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高一寒假数学同步辅导讲义（典型例题分析和练习）
典型例题分析
【题1】设集合A={x︱xZ，且－10≤x≤－1},B={x︱xZ，且︱x︱≤5},则AB中的元素个数是（ ）
A．11 B。10 C。16 D。15
分析：本题主要考查集合的概念及集合的并集运算可借助于数轴求解
解：如图所示
AB={x︱xZ，且－10≤x≤5}
显然，AB中有16个整数，故选C
评注：该题容易错选D，原因是忽视了“0”元素。

【题2】如图所示，U是全集，M，P，S是U的3个子集，则阴影部分表示集合是（ ）
A．（MP）S
B．（MP）S
C．（MP）
D．（MP）

分析：本题主要考查考生对综合的韦恩图的理解，给出全集U与3个子集M，P，S的关系图，求阴影部分表示的集合，可以用直接分析判断法，也可用间接排除法。
解：解法1：由图中阴影部分所表示的集合是MP的子集，同时又是S的补的子集故选C。
解法2：图中表示集合S的区域与阴影部分没有公共面积，即阴影部分表示的集合不含S的元素，排除B；M，P，S三个区域的公共部分位于阴影外部，排除A；阴影只是区域的一部分，中的元素不全部落在阴影里，排除D；从而得C是所求。
评注：在失分的考生中，有过半的考生误用D作答，说明考生混淆了集合的交与并这两个概念，是该题失分的主要原因，至于集合的韦恩图的含义，已为考生们所普遍掌握。

【题3】设U是全集，非空集合P，Q满足PQU，若含P，Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_________（只要写出一个表达式）
分析：本题主要考查集合的基本概念和集合间的包含关系，考查考生对符合语言和图形语言的互译能力
解：通过画出韦恩图，就可直觉地看出答案为P
评注：本题是一道通俗读物是的集合开放题，逆向考查集合的运算能力。

【题4】命题“a，b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是（ ）
A． a+b不是偶数，则a，b都不是偶数
B． a+b不是偶数，则a，b不都是偶数
C． a+b不是偶数，则a，b都是偶数
D． a、b都不是偶数，则a+b不是偶数
分析：本题主要考查“若p则q”形式的命题的逆否命题的概念，以及考生的转化能力，按逆否命题的定义求解即可。
解 p q ﹃q ﹃p
所以故选B
评注：正确理解常用词语的否定，是本题的解题关键，如“都是”的否定是“不都是”

【题5】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（ ）
A． 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B． 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C． 丙是甲的充要条件
D． 丙不是甲的充分条件，也不是甲的充分条件
分析：本题主要考查“p q“形式的命题，其条件和结论之间的逻辑关系，可以从四种逻辑关系入手。
解：∵乙 甲，丙 乙
∴丙 甲，即丙是甲的充分条件。
又乙 丙不成立，若甲 乙，则甲 丙不成立；若甲不 乙，则仍有甲 丙不成立。
即丙不是甲的必要条件
故选A
评注：解答本题容易发生逻辑混乱

【题6】设集合A={x︱︱x－a︱<2,B={x︱<1}，若AB，求实数a的取值范围。
分析：本题主要考查集合的包含关系等概念，分式不等式，绝对值不等于和不等式给的解法，同时考查了考生的化归能力。
解，由︱x－a︱<2得a－2<x<a+2
∴A={x︱a－2<x<a+2}
由<1,得<0，即－2<x<3 ∴B={x︱－2<x<3}
a－2≥－2
由AB，知
a+2≤3
故0≤a≤1
评注：在确定（※）不等式时，可借助于数轴，数形结合处理

【题7】设集合A和B都是自然数集合N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2+n，则在映射f下，象20的原象是（ ）
A．2 B。3 C。4 D。5
分析：根据映射定义，列出原象的方程2+n=20

解，依题意，得
2+n=20，将A、B、C分别代入检验，知n=4，故选C
评注：本题建立方程容易，解方程难，考虑到选择的特点，可逆向代入验根

【题8】已知映射f:A→B,其中，集合A={－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的像，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是︱a︱，则集合B中的元素个数是（ ）
A．4 B。5 C。6 D。7
分析：本题主要考查映射的概念，解答该题可依题意具体写出像集合B中所有的元素，再数其个数你答；也可将原像集A中的元素按负数与非负数分成两类，从整体考虑作答。
解法1：依题意可将映射f:A→B的原像与像之间的对应列成表2—5
表2—5：
A的元素
－3
－2
－1
1
2
3
4

映射f下的像
3
2
1
1
2
3
4

因此像集合B={3，2，1，4}，即得B中元素的个数个为4，取A为答案
解法2：依题意，对任意aA,f(a)=︱a︱,因为A中含3个负数－3，－2，－1的绝对值都在A中的正数中故n=4，得A为答案。
评注：该题错答的考生中，多数选为D，反映了他们对集合中元素的相异性没有掌握好。

【题9】（若函数y=f(x)的反函数是y=g(x), f(a)=b, ab≠0, 则g(b)等于（ ）
A．a B.a C.b D.b
分析：本题主要考查反函数概念，只要对反函数的定义有基本的理解，抓住函数对应关系的法则，便能能正确作答，考点集中，又属最基础的知识，因而得分率高，通过率是0.84
解法1 因为f(x)与g(x)互为反函数，即对f(x)定义域中的任意值x，都有g(f(x))=x，所以由f(a)=b，便有g(b)=g(f(a))=a，因此取A作答。
解法2 取特殊函数f(x)=x+1，其反函数f(x)=x－1，进而取a=2，有f(a)=3,即b=3，从而g(b)=3－1=2，选A为答案
评注：解答本题失误的主要原因是混淆“函数的互反”与“实数的倒数”这两个概念。

【题10】已知函数f(x)=ax+bx+cx+d的图像如图所示，则（ ）
A．b(－，0) B.b(0，1)
C.b(1，2) D.b(2，+)
分析：观察图形，从形向数转化
解法一：由题意得
f(0)d=0
f(1)=a+b+c+d=0
f(2)=8a+4b+2c+d=0

解这个关于b，c，d的方程组，得
b=－3a, c=2a, d=0
由图2—19知，f(3)>0,即27a+9b+3c=6a>0
∴b=－3a, (－，0)
评注：本题考查识图、读图，将图形语言转化为数学符号语言的能力

【题11】设函数f(x)=(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区音频的单调性。
分析：从定义域入手，用定义证明
解：函数f(x) 的定义域为(－,－b)(－b，+)
f(x)在（－，－b）内是减函数，f(x)在(－b，+)内也是减函数
证明f(x)在(－b，+)内是减函数
取x，x(－b，+)且x<x，那么
f(x)－f(x)=－
=
∵a－b>0. x－x>0, (x+b)(x+b)>0
∴f(x)－f(x)>0
即f(x)在(－,－b)内是减函数
评注：本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，以及数学推理判断的能力

【题12】某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克。根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似满足关系：
P=1000（x+t－8）(x≥8，t≥0)
Q=500(8≤x≤14)
当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。
（1） 将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域
（2） 为使市场平衡价格不高于每10元/千克，政府至少补贴多少？
分析：本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法。
解（1）依题设有
1000(x+t－8)=500
化简得5x+(8t－80)x+(4t－64t+280)=0
当△=800－16t≥0时
可得x=8－t±
由△≥0，t≥0，8≤x≤14得不等式组
0≤t≤
8≤8－t+≤14
解①得0≤t≤
故所求的函数的关系为x=8－t+
函数的定义域为[0，]
（2）为使x≤10,应有
8－t+≤10
化简得：t+4t－5≥0
解得t≥1或t≤－5，由于t≥0知t≥1从而政府补贴至少为1元/千克。
评注：本题反映了当前的经济生活，要求学生运用自己的数学家知识解决社会实际问题，把生活问题转化为数学问题，最后化归为方程和不等式的问题来处理。

【题13】设{a}是首项为1的正项数列，且（n+1）a－na+aa=0(n=1，2，3，…)，则它的通项公式是a=____________
解：由(n+1) a－na+aa=0得
（aa）[（n+1）a－n a]=0(怎样得到的？)
又∵a，a>0
∴(n+1) a－n a=0，即=
∴=
=
……
=
∵=
∵a=1, ∴a=，应填
评注：本题是累商法求数列通项公式的，如果从特殊情形入手，还可猜测通项公式，作为填空题，也不失为一种好方法

【题14】设{ a}是由正数组成的等比数列，公比q=2,且a·a·a……a=2，那么a·a·a……·a等于（ ）
A．2 B。2 C。2 D。2
解法1 由a·a·a……a=2,得
a·(aq)·(aq)…·（aq）=aq
= aq=2
∴aq=2(∵a>0)
∴a·a·a……·a=（aq）·(aq)……（aq）
=a·q=a·q
=( aq)=( aq·q)
=(2·2) =20，故选B
解法2 设a=a·a·a……a
则aq=a·a·a……a
aq=a·a·a……a (为什么？)
∴a·aq·aq=aq=2，而q=2,a>0
∴a=1,a=1,aq=q=2，应选B
评注：本题主要考查等比数列通项公式等基础知识，同时考查运算能力和整体思想。

【题15】已知a，a，…，a为各项都大于零的等比数列，公比q≠1,则( )
A. a+a>a+a
B. a+a<a+a
C. a+a=a+a
D. a+a与a+a的大小关系不能由已知条件确定
解：∵(a+a)－(a+a)=a(1+q)－a(q+q)
= a(1+q－q－q)
= a(1－q)(1－q)
又 a>0, ∴q>0, q≠1
∴ 当q>1时，q>1,q>1, 1－q<0, 1－q<0
当0<q<1时，0<q<1，0<q<1，1－q>0，1－q>0
总有a(1－q)(1－q)>0
∴a+a>a+a应选A
评注：本题主要考查等比数列的通项公式及求差法比较大小。错选C的较多，主要认为1+8=4+5，∴a+a=a+a，这显然是“思维定势”的影响，错把等差数列的性质移到了等比数列中。

【题16】设S是等差数列{ a}前n项的和，已知S与S的等比中项为S，S与S的等差中项为1，求等差数列{ a}的通项a
解：设等差数列{ a}的首项a=a,公差为d,则通项为a=a+(n－1)d
前n项和S=na+d
S·S=(S)
依题意有 其中S≠0
S·S=2
(3a+3d)·(4a+6d)=(5a+10d)
由此可得
(3a+3d)+(4a+6d)=2
3ad+5d=0 a=1 a=4
整理得 解得 或
2a+d=2 d=0 d=－
∴a=1或a=4－（n－1）=－n
经验证知a=1时，S=5或a=－n时，S=－4，均适合题意
故所求等差数列的通项为a=1，或a=－n
评注：本题主要考查等差数列，等比数列，方程组等基础知识，考查运算能力
等比数列中的任何一项都不能为零，本题中须注明S≠0，否则扣1分（当年评分标准规定）

【题17】设数列{ a}的首项a=1,前n项和S满足关系式：
3tS－(2t+3)S=3t(t>0.m=2，3，4，…)
(1) 求证：数列{ a}是等比数列
(2) 设数列{ a}的公比为f(t)，数列{b},使b=1,b=f()(n=2，3，4，…),求b
(3) 求和：bb－bb+ bb－…+bbb
解（1）由S=a=1, S=a+a=1+a得
3t(1+a)－(2t+3)=3t
∴a=
又3tS－(2t+3)S=3t
3tS－(2t+3)S=3t(n=3，4，…)
两式两边分别相减得
3ta－(2t+3)a=0，又t>0
于是=， n=3，4，…
因此{a}是一首项为1，公比为的等比数列。
（2）由f(t)= =+ , b=f(),n=2，3，4，…
∴b=+b，可见{ b}是一个首项为1，公差为的等差数列。
∴b=1+（n－1）=
(3)解法1 由b=，可知{b}和{b}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，并且b=
∴bb－bb+bb－bb+…+bbb
=b(b－b)+b(b－b)+…+b(b－b)
=－(b+b+…+b)
=－·
=－(2n+3n)
解法2 ∵bb－bb=b(b－b)
=(2m+1)
∴bb－bb+bb－bb+…+bbb
=(bb－bb)+( bb－bb)+…+( bb－bb)
=－[(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2·2+)]
=－[2×(2+4+…+2n)+n]
=－(2n+3n)
评注：本题考查等差数列，等比数列的概念和求和公式，以及考查逻辑推理能力与分析问题，解决问题的能力。

【题18】设{ a}为等差数列，S为数列{ a}的前n项和，已知S，S=75，T 为数列{}的前n项和。求T
解：设等差数列{ a}的公差为d，则
S=na+n(n－1)d
∵S=7, S=75
7a+21d=7
15a+105d=75
a+3d=1
即 解得a=－2,d=1
a+7d=5
∴=a+(n－1)d=－2+(n－1)
∴－=
∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为
∴T=－n
评注：本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力。

寒假综合能力测试题（1）
一、 选择题（共12题，每题5分，共60分）
1．下列图形中，不可能是函数f(x)图象的是（ ）

2．设函数y=log2x，y=x—1，y=()x的定义域依次为P，Q，W，则他们之间的关系是（ ）
A．QPW B．PQ=W C．P=QW D．PQW
3． 若数列的前n项和为Sn=n2+2n+1，则a4的值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．24
4． 设函数f(x)\= ，则的函数解析式为（ ）
A． B． C．－x D．x
5．设全集I=R，M=，N=，那么（ ）
A．MN B．M C．M∩N=Φ D．M∪N=R—
6．一个项数为2n－1（n∈N+）的等差数列，它的奇数项与偶数项之和分别是333和296，则此数列的中间项是（ ）
A．37 B．17 C．9 D．74
7．“p是q为真命题”是“p且q为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设f(x)=ax2+bx+2 ，且f(－2)=3，则f(2)的值等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
9．函数y=的反函数（ ）
A．是奇函数，它在（0，+∞）上是减函数
B．是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数
C．是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数
D．是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数
10．若logx(a+2)＞logx(2a)＞0，则a的取值范围是（ ）
A．1＜a＜2 B．a＞2 C．＜a＜1 D．0＜a＜
11．设f(x)是（－∞，+∞）上的奇函数f(x+2)=－f(x)，当≤x≤1时，f(x)=x，则f(7，5)等于（ ）
A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5

二、填空题：（本大题4小题，每小题4分，计16分）
13．用“＜”(－)3，()，()，()，(2)重新排列为____________.
14．已知数列满足an+1=2an+1，且a1999=a2000－1，则a2002____________.
15．函数y=ln(x2―3x―4)的递增区间是______________________________.
16．等数差数列中，Sn是它的前n项和，且S6＜S7，S7＞S8，给出下列结论：
①比数列的公差d＜0 ②S9一定小于S6
③a7是各项中最大的一项 ④S7一定是Sn中的最大值
其中正确的是___________________________.（填入序号）

三、解答题：（共6大题，共74分）
17．（本题12分）设f(x)=x+
（1）判定f(x)的奇偶性；（2）当x＜0时，讨论f(x)的单调性。

18．本题（12分）已知：由正数组成的数列，若前2n项之和等于它前2n项中偶数之和的11倍。第三项与第四项之和为第二项与第四项之积的11倍，求数列的通项公式。

19．如果不等式7x－2＞(x2－1)m，对m∈[－2，2]成立，求x的取值范围。

20．用分期付款方式购买P4型家用电脑，价格为每台11500元，可用以下方式付款，购买当于先付1500元，以后每月交付500元，并先加付欠款利息，月利率为1%（即欠款的1%，利息不计入欠款），在交付1500元后的第一个月为分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月交付多少钱？全部贷款付清后，买这台电脑实际花了多少钱？

21．已知二次函数f(x)=ax2―bx+c（a、b、c∈R）满足f(―1)=0，对于任意的实数x都有f(x)―x≥0，并且当x∈(0，2)时有f(x)≤.
（1）求f(x)的解析式；；
（2）当x∈[―1，1]，函数g(x)=f(x)―mx(m∈R)是单调函数，求实数m的取值范围.

22．已知数列的前n项和为Sn，满足条件lgSn+(n―1)lgb=lg(bn+1+n―2)，其中b＞0且b≠1，（1）求数列的通项an；（2）若对4≤n∈N.恒有an+1＞an求b的取值范围。

参考答案
1．D 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A
7．B 8．C 9．C 10．A 11．A 12．B
13．(－)3＜()＜，()＜()＜(2)
14．a2002=22003－1
15．（－∞，－1）.
16．①、②、④正确
17．解（1）f(x)的定义域是x∈（－∝，0）∪（0，+∞）
f(－x)=－x－=－(x+)=－f(x)，则f(x)是奇函数
（2）设x1＜x2，x1，x2∈（－∞，0）
f(x2)―f(x1)=x2+―(x1+)=(x2―x1)()
则：x1＜x2＜1，∵x1x2＞0，x1x2－1＞0，f(x)是减函数
18．解：当q=1时，S2n=2na1，S偶数项=na1，又a1＞0，2na1≠11na1，故q≠1
∴S2n=，S偶数项=，以题意有=11―
解之得q= 又a3+a4=a1q2(1+q)，以题意aq2(1+q)=11a12q4
将q=待入得，a1=10 ∴an=10()n—1=102—n
19．解：令f(m)=(x2―1)m―7x+2＜0 ∴一次函数要使其f(m)＜0
则在m∈[－2，2]的端点最值均小于0，故＜x＜
20．解：每月付500元，所欠10000元需20个月付清
第一个月付：a1=500+10000×1%=500+100=600―5(1―1)
第二个月付：a2=500+(10000－500)×1%=595=500+100―5=600―5(2―1)
第三个月付：an=500+[10000―500(n―1)]×1%=600―5(n―1)=605―5n(1≤n≤20)
当n=10时，a10=600―5(10―1)=555
∵an―an—1=(605―5n)―[605―5(n―1)=―5=d
∴S20=600×20+(－5)=11500 11050+1500=12550
因此第10个月应付555元，买这电脑实际花了12550元。
21．解：（1）∵f(－1)=0，∴a+b+c=0 ①
由题意，当x=1时，有f(1)－≥0，f(1)≤
∴f(1)=1，即a－b+c=1 ②
由①、②可得b=－
由f(x)－x≥0恒成立，即ax2－+c≥0 恒成立
∴a＞0且△≤0可得ax≥，∴c≤0
由①知a+c=－b= ∴c=－a
ac=a(―a)=―a2+a=―(a―)2+≤
但ac≥，∴ac=，这时a=，∴c= ∴f(x)= x2－x+
(2)g(x)=f(x)―mx=x2+(―m)x+―
∵g(x)在[―1，1]是单调函数，由二次函数g(x)的顶点横坐标x0=
由x0≤－1或x0≥1，即≥1，∴≥1，解得m≤0或m≥1∈∪
22．解：（1）由已知得Sn=b2+ 当n=1时，a1=s1=b2－1
当n≥2时an=sn－sn—1=
综上知an=
（2）由an+1＞an化简得
（n―3）b2―(2n―4)b+(n―1)＞0，即(b－1)(b－)＞0 (n≥4)
解得b＜1或b=1+ 而1+≤1+2=3
∴b＞3 综上知0＜b＜1或b＞3

寒假综合能力测试题（2）

一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，计60分）
1．已知数列，，，，，……依前三项给出的规律变化，则实数对（a、b）应该是（ ）
A． （19，3） B．（19，－3） C．（，） D．（，－）
2．或a＞0，a≠1，F(x)是偶函数，g(x)=f(x)loga(x+)的图象是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称
3．有下列四个命题：
①“若b=3，则b2=9”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”；
③“若c≤1，则x2+2x+c=0有实根” ④“若A∪B=B，则AB”的逆命题其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．三数式等差数列是=的（ ）
A．必要非充要条件 B．充分非必要条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5．已知是等差数列，且a2+a4+a5+a6+a8=10，则方程x2－(a3+a7)x+4=0的根的情况是（ ）
A．无实根 B．两相等实根 C．两相异实根 D．不能确定
6．函数f(x)=x2+2(a―1)x+2在区间（―∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤－3 B．a≥3 C．a≤5 D．a=－3
7．已知f(x)=，则f的值为（ ）
A．π+1 B．0 C．1 D．π
8．下列函数I，y=ax，Ⅱ.y=bx，Ⅲ.y=logcx，Ⅳ.y=logax，在第
一象限的图象如图所示，则（ ）
A．a＞b＞c＞d B．c＞d＞a＞b
C．a＞b＞d＞c D．d＞c＞b＞a
9．下列命题中正确的是（ ）
A．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；
B．如果已知一个数列的递推公式，那么可以写出这个数列的任何一项；
C．下列对应不是映射“A=，B=，对应法则f：x→y=x2，x∈A，y∈B”
D．偶函数一定没有反函数
10．正项等比数列中，若a2a4+2a3a5+a4+a6=25，则a3+a5等于（ ）
A．5 B．25 C． D．3
11．Y=1+lg(x+2)的图象与函数g(x)的图象关于y=x轴对称，则（ ）
A．g(x)=2－10x—1 B．g(x)=2－10x+1
C．g(x)= 10x+1－2 D．g(x)= 10x—1 －2
12．已知函数f(x)=－x2+2x+1，则f(2x)与f(3x)的关系为（ ）
A．f(2x)≤f(3x) B．f(2x)≥f(3x)
C．f(2x)＞f(3x) D．大小不定

二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
13．若（x，y）在映射f下的象是（x－y，x+y）则（－1，2）在f下的原象是__________.
14．甲、乙两人自相距27公里处相向出发，甲匀速前进，每小时4公里；乙的速度第一小时走2公里，第二小时走2.5公里，第三小时走3公里，……则从出发算起，甲和乙相遇的时间是________________.
15．函数f(x)=()x，则函数y=f—1(2x－x2)的单调增区间是_____________________.
16．随着市场的变化与科技的进步，每隔3年计算机的价格会降低，由此，2000年底价格为8100元的计算机到2009年底时价格应为___________________________.

二、 解答题（本大题共6小题，74分）
17．计算
（1）计算：+log0.25+(+π)lg－.

（2）若a+=3，求+与a2+的值

18．已知函数y=
（1）求函数的定义域；
（2）在给定坐标系中画出函数的图象

19．（本大题满分12分）
已知f(x)=lg(ax－bx) （a，b为常数，且a≠b）.
（1）求f(x)的定义域；
（2）若a＞1且b＜1时，判断f(x)在定义域上的单调性，并用定义证明。

20．（本大题满分12分）有甲、乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金X（万元）的关系是P=，Q=，今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？

22．（本大题满分14分）已知函数f(x)= ，其中f1(x)=―2(x―)2+1，f2(x)=―2x+2.
（1）画出函数y=f(x)的图像
（2）设y=f2(x) x∈[，1]的反函数为y=g(x)，a1=1，a2=g(a1)，…an=g(an—1)，求数列的通项公式。
（3）若x0∈，x1=f(x0)，x0=f(x1)，求x0.

参考答案
1．C 2．C 3．C 4．A 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B 10．A 11．D
12．B 13．（，） 14．4 15． 16．2400元
17．解：（Ⅰ） 原式= 4+log22—1+1－
= 4―4+1―=1―=1―1=0；
（Ⅱ）∵a+=(+)2―2=3，
∴+=(+=－舍去)，且a2+=(a+)2－2=7.
18．（1）x2－4≠0，∴定义域为；
（2）x2－4＞0，则y=x；若x2－4＜0，
则y=－x，即y= 图略。
19．解：（1）由题意可得ax－bx＞0 ∴ax＞bx ∴()x＞1
当a＞b时，x＞0，当a＜b时x＜0
当a＞b时，定义域为x∈（0，+∞）
当a＜b时，定义域为x∈（－∞，0）
（2）当a＞1，b＜1时f(x)在定义域上为增函数
证明：设0＜x1＜x2则f(x1)=lg(―) f(x2)=lg(―)
∴f(x2)―f(x1)=lg ∴a＞1，b＜1，0＜x1＜x2 ＞，＞，
―＞－ ，∴＞1，
∴f(x2)＞f(x1) f(x)为增函数.
20．解：设对乙投入的资金为x元，则对甲投入为（3－x）万元，设总利润为y万元，故y=+ （0≤x≤3），
令t=，则x=r2（0≤t≤）, ∴y=－=－+（0≤t≤），
∴当t=时，即x=，y有最大值ymax=，
所以对乙投入的资金为万元，则对甲投入为万元，最大利润为万元
21．解：（Ⅰ）∵为等差数列，设d为公差
由
∴an=n ∴Sn= bn==，
故bn的通项公式为bn=
（Ⅱ）b1+b2+b3+…bn==2=2（1－）=2－＜2.
22．解：（1）如图
（2）f2(x)=－2x+2 x∈[，1]
所以反函数g(x)=1－x x∈（0，1）
由已民知a1=1，a2=1－a1=1－，
a3=1－a2=1－+()2，
a4=1+(－)+(－)2+(－)3，…
归纳知a1=[1－(1－)n]；
（3）由已知x0∈，x1=f1(x0)= －2(x0－)2+1，
而f1(x)的值域为[，1]
∴x1∈[，1]，∴f(x1)=f2(x1)= －2(x0－)2+1，
而f1(x)的值域为[，1]
∴x1∈[，1] ，∴f(x1)=f2(x1=－2x1+2=－2f1(x0)+2= 4(x0－)2，
由题意f(x1)=x0，∴f2(x)=x0即4(x0－)2=x0，
解得x0=，或x0=1（舍），∴x0=
寒假综合能力测试题（3）
一、选择题：（本题满分32分，每小题4分）
１.原命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”则
Ａ、逆命题真，否命题假，逆否命题真。
Ｂ、逆命题假，否命题真，逆否命题真。
Ｃ、逆命题真，否命题真，逆否命题假。
Ｄ、逆命题真，否命题真，逆否命题真。

２.设集合Ａ＝Ｒ，集合Ｂ＝Ｒ＋，则从集合Ａ到集合Ｂ的映射f只可能是

３.已知命题Ｐ：x2=y2,命题q:x=y,则P是q的
Ａ、充分不必要条件　Ｂ、必要不充分条件　　Ｃ、充要条件　　　Ｄ、既不充分又不必要条件

４.设f(x)为Ｒ上的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)=lg(x+1),则当x∈(-1,0)时，f(x)为
Ａ、－lg(x+1)      　Ｂ、lg(1-x)          Ｃ、－lg(1-x)    　Ｄ、lg(x+1)2

５.某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为

６.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)区间[-7,-3]上是 
Ａ、增函数且最小值为-5　　　　　　　　Ｂ、增函数且最大值为-5
Ｃ、减函数且最小值为-5　　　　　　　　Ｄ、减函数且最大值为-5

７.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)等于
Ａ、-26    Ｂ、－18　　Ｃ、－10　　　　Ｄ、10

８.等差数列｛an｝中，a3+a11=40,a6+a7+a8的值为
Ａ、48　　　Ｂ、60　　　Ｃ、72　　　　　Ｄ、84

二、填空题：（本题24分，每小题6分）
９、已知A={x|  |x+1|<2},  B={x| x2-(1+a)x+a<0},且B≤A,则实数a的取值范围是__________.
１０、等差数列{an}中，已知a1-a4-a8-a12+a15=2,a3+a13=          .
１１、已知函数f(x)=x2-1  (x≤-2),则f-1(4)=_______.
１２、已知x2+qx-p=0和x2-px-q=0的解集分别为A,B,且A∩B=1,A∪B=_______.
三、解答题：
１３、｛an｝是等差数列，a3+a5+a12+a19+a21=15,求S23.

１４、已知A={x|x2-3x-10≤0},B={x|p+1≤x≤2p-1}

(1)证明f(x)是R上的奇函数；(2)证明f(x)在R上是增函数。

１６、已知｛an｝满足f(x)=a1x+a2x2+a3x3+...+anxn,且f(1)＝n2.
(1)判断｛an｝是否是等差数列；
(2)求a1+a3+a5+...+a2n-1;

参考答案：
一、选择题
１、Ｄ　　２、Ｃ　　３、Ｂ　　４、Ｃ　　５、Ｄ　　６、Ｂ　　７、Ａ　　８、Ｂ
二、填空题
９、  -3≤a≤1
解析：A:|x+1|<2      B:  x2-(1+a)x+a<0       所以　－3≤a≤1
      -2<x+1<2            (x-a)(x-1)<0
       -3<x<1              1<x<a或a<x<1

１０、-4
解析：(a1+a15)-(a4+a12)-a8=2,但a1+a15=a4+a12

１２、{-1,0,1}

所以A={x|x2-1=0}={1,-1}    B={x|x2-x=0}={0,1}

故A∪B={-1,0,1}
三、解答题
１３、解析：a3+a5+a12+a19+a21=15      (a5+a19)+(a3+a21)+a12=15

１４、解析：

A. -2≤x≤5

所以f(x)在R上是奇函数
(2)设0≤x1≤x2

f(x2)>f(x1)  f(x)在[0,+∞]上是增函数
又由于f(x)为奇函数，奇函数在对称区间上同增同减
所以f(x)在R上是增函数
１６、(1)由f(1)＝n2得a1+a2+a