北京市燕山2016年初三数学一模试卷.docx

北京市燕山2016年初中毕业考试
数 学 试 卷 2016年4月
考
生
须
知
1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。
2．答题纸共8页，在规定位置准确填写学校名称、班级和姓名。
3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．在答题纸上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．从2015年秋季学期起，北京110 000名初一新生通过“北京市初中实践活动管理服务平台”进行选课，参加“开放性科学实践活动”课程．将110 000用科学记数法表示应为
A．11×104 B．1.1×105 C．1.1×106 D．0.11×106
2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反数的两个数是

D
A．a和d B．a和c C．b和d D．b和c
3．2016年是中国农历丙申猴年，下列四个猴子头像中，是轴对称图形的是

A． B． C． D．
4．学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化的试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小捷从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是
A． B． C． D．

5．如图，直线m∥n，Ð1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于
A．30° B．35°
2016年毕业考试数学试卷第1页（共8页） 2016年毕业考试数学试卷第2页（共8页）
C．40° D．50°
6．为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，对其进行了抽检，统计结果如图所示，则在一次充电后行驶的里程数这组数据中，众数和中位数分别是
A．220，220 B．220，210
C．200，220 D．230，210
7．为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是
A．3cm B．2.5cm
C．2.3cm D．2.1cm
8．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为(4，3)，(－2，1)，则表示棋子“炮”的点的坐标为
A．(－3，3) B．(3，2)
C．(0，3) D．(1，3)
9．手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：
工序
时间
模型
打磨（A组）
组装（B组）
模型1
9分钟
5分钟
模型2
6分钟
11分钟
则这两个模型都制作完成所需的最短时间为
A．20分钟 B．22分钟 C．26分钟 D．31分钟
图2
图1
10．如图1，△ABC是一块等边三角形场地，点D，E分别是AC，BC边上靠近C点的三等分点．现有一个机器人(点P)从A点出发沿AB边运动，观察员选择了一个固定的位置记录机器人的运动情况．设AP＝x，观察员与机器人之间的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员所处的位置可能是图1的

A．点B B．点C C．点D D．点E
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．分解因式：＝ ．
12．如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角
是40°，那么n＝ ．
13．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请你写出一个满足条件的m值：m＝ ．
14．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，记有许多有趣而又不乏技巧的算术程式．其中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何？”
2010－2015年中国高铁运营里程统计图
译文：“甲，乙两人各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲，乙二人原来各有多少钱？”
设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
可列方程组为 ．
15．我国2010－2015年高铁运营里程情况统计如图所示，根据统计图提供的信息，预估2016年我国高铁运营里程约为 万公里，你的预估理由是
．
16．阅读下面材料：
已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
在数学课上，老师提出如下问题：

小敏的作法如下：
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝BO；
③连接DA，DC．
则四边形ABCD即为所求．

2016年毕业考试数学试卷第3页（共8页） 2016年毕业考试数学试卷第4页（共8页）

老师说：“小敏的作法正确．”
请回答：小敏的作图依据是
．
三、解答题(本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算：．

18．解不等式组：

19．如图，点C为AB中点，AD∥CE，AD＝CE．
求证：∠D＝∠E．

20．已知，求代数式的值．

21．为应对雾霾天气，使师生有一个更加舒适的教学环境，学校决定为南北两幢教学楼安装空气净化器．南楼安装的55台由甲队完成，北楼安装的50台由乙队完成．已知甲队比乙队每天多安装两台，且两队同时开工，恰好同时完成任务．甲、乙两队每天各安装空气净化器多少台？

22．如图，△ABC中，AD是BC边的中线，分别过点B，D作AD，AB的平行线交于点E，且ED交AC于点F，AD＝2DF．
(1) 求证：四边形ABED为菱形；
(2) 若BD＝6，∠E＝60°，求四边形ABED的面积．

23．如图，直线与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为(1，4)．
(1) 求m，n的值；
(2) 过x轴上一点M作平行于y轴的直线l，分别与直线和双曲线交于点P，Q，若PQ＝2QM，求点M的坐标．

24．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．
(1) 求证：∠ABD＝2∠CAB；
(2) 若BF＝5，sin∠F＝，求BD的长．

25．阅读下列材料：
数学课程内容分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个领域，其中“综合与实践”领域通过探讨一些具有挑战性的研究问题，给我们创造了可以动手操作、探究学习、认识数学知识间的联系、发展应用数学知识解决问题的意识和能力的机会．
“综合与实践”领域在人教版七－九年级6册数学教材中共安排了约40课时的内容，主要有“数学制作与设计”、“数学探究与实验”、“数学调查与测量”、“数学建模”等活动类型，所占比例大约为30%，20%，40%，10%．这些活动以“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”等形式分散于各章之中.“数学活动”几乎每章后都有2～3个，共60个，其中七年级22个，八年级19个；“课题学习”共7个，其中只有八年级下册安排了“选择方案”和“体质健康测试中的数据分析”2个内容，其他5册书中都各有1个；七上－九下共6册书中“拓广探索类习题”数量分别为44，39，46，35，37，23．
根据以上材料回答下列问题：
(1) 人教版七—九年级数学教材中，“数学调查与测量”类活动约占 课时；
(2) 选择统计表或统计图，将人教版七—九年级数学教材中“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”的数量表示出来．

26．如图1，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．
图1
图2

小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
(1) 如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）： ，这条性质可用符号表示为： ；
(2) 从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．

2016年毕业考试数学试卷第5页（共8页） 2016年毕业考试数学试卷第6页（共8页）
27．抛物线：()与轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)．
(1) 求抛物线的解析式及A，B点坐标；
(2) 将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移n（）个单位长度，得到抛物线．若抛物线的顶点在△ABC内，求n的取值范围．

28．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD交直线AP于点E．设∠PAB＝，∠ACE＝，∠AEC＝．

图1
图2

(1) 依题意补全图1；
(2) 若＝15°，直接写出和的度数；
(3) 如图2，若60°<<120°，
①判断，的数量关系并加以证明；
②请写出求大小的思路．（可以不写出计算结果）

2016年毕业考试数学试卷第7页（共8页） 2016年毕业考试数学试卷第8页（共8页）
29．在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d(M，N)．特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．
(1) 如图1，⊙O的半径为2，
①点A(0，1)，B(4，3)，则d(A，⊙O)＝ ，d(B，⊙O)＝ ．
②已知直线l：与⊙O的密距d(l，⊙O)＝，求b的值．
(2) 如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，线段DE与⊙C的密距d(DE，⊙C)<．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．
图1

图2

燕山地区2016年初中毕业考试
数学试卷参考答案与评分标准 2016年4月
一、 选择题（本题共30分，每小题3分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
B
A
C
D
C
A
D
D
B
C
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11． 12．； 13．满足即可，如；
14．
15．预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据．如：①2.2．按每年平均增长量近似相等进行估算；② 3．近两年国家高铁建设速度加快．（给出2至4之间均可给分）
16．对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
三、解答题(本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)
17．解:原式＝ ………………………4分
＝4． ………………………5分
18．解：解不等式①，得 ， ………………………2分
解不等式②，得， ………………………4分
∴原不等式组的解集为． ………………………5分
19．证明：∵点C为AB中点，∴AC＝CB． ………………………1分
∵AD∥CE， ∴∠A＝∠1． ………………………2分
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE（SAS）， ………………………4分
∴∠D＝∠E． ………………………5分
20．解：
＝ ………………………2分
＝
＝． ………………………3分
∵，即． ………………………4分
∴原式＝＝3＋10＝13． ………………………5分
21．解：设甲队每天安装空气净化器x台，则乙队每天安装（x－2）台， …………1分
依题意得 ， ………………………2分
解方程得 x＝22． ………………………3分
经检验，x＝22是原方程的解且符合实际意义． ………………………4分
x－2＝22－2＝20（台）．
答：甲队每天安装空气净化器22台，乙队每天安装20台． ………………………5分
22．（1）证明：∵DE∥AB，AD∥BE，
∴四边形OCED为平行四边形． ………………………1分
∵D是BC中点，DF∥AB，
∴DF为△ABC的中位线，
∴AB＝2DF．
又∵AD＝2DF，
∴AB＝AD．
∴四边形ABED为菱形． ………………………2分
（2）∵菱形ABED，
∴∠DAB＝∠E＝60°，AB＝AD，
∴△DAB是等边三角形，
∴AB＝AD＝DB＝6． ………………………3分
过点D作DG⊥AB于点G，
∴DG＝AD•sin60°＝6×＝， ………………………4分
∴S菱形ABED＝＝＝． ………………………5分
23．解：(1) 把点A的坐标(1，4)代入得，，
∴． ………………………1分
把点A的坐标(1，4)代入中，得，
∴． ………………………2分
(2) 如图，设点M的坐标为(a，0)，
∵l∥y轴，且l分别与直线和双曲线交于点P，Q，
∴P（a，2a+2），Q（a，），
∵PQ＝2QM，
∴， ………………………3分
∴，或，
化简得，， ①　　或， ②
解方程①得，a＝-3，或a＝2；方程②无实数根．
∴点M的坐标为(-3，0)或(2，0). ………………………5分

24．（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠1
∴∠2＝∠CAB＋∠1＝2∠CAB．
∵CF切⊙O于C，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CF． ………………………1分
∵DB⊥CF，
∴OC∥DB，
∴∠ABD＝∠2，
∴∠ABD＝2∠CAB． ………………………2分
(2) 如图，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥DE．
∵DE⊥CF，
∴AD∥CF，
∴∠3＝∠F． ………………………3分
在Rt△BEF中，∵∠BEF＝90°，BF＝5，sin∠F＝，
∴BE＝BF•sin∠F＝5×＝3．
∵OC∥BE， ∴△FBE∽△FOC，
∴＝，
设⊙O的半径为，则＝，
解得 ＝． ………………………4分
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2＝15，sin∠3＝sin∠F＝，
∴BD＝AB•sin∠3＝15×＝9． ………………………5分
25．解：(1) 16； ………………………1分
(2) 统计表如下：
人教版七－九年级数学教材
“课题学习”、“数学活动”和“拓广探索类习题”的数量统计表（单位：个）
形式
数量
年级
课题学习
数学活动
拓广探索类习题
七年级
2
22
83
八年级
3
19
81
九年级
2
19
60
………………………5分

26．(1) 筝形的其他性质：
两组邻边分别相等；
对角线互相垂直；
有一条对角线被另一条平分；
有一条对角线平分对角；
是轴对称图形
……
（写出一条即可） ………………………1分
符号表示（略） ………………………2分
(2) 筝形的判定方法：有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形；
………………………3分
已知：四边形ABCD中，AC为一条对角线，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA．
求证：四边形ABCD是筝形．

证明：在△BAC和△DAC中，
∴△BAC≌△DAC（ASA），
∴AB＝AD，BC＝CD，
即四边形ABCD是筝形． ………………………5分
其他正确的判定方法有：
有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形；
有一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是筝形；
……
27．解：(1) ∵抛物线与轴交于点C(0，－3)，
∴,
∴, ,
∴．
∵,
∴．
∴抛物线的解析式为＝． ………………1分
在中，令，得，或，
∴A(－1，0)，B(3，0)． ………………………3分
(2) ∵＝，
∴抛物线的顶点坐标为（1，－4）． ………………………4分
将抛物线向上平移3个单位长度后，得，其顶点为（1，－1）
在△ABC内， ………………………5分
再向左平移n（）个单位长度，要想仍在△ABC内，则顶点需在直线AC的右侧．
设直线AC的解析式为，

∵A(－1，0)，C(0，－3)，
∴ 解得
∴直线AC的解析式为， ………………………6分
当时，．
∴．
图1
∴n的取值范围是． ………………………7分
28．(1) 补全图形，如图1所示． ………………………1分
(2) ＝45°，
＝60°． ………………………3分
(3) ①＝＋60°． ………………………4分
证明：
图2
如图2，∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD＝AB，∠PAD＝∠PAB＝．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴AD＝AB＝AC，
∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，
∴∠BAD＝2∠BCD．
∵∠BAD＝∠PAD＋∠PAB＝2，
∠BCD＝∠ACE＋∠BCA＝＋60°，
∴2＝2(＋60°)，
即＝＋60°． …………………………6分
②由①知∠PAB＝∠BCD，∴A，B，C，E四点在同一个圆上，故∠AEC与∠ABC互补．
由△ABC是等边三角形，得∠ABC＝60°，
可求＝∠AEC＝180°－60°＝120°． …………………………7分
29．解：(1) ①d(A，⊙O)＝1，d(B，⊙O)＝3． …………………………2分
②如图，设直线l：与轴，轴分别交于点P，Q，
∴P(－，0)，Q(0，)．
过点O作OH⊥l于点H，OH交⊙O于点G，
当时，OQ＝，PQ＝，
sin∠OPQ＝＝，
∴OH＝OP•sin∠OPQ＝×＝． ………………………3分
∵ d(l，⊙O)＝GH＝，
∴OH＝OG＋GH＝2＋＝， ………………………4分
即＝，
∴． ………………………5分
当时，同理可得．
∴． ………………………6分
（3）． ………………………8分

说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．

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