点B′，连接、′、′、B′D，交于E，此时＋＝B′E＋＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是＋的最小值，∵B、B′关于对称，∴、′互相垂直平分．∴四边形′是平行四边形．∵三角形是边长为2，∵D为的中点，∴⊥.∴＝，＝＝1，′＝2＝2，作B′G⊥的延长线于G，∴B′G＝＝，在△B′中，＝＝＝3.∴＝－＝3－1＝2.在△B′中，B′D＝＝＝.故＋的最小值为.

4.36－54　5.(2－3，2－)　
6.(1)抛物线过点G(2，2)时，－(2＋2)(2－m)＝2，即m＝4.
(2)∵m＝4，∴y＝－(x＋2)(x－4)．令y＝0，则－(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4.
∴A(－2，0)，B(4，0)．
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1.令x＝0，则y＝2，
∴C(0，2)．
∵B点与A点关于对称轴对称，
∴连接，与对称轴的交点便为所求点H.

∵B(4，0)，C(0，2)，
∴求得线段所在直线为y＝－x＋2.当x＝1时，y＝，
∴H(1，)．　
7.联立解得或
∴A(1，3)，B(3，1)．B点关于x轴的对称点B′坐标为(3，－1)，
连接′交x轴于点P′，连接′.

设直线′为y＝＋b，联立得解得
∴y＝－2x＋5.令y＝0，得x＝.
∴P′(，0)．即满足条件的P的坐标为(，0)．　
8.作A关于的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，连接′交于P，连接，则＋最小，

此时＋＝′＋＝A′B.连接、′、，∵＝，
∴∠＝∠A′＝60°.∵＝，
∴∠＝∠＝30°.∴∠A′＝90°.
∴A′B＝＝＝，即＋的最小值是.　
9.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数y＝x2＋＋c，得解得
∴二次函数的表达式y＝x2－x＋4.
(2)延长至E′，使E′C＝，延长至D′，使D′A＝，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，

连接，，，＝′，＝E′F，(＋＋＋)最小＝D′E′＋，
由E点坐标为(5，2)，D(4，4)，得D′(－4，4)，E′(5，－2)．由勾股定理，
得＝＝，D′E′＝＝3，
∴(＋＋＋)最小＝D′E′＋＝3＋，即四边形周长的最小值为3＋.
(3)如下图：＝＝4.
∵S△＝12.
∴点P到的距离＝＝＝3.
过点O作⊥，取＝3，过点F作直线∥，交y轴于G点，交抛物线于点P1，P2，
在△中，＝＝＝6.
∴直线的解析式为y＝x－6.将y＝x－6代入y＝x2－x＋4得：x－6＝x2－x＋4.
解得x1＝，x2＝.将x1，x2的值代入y＝x－6得：y1＝，y2＝.
∴点P1(，)，P2(，)．
如下图所示：过点O作⊥，取＝3，
过点F作直线，交y轴于G点，交抛物线于P3，P4，在△中，＝＝6.
∴直线的解析式为y＝x＋6.将y＝x＋6代入y＝x2－x＋4得：x＋6＝x2－x＋4.解得x1＝，x2＝1＝x1＋6＝，y2＝x2＋6＝，
∴P3(，)，P4(，)．
综上所述：点P的坐标为(，)或(，)或(，) 或(，)．