二次函数总结与相关典型题目.doc

二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.
4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）

（轴）
(0, )

(,0)

(,)

()
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
12.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0, ).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

第二部分 典型习题
考点1:函数的三种形式
１.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是 （ ）
A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3）
2. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在(　 )
　　A. 第一象限　　　 B. 第二象限　　　 C. x轴上　　　D. y轴上
3．抛物线的顶点坐标是
A．（2，1） B．（-2，-1） C．（-2，1） D．（2，-1）
4．如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，则下列结论中正确的是
A．　 　
B．当时，y随x的增大而增大
C．
D．是一元二次方程的一个根
5． 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.
6.已知抛物线.
（1）直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；
（2）用配方法将化成的形式．

7. 已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
-1
0
3
…
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
(3) 若A（m,y1）,B(m+2, y2)两点都在该函数的图象上，计算当m 取何值时，

8. 抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
－4
－4
0
8
…
（1）根据上表填空：
① 抛物线与x轴的交点坐标是 和 ；
② 抛物线经过点 (-3, )；
③ 在对称轴右侧，y随x增大而 ；
（2）试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式.
解: （1）① 抛物线与x轴的交点坐标是 和 ；
② 抛物线经过点 (-3, )；
③ 在对称轴右侧，y随x增大而 .

（2）

考点2.a、b、c符号问题
1、已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ 　）
Ａ．ab＞0，c＞0　Ｂ．ab＞0，c＜0　Ｃ．ab＜0，c＞0　　Ｄ．ab＜0，c＜0

第1,2题图 第3题图
2.二次函数的图象如上图所示，则下列结论正确的是（　 　）
　　A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0
3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如上图所示，则下列结论中正确的是 ( )
A．a>0 B．c＜0
C． D．a＋b＋c>0
4.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b+c> 0 B．b> -2a
C．a-b+c> 0 D．c< 0

5.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如右图，有以下结论：
①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0；其中正确的为（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤

6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( )

7．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b，a＋b＋c 四个代数式中，值为正数的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

考点3：二次函数的增减性
1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y随x的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。

2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则当x＝1时,y的值为 。

3.已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .

4.已知二次函数y=－x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x1<x2<x3，
则y1,y2,y3的大小关系为 .

考点:4：图象平移对称问题
1．将抛物线先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是 ．
2. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为 ．
3. 将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+3,则下列平移过程正确的是 ( )
A. 向上平移3个单位 B. 向下平移3个单位
C. 向左平移3个单位 D. 向右平移3个单位
4.抛物线y=2x2－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为 。

5.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2－4x+3，则a= b= c=

6．已知抛物线（其中）．
（1）求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示)；
（2）若记该抛物线的顶点坐标为，直接写出的最小值；
（3）将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，随着的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．

考点5：三个二次问题：
1.已知二次函数与x轴交点的横坐标为、（），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当时，y＞0；③方程有两个不相等的实数根、；④，；⑤，其中所有正确的结论是　 　（只需填写序号）．

2.已知二次函数，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m，n使得当自变量x的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n，则m= ，n= ．
3.已知二次函数的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．

4．已知函数（x ≥ 0），满足当x =1时，，
且当x = 0与x =4时的函数值相等．
（1）求函数（x ≥ 0）的解析式并画出它的
图象（不要求列表）；
（2）若表示自变量x相对应的函数值，且
又已知关于x的方程
有三个不相等的实数根，请利用图象直接
写出实数k的取值范围．

考点6：二次函数的应用
1．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w(双)
与销售单价x(元)满足(20≤x≤40),设销售这种手套每天的利润为y（元）.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？
解:

2．已知二次函数y＝x2+(3-)x-3 (m>0)的图象与x轴交于点 (x1, 0)和(x2, 0), 且x1<x2.
（1）求x2的值;
（2）求代数式的值.

考点7：二次函数与一次函数
1. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是(　 )

2.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）

3.已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为.
（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线上，试确定这条抛物线的解析式；
（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线的解析式.

考点8：代数几何综合问题
1.如图，已知中，BC=8，BC上的高，D为BC上一点，，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ ）

2.抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 ．
3. 　如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是(　 )
　　A. 4+m　　　　 B. m　
　　C. 2m-8　　　　D. 8-2m

4.某大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

　（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
　 （2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）．

5.已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

6. 如图, 已知抛物线经过坐标原点O及，其顶点为B(m,3),C是AB中点，点E是直线OC上的一个动点 (点E与点O不重合)，点D在y轴上, 且EO=ED .
（1）求此抛物线及直线OC的解析式；
（2）当点E运动到抛物线上时, 求BD的长；
（3）连接AD, 当点E运动到何处时，△AED的面积为，请直接写出此时E点的
坐标.
解:

7．已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为，
（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．
（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ；
（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；
（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，
① 求此抛物线W的解析式；
② 若点Q在直线上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，
P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．

解：（1）

8.已知：抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0）．
　（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
　（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
　（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．